ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftf Unicode version

Theorem shftf 10557
Description: Functionality of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftf  |-  ( ( F : B --> C  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A ) : { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B } --> C )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, B
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem shftf
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5242 . . 3  |-  ( F : B --> C  ->  F  Fn  B )
2 shftfval.1 . . . 4  |-  F  e. 
_V
32shftfn 10551 . . 3  |-  ( ( F  Fn  B  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  Fn  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B } )
41, 3sylan 281 . 2  |-  ( ( F : B --> C  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  Fn  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B } )
5 oveq1 5749 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  A )  =  ( y  -  A ) )
65eleq1d 2186 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  A
)  e.  B  <->  ( y  -  A )  e.  B
) )
76elrab 2813 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B }  <->  ( y  e.  CC  /\  ( y  -  A )  e.  B ) )
8 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( F : B --> C  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
9 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( y  -  A
)  e.  B )  ->  y  e.  CC )
102shftval 10552 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  y )  =  ( F `  ( y  -  A
) ) )
118, 9, 10syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( ( F : B --> C  /\  A  e.  CC )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( y  -  A )  e.  B ) )  -> 
( ( F  shift  A ) `  y )  =  ( F `  ( y  -  A
) ) )
12 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( F : B --> C  /\  A  e.  CC )  ->  F : B --> C )
13 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( y  -  A
)  e.  B )  ->  ( y  -  A )  e.  B
)
14 ffvelrn 5521 . . . . . 6  |-  ( ( F : B --> C  /\  ( y  -  A
)  e.  B )  ->  ( F `  ( y  -  A
) )  e.  C
)
1512, 13, 14syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( ( F : B --> C  /\  A  e.  CC )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( y  -  A )  e.  B ) )  -> 
( F `  (
y  -  A ) )  e.  C )
1611, 15eqeltrd 2194 . . . 4  |-  ( ( ( F : B --> C  /\  A  e.  CC )  /\  ( y  e.  CC  /\  ( y  -  A )  e.  B ) )  -> 
( ( F  shift  A ) `  y )  e.  C )
177, 16sylan2b 285 . . 3  |-  ( ( ( F : B --> C  /\  A  e.  CC )  /\  y  e.  {
x  e.  CC  | 
( x  -  A
)  e.  B }
)  ->  ( ( F  shift  A ) `  y )  e.  C
)
1817ralrimiva 2482 . 2  |-  ( ( F : B --> C  /\  A  e.  CC )  ->  A. y  e.  {
x  e.  CC  | 
( x  -  A
)  e.  B } 
( ( F  shift  A ) `  y )  e.  C )
19 ffnfv 5546 . 2  |-  ( ( F  shift  A ) : { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B }
--> C  <->  ( ( F 
shift  A )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  A
)  e.  B }  /\  A. y  e.  {
x  e.  CC  | 
( x  -  A
)  e.  B } 
( ( F  shift  A ) `  y )  e.  C ) )
204, 18, 19sylanbrc 413 1  |-  ( ( F : B --> C  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A ) : { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B } --> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   {crab 2397   _Vcvv 2660    Fn wfn 5088   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586    - cmin 7901    shift cshi 10541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903  df-shft 10542
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator