Theorem shftval3 10599

Description: Value of a sequence shifted by A - B. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftval3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` A ) = ( F ` B ) )

Proof of Theorem shftval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7758	. . 3 |- 0 e. CC
2		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
3	2	shftval2 10598	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` ( A + 0 ) ) = ( F ` ( B + 0 ) ) )
4	1, 3	mp3an3 1304	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` ( A + 0 ) ) = ( F ` ( B + 0 ) ) )
5		addid1 7900	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + 0 ) = A )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + 0 ) = A )
7	6	fveq2d 5425	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` ( A + 0 ) ) = ( ( F shift ( A - B ) ) ` A ) )
8		addid1 7900	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( B + 0 ) = B )
9	8	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + 0 ) = B )
10	9	fveq2d 5425	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F ` ( B + 0 ) ) = ( F ` B ) )
11	4, 7, 10	3eqtr3d 2180	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift ( A - B ) ) ` A ) = ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   + caddc 7623   - cmin 7933   shift cshi 10586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-shft 10587

This theorem is referenced by: (None)