Theorem shftf 10805

Description: Functionality of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftf	|- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) : { x e. CC | ( x - A ) e. B } --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem shftf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5357	. . 3 |- ( F : B --> C -> F Fn B )
2		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
3	2	shftfn 10799	. . 3 |- ( ( F Fn B /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) Fn { x e. CC | ( x - A ) e. B } )
4	1, 3	sylan 283	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) Fn { x e. CC | ( x - A ) e. B } )
5		oveq1 5872	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x - A ) = ( y - A ) )
6	5	eleq1d 2244	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x - A ) e. B <-> ( y - A ) e. B ) )
7	6	elrab 2891	. . . 4 |- ( y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } <-> ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> A e. CC )
9		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) -> y e. CC )
10	2	shftval 10800	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` y ) = ( F ` ( y - A ) ) )
11	8, 9, 10	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) ) -> ( ( F shift A ) ` y ) = ( F ` ( y - A ) ) )
12		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> F : B --> C )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) -> ( y - A ) e. B )
14		ffvelcdm 5641	. . . . . 6 |- ( ( F : B --> C /\ ( y - A ) e. B ) -> ( F ` ( y - A ) ) e. C )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) ) -> ( F ` ( y - A ) ) e. C )
16	11, 15	eqeltrd 2252	. . . 4 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ ( y e. CC /\ ( y - A ) e. B ) ) -> ( ( F shift A ) ` y ) e. C )
17	7, 16	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) /\ y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } ) -> ( ( F shift A ) ` y ) e. C )
18	17	ralrimiva 2548	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> A. y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } ( ( F shift A ) ` y ) e. C )
19		ffnfv 5666	. 2 |- ( ( F shift A ) : { x e. CC | ( x - A ) e. B } --> C <-> ( ( F shift A ) Fn { x e. CC | ( x - A ) e. B } /\ A. y e. { x e. CC | ( x - A ) e. B } ( ( F shift A ) ` y ) e. C ) )
20	4, 18, 19	sylanbrc 417	1 |- ( ( F : B --> C /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) : { x e. CC | ( x - A ) e. B } --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   {crab 2457   _Vcvv 2735   Fn wfn 5203   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   - cmin 8102   shift cshi 10789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-sub 8104  df-shft 10790

This theorem is referenced by: (None)