Theorem eirraplem 12488

Description: Lemma for eirrap 12489. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
eirr.2	|- ( ph -> P e. ZZ )
eirr.3	|- ( ph -> Q e. NN )

Assertion

Ref	Expression
eirraplem	|- ( ph -> _e # ( P / Q ) )

Distinct variable group:   Q, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   P( n)   F( n)

Proof of Theorem eirraplem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esum 12373	. . . . . . . . . . 11 |- _e = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
2		faccl 11122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
3	2	nnrecred 9301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR )
4		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
5	4	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
6		eirr.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
7	5, 6	fvmptg 5758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
8	3, 7	mpdan 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
9	8	sumeq2i 12074	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
10	1, 9	eqtr4i 2258	. . . . . . . . . 10 |- _e = sum_ k e. NN0 ( F ` k )
11		nn0uz 9907	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) )
13		eirr.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. NN )
14	13	peano2nnd 9269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN )
15	14	nnnn0d 9570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN0 )
16		eqidd 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
17		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
18		nn0z 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
19		1exp 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
21	20	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
22	21	mpteq2ia 4201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
23	6, 22	eqtr4i 2258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
24	23	eftvalcn 12368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
25	17, 24	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
27	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. CC )
28		eftcl 12365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
29	27, 28	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
30	26, 29	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	23	efcllem 12370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
32	27, 31	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
33	11, 12, 15, 16, 30, 32	isumsplit 12202	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
34	10, 33	eqtrid 2279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
35	13	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. CC )
36		pncan 8495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
37	35, 17, 36	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
38	37	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... Q ) )
39	38	sumeq1d 12076	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) )
40	39	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
41	34, 40	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
42	41	oveq1d 6073	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) )
43		0zd 9606	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
44	13	nnzd 9717	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ZZ )
45	43, 44	fzfigd 10817	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... Q ) e. Fin )
46		elfznn0 10470	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> k e. NN0 )
47	46, 30	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
48	45, 47	fsumcl 12111	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) e. CC )
49	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
50	2	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
51	50	nnrpd 10045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
52	51	rpreccld 10058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR+ )
53	49, 52	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
54	11, 12, 15, 16, 53, 32	isumrpcl 12205	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR+ )
55	54	rpred 10047	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR )
56	55	recnd 8318	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. CC )
57	48, 56	pncan2d 8602	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
58	42, 57	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
59	58	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
60	13	nnnn0d 9570	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q e. NN0 )
61	60	faccld 11123	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. NN )
62	61	nncnd 9268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. CC )
63		ere 12381	. . . . . . . 8 |- _e e. RR
64	63	recni 8302	. . . . . . 7 |- _e e. CC
65	64	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> _e e. CC )
66	62, 65, 48	subdid 8704	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
67	59, 66	eqtr3d 2269	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
68	61	nnrpd 10045	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. RR+ )
69	68, 54	rpmulcld 10064	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. RR+ )
70	69	rpred 10047	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. RR )
71		eirr.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ZZ )
72	71	zcnd 9719	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. CC )
73	13	nnap0d 9300	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q # 0 )
74	62, 72, 35, 73	div12apd 9118	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
75	13	nnred 9267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. RR )
76	75	leidd 8805	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q <_ Q )
77		facdiv 11125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. NN0 /\ Q e. NN /\ Q <_ Q ) -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
78	60, 13, 76, 77	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
79	78	nnzd 9717	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. ZZ )
80	71, 79	zmulcld 9724	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) e. ZZ )
81	74, 80	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) e. ZZ )
82	45, 62, 47	fsummulc2 12159	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) )
83	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> k e. NN0 )
84	83, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
85	84	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
86	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` Q ) e. CC )
87	46, 50	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
88	87	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
89	87	nnap0d 9300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
90	86, 88, 89	divrecapd 9084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
91	85, 90	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) )
92		permnn 11159	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
94	91, 93	eqeltrd 2311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. NN )
95	94	nnzd 9717	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
96	45, 95	fsumzcl 12113	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
97	82, 96	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
98	81, 97	zsubcld 9723	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) e. ZZ )
99	69	rpgt0d 10050	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
100	14	peano2nnd 9269	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. NN )
101	100	nnred 9267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR )
102	15	faccld 11123	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
103	102, 14	nnmulcld 9303	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. NN )
104	101, 103	nndivred 9304	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. RR )
105	61	nnrecred 9301	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR )
106		abs1 11782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
107	106	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` 1 ) ^ n ) = ( 1 ^ n )
108	107	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) )
109	108	mpteq2i 4202	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
110	23, 109	eqtr4i 2258	. . . . . . . . . 10 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
111		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) )
112		1le1 8863	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 <_ 1
113	106, 112	eqbrtri 4135	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
114	113	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` 1 ) <_ 1 )
115	23, 110, 111, 14, 27, 114	eftlub 12401	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
116	54	rprege0d 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
117		absid 11781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
118	116, 117	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
119	106	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = ( 1 ^ ( Q + 1 ) )
120	14	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. ZZ )
121		1exp 10954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q + 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
122	120, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
123	119, 122	eqtrid 2279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
124	123	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
125	104	recnd 8318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. CC )
126	125	mullidd 8308	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
127	124, 126	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
128	115, 118, 127	3brtr3d 4145	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
129	14	nnred 9267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. RR )
130	129, 129	readdcld 8319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) e. RR )
131	129, 129	remulcld 8320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
132		1red 8305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
133	13	nnge1d 9297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 <_ Q )
134		1nn 9265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN
135		nnleltp1 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. NN /\ Q e. NN ) -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
136	134, 13, 135	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
137	133, 136	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 < ( Q + 1 ) )
138	132, 129, 129, 137	ltadd2dd 8713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
139	14	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. CC )
140	139	2timesd 9498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) = ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
141		df-2 9313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
142	132, 75, 132, 133	leadd1dd 8850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) <_ ( Q + 1 ) )
143	141, 142	eqbrtrid 4149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 <_ ( Q + 1 ) )
144		2re 9324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
145	144	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. RR )
146	14	nngt0d 9298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( Q + 1 ) )
147		lemul1 8884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Q + 1 ) e. RR /\ ( ( Q + 1 ) e. RR /\ 0 < ( Q + 1 ) ) ) -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
148	145, 129, 129, 146, 147	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
149	143, 148	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
150	140, 149	eqbrtrrd 4138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
151	101, 130, 131, 138, 150	ltletrd 8714	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
152		facp1 11117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
153	60, 152	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
154	153	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) )
155	102	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. CC )
156	61	nnap0d 9300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ! ` Q ) # 0 )
157	155, 62, 156	divrecapd 9084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
158	139, 62, 156	divcanap3d 9086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( Q + 1 ) )
159	154, 157, 158	3eqtr3rd 2276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q + 1 ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
160	159	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
161	105	recnd 8318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. CC )
162	155, 161, 139	mul32d 8442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
163	160, 162	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
164	151, 163	breqtrd 4140	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
165	103	nnred 9267	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
166	103	nngt0d 9298	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
167		ltdivmul 9167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR /\ ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR /\ ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
168	101, 105, 165, 166, 167	syl112anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
169	164, 168	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
170	55, 104, 105, 128, 169	lelttrd 8414	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
171	55, 132, 68	ltmuldiv2d 10096	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
172	170, 171	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 )
173		0p1e1 9368	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
174	172, 173	breqtrrdi 4156	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) )
175	43, 70, 98, 99, 174	btwnapz 9726	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
176	67, 175	eqbrtrrd 4138	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
177	62, 65	mulcld 8310	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) e. CC )
178	81	zcnd 9719	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) e. CC )
179	62, 48	mulcld 8310	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. CC )
180		apsub1 8933	. . . 4 |- ( ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) e. CC /\ ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) e. CC /\ ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. CC ) -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) <-> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) ) )
181	177, 178, 179, 180	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) <-> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) ) )
182	176, 181	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) )
183		znq 9974	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ Q e. NN ) -> ( P / Q ) e. QQ )
184	71, 13, 183	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( P / Q ) e. QQ )
185		qcn 9984	. . . 4 |- ( ( P / Q ) e. QQ -> ( P / Q ) e. CC )
186	184, 185	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( P / Q ) e. CC )
187		apmul2 9080	. . 3 |- ( ( _e e. CC /\ ( P / Q ) e. CC /\ ( ( ! ` Q ) e. CC /\ ( ! ` Q ) # 0 ) ) -> ( _e # ( P / Q ) <-> ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) ) )
188	65, 186, 62, 156, 187	syl112anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( _e # ( P / Q ) <-> ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) ) )
189	182, 188	mpbird 167	1 |- ( ph -> _e # ( P / Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   dom cdm 4754   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   QQcq 9969   RR+crp 10004   ...cfz 10361   seqcseq 10833   ^cexp 10924   !cfa 11112   abscabs 11707   ~~> cli 11988   sum_csu 12063   _eceu 12354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-ico 10246  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-e 12360

This theorem is referenced by:  eirrap  12489