Theorem snnen2og 6825

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6826. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6488	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		php5 6824	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ suc 1o
4		ensn1g 6763	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
5		df-2o 6385	. . . . 5 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2169	. . . 4 ⊢ suc 1o = 2o
7	6	breq2i 3990	. . 3 ⊢ (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8		ensymb 6746	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9		entr 6750	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
10	9	ex 114	. . . . 5 ⊢ (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
11	8, 10	sylbi 120	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
12	11	con3rr3 623	. . 3 ⊢ (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
13	7, 12	sylnbi 668	. 2 ⊢ (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
14	3, 4, 13	mpsyl 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2136  {csn 3576   class class class wbr 3982  suc csuc 4343  ωcom 4567  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378   ≈ cen 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707

This theorem is referenced by: (None)