ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2og GIF version

Theorem snnen2og 6505
Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6506. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2og (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Proof of Theorem snnen2og
StepHypRef Expression
1 1onn 6209 . . 3 1𝑜 ∈ ω
2 php5 6504 . . 3 (1𝑜 ∈ ω → ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
31, 2ax-mp 7 . 2 ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜
4 ensn1g 6444 . 2 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
5 df-2o 6114 . . . . 5 2𝑜 = suc 1𝑜
65eqcomi 2087 . . . 4 suc 1𝑜 = 2𝑜
76breq2i 3819 . . 3 (1𝑜 ≈ suc 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ 2𝑜)
8 ensymb 6427 . . . . 5 ({𝐴} ≈ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ {𝐴})
9 entr 6431 . . . . . 6 ((1𝑜 ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ≈ 2𝑜)
109ex 113 . . . . 5 (1𝑜 ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
118, 10sylbi 119 . . . 4 ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
1211con3rr3 596 . . 3 (¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
137, 12sylnbi 636 . 2 (¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
143, 4, 13mpsyl 64 1 (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1434  {csn 3422   class class class wbr 3811  suc csuc 4156  ωcom 4368  1𝑜c1o 6106  2𝑜c2o 6107  cen 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-1o 6113  df-2o 6114  df-er 6222  df-en 6388
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator