Theorem subm0 12957

Description: Submonoids have the same identity. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
submmnd.h	|- H = ( M ↾s S )
subm0.z	|- .0. = ( 0g ` M )

Assertion

Ref	Expression
subm0	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. = ( 0g ` H ) )

Proof of Theorem subm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 12946	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		submmnd.h	. . 3 |- H = ( M ↾s S )
3	2	submmnd 12955	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> H e. Mnd )
4		eqid 2189	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
5	4	submss 12951	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> S C_ ( Base ` M ) )
6		subm0.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` M )
7	6	subm0cl 12953	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )
8	4, 6, 2	submnd0 12928	. 2 |- ( ( ( M e. Mnd /\ H e. Mnd ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S ) ) -> .0. = ( 0g ` H ) )
9	1, 3, 5, 7, 8	syl22anc 1250	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. = ( 0g ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   Basecbs 12523   ↾_s cress 12524   0gc0g 12772   Mndcmnd 12900  SubMndcsubmnd 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-iress 12531  df-plusg 12613  df-0g 12774  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-submnd 12935

This theorem is referenced by:  subsubm  12958  resmhm  12962  resmhm2  12963  resmhm2b  12964