Theorem shftval3 10992

Description: Value of a sequence shifted by A - B. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftval3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` A ) = ( F ` B ) )

Proof of Theorem shftval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8018	. . 3 |- 0 e. CC
2		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
3	2	shftval2 10991	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` ( A + 0 ) ) = ( F ` ( B + 0 ) ) )
4	1, 3	mp3an3 1337	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` ( A + 0 ) ) = ( F ` ( B + 0 ) ) )
5		addrid 8164	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + 0 ) = A )
7	6	fveq2d 5562	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` ( A + 0 ) ) = ( ( F shift ( A - B ) ) ` A ) )
8		addrid 8164	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( B + 0 ) = B )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + 0 ) = B )
10	9	fveq2d 5562	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F ` ( B + 0 ) ) = ( F ` B ) )
11	4, 7, 10	3eqtr3d 2237	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` A ) = ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   + caddc 7882   - cmin 8197   shift cshi 10979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-shft 10980

This theorem is referenced by: (None)