ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval3 Unicode version

Theorem shftval3 10592
Description: Value of a sequence shifted by  A  -  B. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftval3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  ( A  -  B ) ) `  A )  =  ( F `  B ) )

Proof of Theorem shftval3
StepHypRef Expression
1 0cn 7751 . . 3  |-  0  e.  CC
2 shftfval.1 . . . 4  |-  F  e. 
_V
32shftval2 10591 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  (
( F  shift  ( A  -  B ) ) `
 ( A  + 
0 ) )  =  ( F `  ( B  +  0 ) ) )
41, 3mp3an3 1304 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  ( A  -  B ) ) `  ( A  +  0 ) )  =  ( F `  ( B  +  0
) ) )
5 addid1 7893 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  0 )  =  A )
65adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
76fveq2d 5418 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  ( A  -  B ) ) `  ( A  +  0 ) )  =  ( ( F 
shift  ( A  -  B
) ) `  A
) )
8 addid1 7893 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  +  0 )  =  B )
98adantl 275 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
109fveq2d 5418 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( F `  ( B  +  0 ) )  =  ( F `
 B ) )
114, 7, 103eqtr3d 2178 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  ( A  -  B ) ) `  A )  =  ( F `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2681   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613    + caddc 7616    - cmin 7926    shift cshi 10579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-shft 10580
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator