Theorem submbas 13847

Description: The base set of a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submmnd.h	|- H = ( M ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
submbas	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> S = ( Base ` H ) )

Proof of Theorem submbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submmnd.h	. . 3 |- H = ( M ↾s S )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> H = ( M ↾s S ) )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> ( Base ` M ) = ( Base ` M ) )
5		submrcl 13837	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
6	3	submss 13842	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> S C_ ( Base ` M ) )
7	2, 4, 5, 6	ressbas2d 13481	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> S = ( Base ` H ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   ↾_s cress 13411   Mndcmnd 13788  SubMndcsubmnd 13824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-inn 9314  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-submnd 13826

This theorem is used by:  subsubm  13849  resmhm2  13854  resmhm2b  13855  submmulg  14028  cmnsubm  14202