Theorem shftval4 10851

Description: Value of a sequence shifted by -u A. (Contributed by NM, 18-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftval4	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) )

Proof of Theorem shftval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8171	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
2		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
3	2	shftval 10848	. . 3 |- ( ( -u A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( B - -u A ) ) )
4	1, 3	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( B - -u A ) ) )
5		subneg 8220	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B - -u A ) = ( B + A ) )
6	5	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - -u A ) = ( B + A ) )
7		addcom 8108	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
8	6, 7	eqtr4d 2223	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - -u A ) = ( A + B ) )
9	8	fveq2d 5531	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F ` ( B - -u A ) ) = ( F ` ( A + B ) ) )
10	4, 9	eqtrd 2220	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   + caddc 7828   - cmin 8142   -ucneg 8143   shift cshi 10837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8144  df-neg 8145  df-shft 10838

This theorem is referenced by:  shftval4g  10860  eftlub  11712