Theorem shftval3 11541

Description: Value of a sequence shifted by 𝐴 − 𝐵. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftval3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘𝐴) = (𝐹‘𝐵))

Proof of Theorem shftval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8283	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		shftfval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	shftval2 11540	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘(𝐴 + 0)) = (𝐹‘(𝐵 + 0)))
4	1, 3	mp3an3 1363	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘(𝐴 + 0)) = (𝐹‘(𝐵 + 0)))
5		addrid 8429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	6	fveq2d 5680	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘(𝐴 + 0)) = ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘𝐴))
8		addrid 8429	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
10	9	fveq2d 5680	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐵 + 0)) = (𝐹‘𝐵))
11	4, 7, 10	3eqtr3d 2275	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴 − 𝐵))‘𝐴) = (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ‘cfv 5358  (class class class)co 6059  ℂcc 8142  0cc0 8144   + caddc 8147   − cmin 8462   shift cshi 11528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-sub 8464  df-shft 11529

This theorem is referenced by: (None)