Theorem shftval3 10974

Description: Value of a sequence shifted by A - B. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftval3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` A ) = ( F ` B ) )

Proof of Theorem shftval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8013	. . 3 |- 0 e. CC
2		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
3	2	shftval2 10973	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` ( A + 0 ) ) = ( F ` ( B + 0 ) ) )
4	1, 3	mp3an3 1337	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` ( A + 0 ) ) = ( F ` ( B + 0 ) ) )
5		addrid 8159	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + 0 ) = A )
7	6	fveq2d 5559	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` ( A + 0 ) ) = ( ( F shift ( A - B ) ) ` A ) )
8		addrid 8159	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( B + 0 ) = B )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + 0 ) = B )
10	9	fveq2d 5559	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F ` ( B + 0 ) ) = ( F ` B ) )
11	4, 7, 10	3eqtr3d 2234	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` A ) = ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   + caddc 7877   - cmin 8192   shift cshi 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-shft 10962

This theorem is referenced by: (None)