ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2og GIF version

Theorem snnen2og 6719
Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6720. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2og (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2og
StepHypRef Expression
1 1onn 6382 . . 3 1o ∈ ω
2 php5 6718 . . 3 (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
31, 2ax-mp 5 . 2 ¬ 1o ≈ suc 1o
4 ensn1g 6657 . 2 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
5 df-2o 6280 . . . . 5 2o = suc 1o
65eqcomi 2119 . . . 4 suc 1o = 2o
76breq2i 3905 . . 3 (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8 ensymb 6640 . . . . 5 ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9 entr 6644 . . . . . 6 ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
109ex 114 . . . . 5 (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
118, 10sylbi 120 . . . 4 ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
1211con3rr3 605 . . 3 (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
137, 12sylnbi 650 . 2 (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
143, 4, 13mpsyl 65 1 (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1463  {csn 3495   class class class wbr 3897  suc csuc 4255  ωcom 4472  1oc1o 6272  2oc2o 6273  cen 6598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1o 6279  df-2o 6280  df-er 6395  df-en 6601
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator