Theorem snnen2og 6968

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6969. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6616	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		php5 6967	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ suc 1o
4		ensn1g 6899	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
5		df-2o 6513	. . . . 5 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2210	. . . 4 ⊢ suc 1o = 2o
7	6	breq2i 4056	. . 3 ⊢ (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8		ensymb 6882	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9		entr 6886	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
10	9	ex 115	. . . . 5 ⊢ (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
11	8, 10	sylbi 121	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
12	11	con3rr3 634	. . 3 ⊢ (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
13	7, 12	sylnbi 680	. 2 ⊢ (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
14	3, 4, 13	mpsyl 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2177  {csn 3635   class class class wbr 4048  suc csuc 4417  ωcom 4643  1_oc1o 6505  2_oc2o 6506   ≈ cen 6835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-1o 6512  df-2o 6513  df-er 6630  df-en 6838

This theorem is referenced by: (None)