Theorem subm0 13766

Description: Submonoids have the same identity. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
submmnd.h	|- H = ( M ↾s S )
subm0.z	|- .0. = ( 0g ` M )

Assertion

Ref	Expression
subm0	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. = ( 0g ` H ) )

Proof of Theorem subm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13755	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		submmnd.h	. . 3 |- H = ( M ↾s S )
3	2	submmnd 13764	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> H e. Mnd )
4		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
5	4	submss 13760	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> S C_ ( Base ` M ) )
6		subm0.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` M )
7	6	subm0cl 13762	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )
8	4, 6, 2	submnd0 13734	. 2 |- ( ( ( M e. Mnd /\ H e. Mnd ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S ) ) -> .0. = ( 0g ` H ) )
9	1, 3, 5, 7, 8	syl22anc 1279	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. = ( 0g ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   ↾_s cress 13331   0gc0g 13587   Mndcmnd 13706  SubMndcsubmnd 13742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-submnd 13744

This theorem is referenced by:  subsubm  13767  resmhm  13771  resmhm2  13772  resmhm2b  13773  submmulg  13946