ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval4 Unicode version

Theorem shftval4 10250
Description: Value of a sequence shifted by  -u A. (Contributed by NM, 18-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftval4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  -u A ) `  B
)  =  ( F `
 ( A  +  B ) ) )

Proof of Theorem shftval4
StepHypRef Expression
1 negcl 7672 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 shftfval.1 . . . 4  |-  F  e. 
_V
32shftval 10247 . . 3  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F 
shift  -u A ) `  B )  =  ( F `  ( B  -  -u A ) ) )
41, 3sylan 277 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  -u A ) `  B
)  =  ( F `
 ( B  -  -u A ) ) )
5 subneg 7721 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  -  -u A
)  =  ( B  +  A ) )
65ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  -u A
)  =  ( B  +  A ) )
7 addcom 7609 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
86, 7eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  -u A
)  =  ( A  +  B ) )
98fveq2d 5303 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( F `  ( B  -  -u A ) )  =  ( F `
 ( A  +  B ) ) )
104, 9eqtrd 2120 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  -u A ) `  B
)  =  ( F `
 ( A  +  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   CCcc 7338    + caddc 7343    - cmin 7643   -ucneg 7644    shift cshi 10236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-sub 7645  df-neg 7646  df-shft 10237
This theorem is referenced by:  shftval4g  10259  eftlub  10967
  Copyright terms: Public domain W3C validator