Theorem shftf 10595

Description: Functionality of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftf	|- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) : { x e. CC | ( x - A ) e. B } --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem shftf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5267	. . 3 |- ( F : B --> C -> F Fn B )
2		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
3	2	shftfn 10589	. . 3 |- ( ( F Fn B /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) Fn { x e. CC | ( x - A ) e. B } )
4	1, 3	sylan 281	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) Fn { x e. CC | ( x - A ) e. B } )
5		oveq1 5774	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x - A ) = ( y - A ) )
6	5	eleq1d 2206	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x - A ) e. B <-> ( y - A ) e. B ) )
7	6	elrab 2835	. . . 4 |- ( y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } <-> ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) )
8		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> A e. CC )
9		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) -> y e. CC )
10	2	shftval 10590	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` y ) = ( F ` ( y - A ) ) )
11	8, 9, 10	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) ) -> ( ( F shift A ) ` y ) = ( F ` ( y - A ) ) )
12		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> F : B --> C )
13		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) -> ( y - A ) e. B )
14		ffvelrn 5546	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ ( y - A ) e. B ) -> ( F ` ( y - A ) ) e. C )
15	12, 13, 14	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) ) -> ( F ` ( y - A ) ) e. C )
16	11, 15	eqeltrd 2214	. . . 4 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) ) -> ( ( F shift A ) ` y ) e. C )
17	7, 16	sylan2b 285	. . 3 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } ) -> ( ( F shift A ) ` y ) e. C )
18	17	ralrimiva 2503	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> A. y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } ( ( F shift A ) ` y ) e. C )
19		ffnfv 5571	. 2 |- ( ( F shift A ) : { x e. CC | ( x - A ) e. B } --> C <-> ( ( F shift A ) Fn { x e. CC | ( x - A ) e. B } /\ A. y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } ( ( F shift A ) ` y ) e. C ) )
20	4, 18, 19	sylanbrc 413	1 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) : { x e. CC | ( x - A ) e. B } --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   {crab 2418   _Vcvv 2681   Fn wfn 5113   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   - cmin 7926   shift cshi 10579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-shft 10580

This theorem is referenced by: (None)