ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2og GIF version

Theorem snnen2og 6877
Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6878. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2og (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2og
StepHypRef Expression
1 1onn 6539 . . 3 1o ∈ ω
2 php5 6876 . . 3 (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
31, 2ax-mp 5 . 2 ¬ 1o ≈ suc 1o
4 ensn1g 6815 . 2 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
5 df-2o 6436 . . . . 5 2o = suc 1o
65eqcomi 2193 . . . 4 suc 1o = 2o
76breq2i 4026 . . 3 (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8 ensymb 6798 . . . . 5 ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9 entr 6802 . . . . . 6 ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
109ex 115 . . . . 5 (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
118, 10sylbi 121 . . . 4 ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
1211con3rr3 634 . . 3 (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
137, 12sylnbi 679 . 2 (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
143, 4, 13mpsyl 65 1 (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2160  {csn 3607   class class class wbr 4018  suc csuc 4380  ωcom 4604  1oc1o 6428  2oc2o 6429  cen 6756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-1o 6435  df-2o 6436  df-er 6553  df-en 6759
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator