Theorem subm0 13256

Description: Submonoids have the same identity. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
submmnd.h	|- H = ( M ↾s S )
subm0.z	|- .0. = ( 0g ` M )

Assertion

Ref	Expression
subm0	|- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. = ( 0g ` H ) )

Proof of Theorem subm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13245	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> M e. Mnd )
2		submmnd.h	. . 3 |- H = ( M ↾s S )
3	2	submmnd 13254	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> H e. Mnd )
4		eqid 2204	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
5	4	submss 13250	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> S C_ ( Base ` M ) )
6		subm0.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` M )
7	6	subm0cl 13252	. 2 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. e. S )
8	4, 6, 2	submnd0 13218	. 2 |- ( ( ( M e. Mnd /\ H e. Mnd ) /\ ( S C_ ( Base ` M ) /\ .0. e. S ) ) -> .0. = ( 0g ` H ) )
9	1, 3, 5, 7, 8	syl22anc 1250	1 |- ( S e. (SubMnd ` M ) -> .0. = ( 0g ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   C_ wss 3165   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12774   ↾_s cress 12775   0gc0g 13030   Mndcmnd 13190  SubMndcsubmnd 13232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-iress 12782  df-plusg 12864  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-submnd 13234

This theorem is referenced by:  subsubm  13257  resmhm  13261  resmhm2  13262  resmhm2b  13263  submmulg  13444