Theorem snnen2og 7088

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 7089. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6731	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		php5 7087	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ suc 1o
4		ensn1g 7014	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
5		df-2o 6626	. . . . 5 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2235	. . . 4 ⊢ suc 1o = 2o
7	6	breq2i 4101	. . 3 ⊢ (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8		ensymb 6997	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9		entr 7001	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
10	9	ex 115	. . . . 5 ⊢ (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
11	8, 10	sylbi 121	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
12	11	con3rr3 638	. . 3 ⊢ (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
13	7, 12	sylnbi 685	. 2 ⊢ (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
14	3, 4, 13	mpsyl 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2202  {csn 3673   class class class wbr 4093  suc csuc 4468  ωcom 4694  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   ≈ cen 6950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953

This theorem is referenced by: (None)