Theorem snopfsupp 7305

Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
snopfsupp	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> { <. X , Y >. } finSupp Z )

Proof of Theorem snopfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4370	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> <. X , Y >. e. _V )
2	1	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> <. X , Y >. e. _V )
3		snexg 4323	. . 3 |- ( <. X , Y >. e. _V -> { <. X , Y >. } e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> { <. X , Y >. } e. _V )
5		simp3 1030	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> Z e. U )
6		funsng 5430	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> Fun { <. X , Y >. } )
7	6	3adant3 1048	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> Fun { <. X , Y >. } )
8		snfig 7109	. . 3 |- ( X e. V -> { X } e. Fin )
9	8	3ad2ant1 1049	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> { X } e. Fin )
10		ssid 3268	. . 3 |- { X } C_ { X }
11		dmsnopg 5262	. . . 4 |- ( Y e. W -> dom { <. X , Y >. } = { X } )
12	11	3ad2ant2 1050	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> dom { <. X , Y >. } = { X } )
13	10, 12	sseqtrrid 3299	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> { X } C_ dom { <. X , Y >. } )
14	12	difeq1d 3346	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> ( dom { <. X , Y >. } \ { X } ) = ( { X } \ { X } ) )
15		difid 3594	. . . . . 6 |- ( { X } \ { X } ) = (/)
16	14, 15	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> ( dom { <. X , Y >. } \ { X } ) = (/) )
17	16	imaeq2d 5129	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> ( { <. X , Y >. } " ( dom { <. X , Y >. } \ { X } ) ) = ( { <. X , Y >. } " (/) ) )
18		ima0 5149	. . . 4 |- ( { <. X , Y >. } " (/) ) = (/)
19	17, 18	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> ( { <. X , Y >. } " ( dom { <. X , Y >. } \ { X } ) ) = (/) )
20		0ss 3561	. . 3 |- (/) C_ { Z }
21	19, 20	eqsstrdi 3300	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> ( { <. X , Y >. } " ( dom { <. X , Y >. } \ { X } ) ) C_ { Z } )
22	4, 5, 7, 9, 13, 21	isfsuppfid 7297	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> { <. X , Y >. } finSupp Z )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   (/)c0 3520   {csn 3709   <.cop 3712   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   "cima 4779   Fun wfun 5374   Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-1o 6692  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293

This theorem is used by: (None)