Theorem eirraplem 11786

Description: Lemma for eirrap 11787. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
eirr.2	|- ( ph -> P e. ZZ )
eirr.3	|- ( ph -> Q e. NN )

Assertion

Ref	Expression
eirraplem	|- ( ph -> _e # ( P / Q ) )

Distinct variable group:   Q, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   P( n)   F( n)

Proof of Theorem eirraplem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esum 11672	. . . . . . . . . . 11 |- _e = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
2		faccl 10717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
3	2	nnrecred 8968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR )
4		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
5	4	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
6		eirr.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
7	5, 6	fvmptg 5594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
8	3, 7	mpdan 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
9	8	sumeq2i 11374	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
10	1, 9	eqtr4i 2201	. . . . . . . . . 10 |- _e = sum_ k e. NN0 ( F ` k )
11		nn0uz 9564	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) )
13		eirr.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. NN )
14	13	peano2nnd 8936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN )
15	14	nnnn0d 9231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN0 )
16		eqidd 2178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
17		ax-1cn 7906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
18		nn0z 9275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
19		1exp 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
21	20	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
22	21	mpteq2ia 4091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
23	6, 22	eqtr4i 2201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
24	23	eftvalcn 11667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
25	17, 24	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
27	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. CC )
28		eftcl 11664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
29	27, 28	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
30	26, 29	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	23	efcllem 11669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
32	27, 31	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
33	11, 12, 15, 16, 30, 32	isumsplit 11501	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
34	10, 33	eqtrid 2222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
35	13	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. CC )
36		pncan 8165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
37	35, 17, 36	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
38	37	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... Q ) )
39	38	sumeq1d 11376	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) )
40	39	oveq1d 5892	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
41	34, 40	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
42	41	oveq1d 5892	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) )
43		0zd 9267	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
44	13	nnzd 9376	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ZZ )
45	43, 44	fzfigd 10433	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... Q ) e. Fin )
46		elfznn0 10116	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> k e. NN0 )
47	46, 30	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
48	45, 47	fsumcl 11410	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) e. CC )
49	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
50	2	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
51	50	nnrpd 9696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
52	51	rpreccld 9709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR+ )
53	49, 52	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
54	11, 12, 15, 16, 53, 32	isumrpcl 11504	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR+ )
55	54	rpred 9698	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR )
56	55	recnd 7988	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. CC )
57	48, 56	pncan2d 8272	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
58	42, 57	eqtrd 2210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
59	58	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
60	13	nnnn0d 9231	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q e. NN0 )
61	60	faccld 10718	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. NN )
62	61	nncnd 8935	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. CC )
63		ere 11680	. . . . . . . 8 |- _e e. RR
64	63	recni 7971	. . . . . . 7 |- _e e. CC
65	64	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> _e e. CC )
66	62, 65, 48	subdid 8373	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
67	59, 66	eqtr3d 2212	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
68	61	nnrpd 9696	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. RR+ )
69	68, 54	rpmulcld 9715	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. RR+ )
70	69	rpred 9698	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. RR )
71		eirr.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ZZ )
72	71	zcnd 9378	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. CC )
73	13	nnap0d 8967	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q # 0 )
74	62, 72, 35, 73	div12apd 8786	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
75	13	nnred 8934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. RR )
76	75	leidd 8473	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q <_ Q )
77		facdiv 10720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. NN0 /\ Q e. NN /\ Q <_ Q ) -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
78	60, 13, 76, 77	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
79	78	nnzd 9376	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. ZZ )
80	71, 79	zmulcld 9383	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) e. ZZ )
81	74, 80	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) e. ZZ )
82	45, 62, 47	fsummulc2 11458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) )
83	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> k e. NN0 )
84	83, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
85	84	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
86	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` Q ) e. CC )
87	46, 50	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
88	87	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
89	87	nnap0d 8967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
90	86, 88, 89	divrecapd 8752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
91	85, 90	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) )
92		permnn 10753	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
94	91, 93	eqeltrd 2254	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. NN )
95	94	nnzd 9376	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
96	45, 95	fsumzcl 11412	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
97	82, 96	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
98	81, 97	zsubcld 9382	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) e. ZZ )
99	69	rpgt0d 9701	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
100	14	peano2nnd 8936	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. NN )
101	100	nnred 8934	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR )
102	15	faccld 10718	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
103	102, 14	nnmulcld 8970	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. NN )
104	101, 103	nndivred 8971	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. RR )
105	61	nnrecred 8968	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR )
106		abs1 11083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
107	106	oveq1i 5887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` 1 ) ^ n ) = ( 1 ^ n )
108	107	oveq1i 5887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) )
109	108	mpteq2i 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
110	23, 109	eqtr4i 2201	. . . . . . . . . 10 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
111		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) )
112		1le1 8531	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 <_ 1
113	106, 112	eqbrtri 4026	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
114	113	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` 1 ) <_ 1 )
115	23, 110, 111, 14, 27, 114	eftlub 11700	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
116	54	rprege0d 9706	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
117		absid 11082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
118	116, 117	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
119	106	oveq1i 5887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = ( 1 ^ ( Q + 1 ) )
120	14	nnzd 9376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. ZZ )
121		1exp 10551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q + 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
122	120, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
123	119, 122	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
124	123	oveq1d 5892	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
125	104	recnd 7988	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. CC )
126	125	mulid2d 7978	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
127	124, 126	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
128	115, 118, 127	3brtr3d 4036	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
129	14	nnred 8934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. RR )
130	129, 129	readdcld 7989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) e. RR )
131	129, 129	remulcld 7990	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
132		1red 7974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
133	13	nnge1d 8964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 <_ Q )
134		1nn 8932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN
135		nnleltp1 9314	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. NN /\ Q e. NN ) -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
136	134, 13, 135	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
137	133, 136	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 < ( Q + 1 ) )
138	132, 129, 129, 137	ltadd2dd 8381	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
139	14	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. CC )
140	139	2timesd 9163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) = ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
141		df-2 8980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
142	132, 75, 132, 133	leadd1dd 8518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) <_ ( Q + 1 ) )
143	141, 142	eqbrtrid 4040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 <_ ( Q + 1 ) )
144		2re 8991	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
145	144	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. RR )
146	14	nngt0d 8965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( Q + 1 ) )
147		lemul1 8552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Q + 1 ) e. RR /\ ( ( Q + 1 ) e. RR /\ 0 < ( Q + 1 ) ) ) -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
148	145, 129, 129, 146, 147	syl112anc 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
149	143, 148	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
150	140, 149	eqbrtrrd 4029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
151	101, 130, 131, 138, 150	ltletrd 8382	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
152		facp1 10712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
153	60, 152	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
154	153	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) )
155	102	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. CC )
156	61	nnap0d 8967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ! ` Q ) # 0 )
157	155, 62, 156	divrecapd 8752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
158	139, 62, 156	divcanap3d 8754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( Q + 1 ) )
159	154, 157, 158	3eqtr3rd 2219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q + 1 ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
160	159	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
161	105	recnd 7988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. CC )
162	155, 161, 139	mul32d 8112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
163	160, 162	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
164	151, 163	breqtrd 4031	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
165	103	nnred 8934	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
166	103	nngt0d 8965	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
167		ltdivmul 8835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR /\ ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR /\ ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
168	101, 105, 165, 166, 167	syl112anc 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
169	164, 168	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
170	55, 104, 105, 128, 169	lelttrd 8084	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
171	55, 132, 68	ltmuldiv2d 9747	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
172	170, 171	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 )
173		0p1e1 9035	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
174	172, 173	breqtrrdi 4047	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) )
175	43, 70, 98, 99, 174	btwnapz 9385	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
176	67, 175	eqbrtrrd 4029	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
177	62, 65	mulcld 7980	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) e. CC )
178	81	zcnd 9378	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) e. CC )
179	62, 48	mulcld 7980	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. CC )
180		apsub1 8601	. . . 4 |- ( ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) e. CC /\ ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) e. CC /\ ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. CC ) -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) <-> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) ) )
181	177, 178, 179, 180	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) <-> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) # ( ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) ) )
182	176, 181	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) )
183		znq 9626	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ Q e. NN ) -> ( P / Q ) e. QQ )
184	71, 13, 183	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( P / Q ) e. QQ )
185		qcn 9636	. . . 4 |- ( ( P / Q ) e. QQ -> ( P / Q ) e. CC )
186	184, 185	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( P / Q ) e. CC )
187		apmul2 8748	. . 3 |- ( ( _e e. CC /\ ( P / Q ) e. CC /\ ( ( ! ` Q ) e. CC /\ ( ! ` Q ) # 0 ) ) -> ( _e # ( P / Q ) <-> ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) ) )
188	65, 186, 62, 156, 187	syl112anc 1242	. 2 |- ( ph -> ( _e # ( P / Q ) <-> ( ( ! ` Q ) x. _e ) # ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) ) )
189	182, 188	mpbird 167	1 |- ( ph -> _e # ( P / Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   dom cdm 4628   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   < clt 7994   <_ cle 7995   - cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   QQcq 9621   RR+crp 9655   ...cfz 10010   seqcseq 10447   ^cexp 10521   !cfa 10707   abscabs 11008   ~~> cli 11288   sum_csu 11363   _eceu 11653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-shft 10826  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-e 11659

This theorem is referenced by:  eirrap  11787