Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrlem Unicode version

Theorem sqrt2irrlem 11895
 Description: Lemma for sqrt2irr 11896. This is the core of the proof: - if , then and are even, so and are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrt2irrlem.1
sqrt2irrlem.2
sqrt2irrlem.3
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrlem

Proof of Theorem sqrt2irrlem
StepHypRef Expression
1 2re 8834 . . . . . . . . . . . 12
2 0le2 8854 . . . . . . . . . . . 12
3 resqrtth 10855 . . . . . . . . . . . 12
41, 2, 3mp2an 423 . . . . . . . . . . 11
5 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12
65oveq1d 5798 . . . . . . . . . . 11
74, 6syl5eqr 2187 . . . . . . . . . 10
8 sqrt2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12
98zcnd 9218 . . . . . . . . . . 11
10 sqrt2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12
1110nncnd 8778 . . . . . . . . . . 11
1210nnap0d 8810 . . . . . . . . . . 11 #
139, 11, 12sqdivapd 10488 . . . . . . . . . 10
147, 13eqtrd 2173 . . . . . . . . 9
1514oveq1d 5798 . . . . . . . 8
169sqcld 10473 . . . . . . . . 9
1710nnsqcld 10496 . . . . . . . . . 10
1817nncnd 8778 . . . . . . . . 9
1917nnap0d 8810 . . . . . . . . 9 #
2016, 18, 19divcanap1d 8595 . . . . . . . 8
2115, 20eqtrd 2173 . . . . . . 7
2221oveq1d 5798 . . . . . 6
23 2cnd 8837 . . . . . . 7
24 2ap0 8857 . . . . . . . 8 #
2524a1i 9 . . . . . . 7 #
2618, 23, 25divcanap3d 8599 . . . . . 6
2722, 26eqtr3d 2175 . . . . 5
2827, 17eqeltrd 2217 . . . 4
2928nnzd 9216 . . 3
30 zesq 10461 . . . 4
318, 30syl 14 . . 3
3229, 31mpbird 166 . 2
33 2cn 8835 . . . . . . . . 9
3433sqvali 10423 . . . . . . . 8
3534oveq2i 5794 . . . . . . 7
369, 23, 25sqdivapd 10488 . . . . . . 7
3716, 23, 23, 25, 25divdivap1d 8626 . . . . . . 7
3835, 36, 373eqtr4a 2199 . . . . . 6
3927oveq1d 5798 . . . . . 6
4038, 39eqtrd 2173 . . . . 5
41 zsqcl 10414 . . . . . 6
4232, 41syl 14 . . . . 5
4340, 42eqeltrrd 2218 . . . 4
4417nnrpd 9531 . . . . . 6
4544rphalfcld 9546 . . . . 5
4645rpgt0d 9536 . . . 4
47 elnnz 9108 . . . 4
4843, 46, 47sylanbrc 414 . . 3
49 nnesq 10462 . . . 4
5010, 49syl 14 . . 3
5148, 50mpbird 166 . 2
5232, 51jca 304 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481   class class class wbr 3938  cfv 5132  (class class class)co 5783  cr 7663  cc0 7664   cmul 7669   clt 7844   cle 7845   # cap 8387   cdiv 8476  cn 8764  c2 8815  cz 9098  cexp 10343  csqrt 10820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-rp 9491  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-rsqrt 10822 This theorem is referenced by:  sqrt2irr  11896
 Copyright terms: Public domain W3C validator