Theorem subsubm 13185

Description: A submonoid of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subsubm	|- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) )

Proof of Theorem subsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
2	1	submss 13178	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> A C_ ( Base ` H ) )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ ( Base ` H ) )
4		subsubm.h	. . . . . . . 8 |- H = ( G ↾s S )
5	4	submbas 13183	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> S = ( Base ` H ) )
7	3, 6	sseqtrrd 3223	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ S )
8		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
9	8	submss 13178	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
11	7, 10	sstrd 3194	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ ( Base ` G ) )
12		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
13	4, 12	subm0 13184	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
15		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
16	15	subm0cl 13180	. . . . . 6 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> ( 0g ` H ) e. A )
17	16	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` H ) e. A )
18	14, 17	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` G ) e. A )
19	4	oveq1i 5935	. . . . . . 7 |- ( H ↾s A ) = ( ( G ↾s S ) ↾s A )
20		submrcl 13173	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> G e. Mnd )
22		ressabsg 12779	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S /\ G e. Mnd ) -> ( ( G ↾s S ) ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
23	21, 22	mpd3an3 1349	. . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> ( ( G ↾s S ) ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
24	19, 23	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
25	7, 24	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
26		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( H ↾s A ) = ( H ↾s A )
27	26	submmnd 13182	. . . . . 6 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
28	27	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
29	25, 28	eqeltrrd 2274	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
30	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> G e. Mnd )
31		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( G ↾s A ) = ( G ↾s A )
32	8, 12, 31	issubm2 13175	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` G ) <-> ( A C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. A /\ ( G ↾s A ) e. Mnd ) ) )
33	30, 32	syl 14	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( A e. (SubMnd ` G ) <-> ( A C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. A /\ ( G ↾s A ) e. Mnd ) ) )
34	11, 18, 29, 33	mpbir3and 1182	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A e. (SubMnd ` G ) )
35	34, 7	jca 306	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) )
36		simprr 531	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A C_ S )
37	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> S = ( Base ` H ) )
38	36, 37	sseqtrd 3222	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A C_ ( Base ` H ) )
39	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
40	12	subm0cl 13180	. . . . 5 |- ( A e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. A )
41	40	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` G ) e. A )
42	39, 41	eqeltrrd 2274	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` H ) e. A )
43	24	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
44	31	submmnd 13182	. . . . 5 |- ( A e. (SubMnd ` G ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
45	44	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
46	43, 45	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
47	4	submmnd 13182	. . . . 5 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> H e. Mnd )
48	47	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> H e. Mnd )
49	1, 15, 26	issubm2 13175	. . . 4 |- ( H e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A C_ ( Base ` H ) /\ ( 0g ` H ) e. A /\ ( H ↾s A ) e. Mnd ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A C_ ( Base ` H ) /\ ( 0g ` H ) e. A /\ ( H ↾s A ) e. Mnd ) ) )
51	38, 42, 46, 50	mpbir3and 1182	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A e. (SubMnd ` H ) )
52	35, 51	impbida 596	1 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   ↾_s cress 12704   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118  SubMndcsubmnd 13160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-submnd 13162

This theorem is referenced by: (None)