Theorem shftval5 10819

Description: Value of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftval5	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` ( B + A ) ) = ( F ` B ) )

Proof of Theorem shftval5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> A e. CC )
2		addcl 7924	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + A ) e. CC )
3		shftfval.1	. . . . 5 |- F e. _V
4	3	shftval 10815	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( B + A ) e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` ( B + A ) ) = ( F ` ( ( B + A ) - A ) ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` ( B + A ) ) = ( F ` ( ( B + A ) - A ) ) )
6		pncan 8150	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( B + A ) - A ) = B )
7	6	fveq2d 5515	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( F ` ( ( B + A ) - A ) ) = ( F ` B ) )
8	5, 7	eqtrd 2210	. 2 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` ( B + A ) ) = ( F ` B ) )
9	8	ancoms 268	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` ( B + A ) ) = ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7797   + caddc 7802   - cmin 8115   shift cshi 10804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-sub 8117  df-shft 10805

This theorem is referenced by: (None)