Theorem subsubm 13058

Description: A submonoid of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subsubm	|- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) )

Proof of Theorem subsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
2	1	submss 13051	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> A C_ ( Base ` H ) )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ ( Base ` H ) )
4		subsubm.h	. . . . . . . 8 |- H = ( G ↾s S )
5	4	submbas 13056	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> S = ( Base ` H ) )
7	3, 6	sseqtrrd 3219	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ S )
8		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
9	8	submss 13051	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
11	7, 10	sstrd 3190	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ ( Base ` G ) )
12		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
13	4, 12	subm0 13057	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
15		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
16	15	subm0cl 13053	. . . . . 6 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> ( 0g ` H ) e. A )
17	16	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` H ) e. A )
18	14, 17	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` G ) e. A )
19	4	oveq1i 5929	. . . . . . 7 |- ( H ↾s A ) = ( ( G ↾s S ) ↾s A )
20		submrcl 13046	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> G e. Mnd )
22		ressabsg 12697	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S /\ G e. Mnd ) -> ( ( G ↾s S ) ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
23	21, 22	mpd3an3 1349	. . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> ( ( G ↾s S ) ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
24	19, 23	eqtrid 2238	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
25	7, 24	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
26		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( H ↾s A ) = ( H ↾s A )
27	26	submmnd 13055	. . . . . 6 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
28	27	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
29	25, 28	eqeltrrd 2271	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
30	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> G e. Mnd )
31		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( G ↾s A ) = ( G ↾s A )
32	8, 12, 31	issubm2 13048	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` G ) <-> ( A C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. A /\ ( G ↾s A ) e. Mnd ) ) )
33	30, 32	syl 14	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( A e. (SubMnd ` G ) <-> ( A C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. A /\ ( G ↾s A ) e. Mnd ) ) )
34	11, 18, 29, 33	mpbir3and 1182	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A e. (SubMnd ` G ) )
35	34, 7	jca 306	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) )
36		simprr 531	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A C_ S )
37	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> S = ( Base ` H ) )
38	36, 37	sseqtrd 3218	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A C_ ( Base ` H ) )
39	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
40	12	subm0cl 13053	. . . . 5 |- ( A e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. A )
41	40	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` G ) e. A )
42	39, 41	eqeltrrd 2271	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` H ) e. A )
43	24	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
44	31	submmnd 13055	. . . . 5 |- ( A e. (SubMnd ` G ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
45	44	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
46	43, 45	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
47	4	submmnd 13055	. . . . 5 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> H e. Mnd )
48	47	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> H e. Mnd )
49	1, 15, 26	issubm2 13048	. . . 4 |- ( H e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A C_ ( Base ` H ) /\ ( 0g ` H ) e. A /\ ( H ↾s A ) e. Mnd ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A C_ ( Base ` H ) /\ ( 0g ` H ) e. A /\ ( H ↾s A ) e. Mnd ) ) )
51	38, 42, 46, 50	mpbir3and 1182	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A e. (SubMnd ` H ) )
52	35, 51	impbida 596	1 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3154   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   ↾_s cress 12622   0gc0g 12870   Mndcmnd 13000  SubMndcsubmnd 13033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-submnd 13035

This theorem is referenced by: (None)