Theorem snnen2og 7040

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 7041. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6683	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		php5 7039	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ suc 1o
4		ensn1g 6966	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
5		df-2o 6578	. . . . 5 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2233	. . . 4 ⊢ suc 1o = 2o
7	6	breq2i 4094	. . 3 ⊢ (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8		ensymb 6949	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9		entr 6953	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
10	9	ex 115	. . . . 5 ⊢ (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
11	8, 10	sylbi 121	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
12	11	con3rr3 636	. . 3 ⊢ (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
13	7, 12	sylnbi 682	. 2 ⊢ (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
14	3, 4, 13	mpsyl 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2200  {csn 3667   class class class wbr 4086  suc csuc 4460  ωcom 4686  1_oc1o 6570  2_oc2o 6571   ≈ cen 6902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905

This theorem is referenced by: (None)