ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval3 GIF version

Theorem shftval3 10867
Description: Value of a sequence shifted by 𝐴𝐵. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftval3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘𝐴) = (𝐹𝐵))

Proof of Theorem shftval3
StepHypRef Expression
1 0cn 7978 . . 3 0 ∈ ℂ
2 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
32shftval2 10866 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘(𝐴 + 0)) = (𝐹‘(𝐵 + 0)))
41, 3mp3an3 1337 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘(𝐴 + 0)) = (𝐹‘(𝐵 + 0)))
5 addrid 8124 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
65adantr 276 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
76fveq2d 5538 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘(𝐴 + 0)) = ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘𝐴))
8 addrid 8124 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
98adantl 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
109fveq2d 5538 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐵 + 0)) = (𝐹𝐵))
114, 7, 103eqtr3d 2230 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift (𝐴𝐵))‘𝐴) = (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752  cfv 5235  (class class class)co 5895  cc 7838  0cc0 7840   + caddc 7843  cmin 8157   shift cshi 10854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-sub 8159  df-shft 10855
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator