Theorem eirraplem 12467

Description: Lemma for eirrap 12468. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
eirr.2	|- ( ph -> P e. ZZ )
eirr.3	|- ( ph -> Q e. NN )

Assertion

Ref	Expression
eirraplem	|- ( ph -> _e # ( P / Q ) )

Distinct variable group:   Q, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   P( n)   F( n)

Proof of Theorem eirraplem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esum 12352	. . . . . . . . . . 11 |- _e = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
2		faccl 11101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
3	2	nnrecred 9286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR )
4		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
5	4	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
6		eirr.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
7	5, 6	fvmptg 5755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
8	3, 7	mpdan 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
9	8	sumeq2i 12053	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
10	1, 9	eqtr4i 2258	. . . . . . . . . 10 |- _e = sum_ k e. NN0 ( F ` k )
11		nn0uz 9892	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) )
13		eirr.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. NN )
14	13	peano2nnd 9254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN )
15	14	nnnn0d 9555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN0 )
16		eqidd 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
17		ax-1cn 8222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
18		nn0z 9599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
19		1exp 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
21	20	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
22	21	mpteq2ia 4198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
23	6, 22	eqtr4i 2258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
24	23	eftvalcn 12347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
25	17, 24	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
27	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. CC )
28		eftcl 12344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
29	27, 28	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
30	26, 29	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	23	efcllem 12349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
32	27, 31	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
33	11, 12, 15, 16, 30, 32	isumsplit 12181	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
34	10, 33	eqtrid 2279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
35	13	nncnd 9253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. CC )
36		pncan 8481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
37	35, 17, 36	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
38	37	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... Q ) )
39	38	sumeq1d 12055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) )
40	39	oveq1d 6067	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
41	34, 40	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
42	41	oveq1d 6067	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) )
43		0zd 9591	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
44	13	nnzd 9702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ZZ )
45	43, 44	fzfigd 10797	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... Q ) e. Fin )
46		elfznn0 10452	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> k e. NN0 )
47	46, 30	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
48	45, 47	fsumcl 12090	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) e. CC )
49	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
50	2	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
51	50	nnrpd 10030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
52	51	rpreccld 10043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR+ )
53	49, 52	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
54	11, 12, 15, 16, 53, 32	isumrpcl 12184	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR+ )
55	54	rpred 10032	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR )
56	55	recnd 8304	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. CC )
57	48, 56	pncan2d 8588	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
58	42, 57	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
59	58	oveq2d 6068	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
60	13	nnnn0d 9555	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q e. NN0 )
61	60	faccld 11102	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. NN )
62	61	nncnd 9253	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. CC )
63		ere 12360	. . . . . . . 8 |- _e e. RR
64	63	recni 8288	. . . . . . 7 |- _e e. CC
65	64	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> _e e. CC )
66	62, 65, 48	subdid 8689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
67	59, 66	eqtr3d 2269	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
68	61	nnrpd 10030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. RR+ )
69	68, 54	rpmulcld 10049	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. RR+ )
70	69	rpred 10032	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. RR )
71		eirr.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ZZ )
72	71	zcnd 9704	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. CC )
73	13	nnap0d 9285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q # 0 )
74	62, 72, 35, 73	div12apd 9103	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
75	13	nnred 9252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. RR )
76	75	leidd 8790	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q <_ Q )
77		facdiv 11104	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. NN0 /\ Q e. NN /\ Q <_ Q ) -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
78	60, 13, 76, 77	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
79	78	nnzd 9702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. ZZ )
80	71, 79	zmulcld 9709	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) e. ZZ )
81	74, 80	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) e. ZZ )
82	45, 62, 47	fsummulc2 12138	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) )
83	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> k e. NN0 )
84	83, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
85	84	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
86	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` Q ) e. CC )
87	46, 50	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
88	87	nncnd 9253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
89	87	nnap0d 9285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
90	86, 88, 89	divrecapd 9069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
91	85, 90	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) )
92		permnn 11138	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
94	91, 93	eqeltrd 2311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. NN )
95	94	nnzd 9702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
96	45, 95	fsumzcl 12092	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
97	82, 96	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
98	81, 97	zsubcld 9708	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) e. ZZ )
99	69	rpgt0d 10035	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
100	14	peano2nnd 9254	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. NN )
101	100	nnred 9252	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR )
102	15	faccld 11102	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
103	102, 14	nnmulcld 9288	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. NN )
104	101, 103	nndivred 9289	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. RR )
105	61	nnrecred 9286	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR )
106		abs1 11761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
107	106	oveq1i 6062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` 1 ) ^ n ) = ( 1 ^ n )
108	107	oveq1i 6062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) )
109	108	mpteq2i 4199	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
110	23, 109	eqtr4i 2258	. . . . . . . . . 10 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
111		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) )
112		1le1 8848	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 <_ 1
113	106, 112	eqbrtri 4132	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
114	113	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` 1 ) <_ 1 )
115	23, 110, 111, 14, 27, 114	eftlub 12380	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
116	54	rprege0d 10040	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
117		absid 11760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
118	116, 117	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
119	106	oveq1i 6062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = ( 1 ^ ( Q + 1 ) )
120	14	nnzd 9702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. ZZ )
121		1exp 10934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q + 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
122	120, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
123	119, 122	eqtrid 2279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
124	123	oveq1d 6067	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
125	104	recnd 8304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. CC )
126	125	mullidd 8294	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
127	124, 126	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
128	115, 118, 127	3brtr3d 4142	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
129	14	nnred 9252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. RR )
130	129, 129	readdcld 8305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) e. RR )
131	129, 129	remulcld 8306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
132		1red 8291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
133	13	nnge1d 9282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 <_ Q )
134		1nn 9250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN
135		nnleltp1 9639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. NN /\ Q e. NN ) -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
136	134, 13, 135	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
137	133, 136	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 < ( Q + 1 ) )
138	132, 129, 129, 137	ltadd2dd 8698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
139	14	nncnd 9253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. CC )
140	139	2timesd 9483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) = ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
141		df-2 9298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
142	132, 75, 132, 133	leadd1dd 8835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) <_ ( Q + 1 ) )
143	141, 142	eqbrtrid 4146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 <_ ( Q + 1 ) )
144		2re 9309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
145	144	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. RR )
146	14	nngt0d 9283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( Q + 1 ) )
147		lemul1 8869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Q + 1 ) e. RR /\ ( ( Q + 1 ) e. RR /\ 0 < ( Q + 1 ) ) ) -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
148	145, 129, 129, 146, 147	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
149	143, 148	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
150	140, 149	eqbrtrrd 4135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
151	101, 130, 131, 138, 150	ltletrd 8699	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
152		facp1 11096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
153	60, 152	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
154	153	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) )
155	102	nncnd 9253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. CC )
156	61	nnap0d 9285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ! ` Q ) # 0 )
157	155, 62, 156	divrecapd 9069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
158	139, 62, 156	divcanap3d 9071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( Q + 1 ) )
159	154, 157, 158	3eqtr3rd 2276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q + 1 ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
160	159	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
161	105	recnd 8304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. CC )
162	155, 161, 139	mul32d 8428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
163	160, 162	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
164	151, 163	breqtrd 4137	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
165	103	nnred 9252	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
166	103	nngt0d 9283	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
167		ltdivmul 9152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR /\ ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR /\ ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
168	101, 105, 165, 166, 167	syl112anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
169	164, 168	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
170	55, 104, 105, 128, 169	lelttrd 8400	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
171	55, 132, 68	ltmuldiv2d 10081	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
172	170, 171	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 )
173		0p1e1 9353	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
174	172, 173	breqtrrdi 4153	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) )
175	43, 70, 98, 99, 174	btwnapz 9711	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
176	67, 175	eqbrtrrd 4135	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
177	62, 65	mulcld 8296	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) e. CC )
178	81	zcnd 9704	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) e. CC )
179	62, 48	mulcld 8296	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. CC )
180		apsub1 8918	. . . 4 |- ( ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) e. CC /\ ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) e. CC /\ ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. CC ) -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) <-> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) ) )
181	177, 178, 179, 180	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) <-> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) ) )
182	176, 181	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) )
183		znq 9959	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ Q e. NN ) -> ( P / Q ) e. QQ )
184	71, 13, 183	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( P / Q ) e. QQ )
185		qcn 9969	. . . 4 |- ( ( P / Q ) e. QQ -> ( P / Q ) e. CC )
186	184, 185	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( P / Q ) e. CC )
187		apmul2 9065	. . 3 |- ( ( _e e. CC /\ ( P / Q ) e. CC /\ ( ( ! ` Q ) e. CC /\ ( ! ` Q ) # 0 ) ) -> ( _e # ( P / Q ) <-> ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) ) )
188	65, 186, 62, 156, 187	syl112anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( _e # ( P / Q ) <-> ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) ) )
189	182, 188	mpbird 167	1 |- ( ph -> _e # ( P / Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   |-> cmpt 4173   dom cdm 4751   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   CCcc 8127   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   x. cmul 8134   < clt 8310   <_ cle 8311   - cmin 8446   # cap 8857   / cdiv 8948   NNcn 9239   2c2 9290   NN0cn0 9498   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   QQcq 9954   RR+crp 9989   ...cfz 10345   seqcseq 10813   ^cexp 10904   !cfa 11091   abscabs 11686   ~~> cli 11967   sum_csu 12042   _eceu 12333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-ico 10230  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-fac 11092  df-bc 11114  df-ihash 11143  df-shft 11504  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-clim 11968  df-sumdc 12043  df-ef 12338  df-e 12339

This theorem is referenced by:  eirrap  12468