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Theorem eirraplem 11127
Description: Lemma for eirrap 11128. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
eirr.2  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
eirr.3  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
eirraplem  |-  ( ph  ->  _e #  ( P  /  Q ) )
Distinct variable group:    Q, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    P( n)    F( n)

Proof of Theorem eirraplem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  =  sum_ k  e.  NN0  (
1  /  ( ! `
 k ) )
2 faccl 10206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
32nnrecred 8532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
4 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
54oveq2d 5684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
6 eirr.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
75, 6fvmptg 5395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( 1  /  ( ! `  k )
)  e.  RR )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  /  ( ! `
 k ) ) )
83, 7mpdan 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
98sumeq2i 10816 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  NN0  ( F `  k )  =  sum_ k  e.  NN0  ( 1  /  ( ! `  k ) )
101, 9eqtr4i 2112 . . . . . . . . . 10  |-  _e  =  sum_ k  e.  NN0  ( F `  k )
11 nn0uz 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
12 eqid 2089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) )
13 eirr.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
1413peano2nnd 8500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  NN )
1514nnnn0d 8789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  NN0 )
16 eqidd 2090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
17 ax-1cn 7501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
18 nn0z 8833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
19 1exp 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
2120oveq1d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
2221mpteq2ia 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
236, 22eqtr4i 2112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
2423eftvalcn 11010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( ( 1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
2517, 24mpan 416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )
2625adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
2717a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
28 eftcl 11007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
2927, 28sylan 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
3026, 29eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3123efcllem 11012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3227, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
3311, 12, 15, 16, 30, 32isumsplit 10948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  ( F `  k )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... (
( Q  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) ) )
3410, 33syl5eq 2133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  _e  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( Q  +  1 )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
3513nncnd 8499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
36 pncan 7751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( Q  + 
1 )  -  1 )  =  Q )
3735, 17, 36sylancl 405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  -  1 )  =  Q )
3837oveq2d 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( Q  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... Q ) )
3938sumeq1d 10818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( Q  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  k
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) )
4039oveq1d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( Q  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) ) )
4134, 40eqtrd 2121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  _e  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
4241oveq1d 5683 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) ) )
43 0zd 8825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4413nnzd 8930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
4543, 44fzfigd 9901 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... Q
)  e.  Fin )
46 elfznn0 9591 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... Q )  ->  k  e.  NN0 )
4746, 30sylan2 281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4845, 47fsumcl 10857 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
)  e.  CC )
498adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  /  ( ! `
 k ) ) )
502adantl 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
5150nnrpd 9235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
5251rpreccld 9247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e.  RR+ )
5349, 52eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
5411, 12, 15, 16, 53, 32isumrpcl 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR+ )
5554rpred 9236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
5655recnd 7579 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  CC )
5748, 56pncan2d 7858 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )
5842, 57eqtrd 2121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( _e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )
5958oveq2d 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  (
_e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
6013nnnn0d 8789 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN0 )
6160faccld 10207 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  e.  NN )
6261nncnd 8499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  e.  CC )
63 ere 11023 . . . . . . . 8  |-  _e  e.  RR
6463recni 7563 . . . . . . 7  |-  _e  e.  CC
6564a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  e.  CC )
6662, 65, 48subdid 7955 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  (
_e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( ! `  Q )  x.  _e )  -  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) ) ) )
6759, 66eqtr3d 2123 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  =  ( ( ( ! `  Q )  x.  _e )  -  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) ) ) )
6861nnrpd 9235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  e.  RR+ )
6968, 54rpmulcld 9253 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  e.  RR+ )
7069rpred 9236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  e.  RR )
71 eirr.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
7271zcnd 8932 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
7313nnap0d 8531 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q #  0 )
7462, 72, 35, 73div12apd 8357 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) )  =  ( P  x.  ( ( ! `  Q )  /  Q
) ) )
7513nnred 8498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
7675leidd 8055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  <_  Q )
77 facdiv 10209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  NN0  /\  Q  e.  NN  /\  Q  <_  Q )  ->  (
( ! `  Q
)  /  Q )  e.  NN )
7860, 13, 76, 77syl3anc 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  /  Q
)  e.  NN )
7978nnzd 8930 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  /  Q
)  e.  ZZ )
8071, 79zmulcld 8937 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( ! `  Q
)  /  Q ) )  e.  ZZ )
8174, 80eqeltrd 2165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) )  e.  ZZ )
8245, 62, 47fsummulc2 10905 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( ( ! `
 Q )  x.  ( F `  k
) ) )
8346adantl 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  k  e.  NN0 )
8483, 8syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
8584oveq2d 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( ! `
 Q )  x.  ( 1  /  ( ! `  k )
) ) )
8662adantr 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  Q )  e.  CC )
8746, 50sylan2 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
8887nncnd 8499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
8987nnap0d 8531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  k ) #  0 )
9086, 88, 89divrecapd 8323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ! `
 Q )  x.  ( 1  /  ( ! `  k )
) ) )
9185, 90eqtr4d 2124 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( ! `
 Q )  / 
( ! `  k
) ) )
92 permnn 10242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... Q )  ->  (
( ! `  Q
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  NN )
9392adantl 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  NN )
9491, 93eqeltrd 2165 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  NN )
9594nnzd 8930 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  ZZ )
9645, 95fsumzcl 10859 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( ( ! `  Q )  x.  ( F `  k )
)  e.  ZZ )
9782, 96eqeltrd 2165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  e.  ZZ )
9881, 97zsubcld 8936 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x.  ( P  /  Q
) )  -  (
( ! `  Q
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) )  e.  ZZ )
9969rpgt0d 9239 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
10014peano2nnd 8500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  e.  NN )
101100nnred 8498 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  e.  RR )
10215faccld 10207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( Q  +  1 ) )  e.  NN )
103102, 14nnmulcld 8534 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  NN )
104101, 103nndivred 8535 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  e.  RR )
10561nnrecred 8532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( ! `  Q )
)  e.  RR )
106 abs1 10568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  1 )  =  1
107106oveq1i 5678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  1 ) ^ n )  =  ( 1 ^ n
)
108107oveq1i 5678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
)
109108mpteq2i 3933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
11023, 109eqtr4i 2112 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  1 ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
111 eqid 2089 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  1
) ^ ( Q  +  1 ) )  /  ( ! `  ( Q  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( Q  + 
1 )  +  1 ) ) ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  1 ) ^ ( Q  + 
1 ) )  / 
( ! `  ( Q  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  (
( Q  +  1 )  +  1 ) ) ^ n ) ) )
112 1le1 8112 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <_  1
113106, 112eqbrtri 3872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  1 )  <_ 
1
114113a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  1
)  <_  1 )
11523, 110, 111, 14, 27, 114eftlub 11043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  1 ) ^ ( Q  + 
1 ) )  x.  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) ) )
11654rprege0d 9244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
117 absid 10567 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )
118116, 117syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )
119106oveq1i 5678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  1 ) ^ ( Q  + 
1 ) )  =  ( 1 ^ ( Q  +  1 ) )
12014nnzd 8930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  ZZ )
121 1exp 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( Q  +  1 ) )  =  1 )
122120, 121syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ ( Q  +  1 ) )  =  1 )
123119, 122syl5eq 2133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  1
) ^ ( Q  +  1 ) )  =  1 )
124123oveq1d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  1 ) ^
( Q  +  1 ) )  x.  (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) ) )
125104recnd 7579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  e.  CC )
126125mulid2d 7569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
127124, 126eqtrd 2121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  1 ) ^
( Q  +  1 ) )  x.  (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
128115, 118, 1273brtr3d 3882 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
12914nnred 8498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  RR )
130129, 129readdcld 7580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  ( Q  +  1 ) )  e.  RR )
131129, 129remulcld 7581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  RR )
132 1red 7566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
13313nnge1d 8528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  Q )
134 1nn 8496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
135 nnleltp1 8872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  Q  e.  NN )  ->  ( 1  <_  Q  <->  1  <  ( Q  + 
1 ) ) )
136134, 13, 135sylancr 406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  Q  <->  1  <  ( Q  + 
1 ) ) )
137133, 136mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <  ( Q  +  1 ) )
138132, 129, 129, 137ltadd2dd 7963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( Q  +  1 )  +  ( Q  + 
1 ) ) )
13914nncnd 8499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  CC )
1401392timesd 8721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( Q  +  1 )  +  ( Q  + 
1 ) ) )
141 df-2 8544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
142132, 75, 132, 133leadd1dd 8099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  <_  ( Q  +  1 ) )
143141, 142syl5eqbr 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  <_  ( Q  +  1 ) )
144 2re 8555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
145144a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
14614nngt0d 8529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  ( Q  +  1 ) )
147 lemul1 8133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Q  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( Q  + 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( Q  +  1 ) ) )  ->  ( 2  <_  ( Q  + 
1 )  <->  ( 2  x.  ( Q  + 
1 ) )  <_ 
( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
148145, 129, 129, 146, 147syl112anc 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  ( Q  +  1 )  <-> 
( 2  x.  ( Q  +  1 ) )  <_  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )
149143, 148mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Q  +  1 ) )  <_  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
150140, 149eqbrtrrd 3875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  ( Q  +  1 ) )  <_  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
151101, 130, 131, 138, 150ltletrd 7964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
152 facp1 10201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Q  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  Q )  x.  ( Q  +  1 ) ) )
15360, 152syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ! `  Q )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
154153oveq1d 5683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  /  ( ! `  Q )
)  =  ( ( ( ! `  Q
)  x.  ( Q  +  1 ) )  /  ( ! `  Q ) ) )
155102nncnd 8499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( Q  +  1 ) )  e.  CC )
15661nnap0d 8531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
) #  0 )
157155, 62, 156divrecapd 8323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  /  ( ! `  Q )
)  =  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
158139, 62, 156divcanap3d 8325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x.  ( Q  +  1 ) )  /  ( ! `  Q )
)  =  ( Q  +  1 ) )
159154, 157, 1583eqtr3rd 2130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  =  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
160159oveq1d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  /  ( ! `  Q ) ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
161105recnd 7579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( ! `  Q )
)  e.  CC )
162155, 161, 139mul32d 7698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( 1  /  ( ! `  Q )
) )  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
163160, 162eqtrd 2121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
164151, 163breqtrd 3877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
165103nnred 8498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  RR )
166103nngt0d 8529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
167 ltdivmul 8400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( 1  /  ( ! `  Q )
)  e.  RR  /\  ( ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )  <  ( 1  / 
( ! `  Q
) )  <->  ( ( Q  +  1 )  +  1 )  < 
( ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  (
1  /  ( ! `
 Q ) ) ) ) )
168101, 105, 165, 166, 167syl112anc 1179 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  <  (
1  /  ( ! `
 Q ) )  <-> 
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) ) )
169164, 168mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  <  ( 1  /  ( ! `  Q ) ) )
17055, 104, 105, 128, 169lelttrd 7671 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  <  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) )
17155, 132, 68ltmuldiv2d 9285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  <  1  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k )  < 
( 1  /  ( ! `  Q )
) ) )
172170, 171mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  <  1 )
173 0p1e1 8599 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
174172, 173syl6breqr 3893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  <  ( 0  +  1 ) )
17543, 70, 98, 99, 174btwnapz 8939 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) ) #  ( ( ( ! `
 Q )  x.  ( P  /  Q
) )  -  (
( ! `  Q
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) ) )
17667, 175eqbrtrrd 3875 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x.  _e )  -  (
( ! `  Q
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) ) #  ( ( ( ! `
 Q )  x.  ( P  /  Q
) )  -  (
( ! `  Q
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) ) )
17762, 65mulcld 7571 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  _e )  e.  CC )
17881zcnd 8932 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) )  e.  CC )
17962, 48mulcld 7571 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  e.  CC )
180 apsub1 8180 . . . 4  |-  ( ( ( ( ! `  Q )  x.  _e )  e.  CC  /\  (
( ! `  Q
)  x.  ( P  /  Q ) )  e.  CC  /\  (
( ! `  Q
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) )  e.  CC )  ->  (
( ( ! `  Q )  x.  _e ) #  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) )  <-> 
( ( ( ! `
 Q )  x.  _e )  -  (
( ! `  Q
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) ) #  ( ( ( ! `
 Q )  x.  ( P  /  Q
) )  -  (
( ! `  Q
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) ) ) )
181177, 178, 179, 180syl3anc 1175 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x.  _e ) #  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) )  <->  ( (
( ! `  Q
)  x.  _e )  -  ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
) ) ) #  ( ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) )  -  ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
) ) ) ) )
182176, 181mpbird 166 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  _e ) #  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) ) )
183 znq 9172 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Q  e.  NN )  ->  ( P  /  Q
)  e.  QQ )
18471, 13, 183syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  /  Q
)  e.  QQ )
185 qcn 9182 . . . 4  |-  ( ( P  /  Q )  e.  QQ  ->  ( P  /  Q )  e.  CC )
186184, 185syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  /  Q
)  e.  CC )
187 apmul2 8319 . . 3  |-  ( ( _e  e.  CC  /\  ( P  /  Q
)  e.  CC  /\  ( ( ! `  Q )  e.  CC  /\  ( ! `  Q
) #  0 ) )  ->  ( _e #  ( P  /  Q )  <->  ( ( ! `  Q )  x.  _e ) #  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) ) ) )
18865, 186, 62, 156, 187syl112anc 1179 . 2  |-  ( ph  ->  ( _e #  ( P  /  Q )  <->  ( ( ! `  Q )  x.  _e ) #  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) ) ) )
189182, 188mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  _e #  ( P  /  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3853    |-> cmpt 3907   dom cdm 4454   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   RRcr 7412   0cc0 7413   1c1 7414    + caddc 7416    x. cmul 7418    < clt 7585    <_ cle 7586    - cmin 7716   # cap 8121    / cdiv 8202   NNcn 8485   2c2 8536   NN0cn0 8736   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   QQcq 9167   RR+crp 9197   ...cfz 9487    seqcseq 9915   ^cexp 10017   !cfa 10196   abscabs 10493    ~~> cli 10729   sum_csu 10805   _eceu 10996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-bc 10219  df-ihash 10247  df-shft 10312  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806  df-ef 11001  df-e 11002
This theorem is referenced by:  eirrap  11128
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