Theorem subsubm 13315

Description: A submonoid of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subsubm	|- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) )

Proof of Theorem subsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
2	1	submss 13308	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> A C_ ( Base ` H ) )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ ( Base ` H ) )
4		subsubm.h	. . . . . . . 8 |- H = ( G ↾s S )
5	4	submbas 13313	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> S = ( Base ` H ) )
7	3, 6	sseqtrrd 3232	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ S )
8		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
9	8	submss 13308	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
11	7, 10	sstrd 3203	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ ( Base ` G ) )
12		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
13	4, 12	subm0 13314	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
15		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
16	15	subm0cl 13310	. . . . . 6 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> ( 0g ` H ) e. A )
17	16	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` H ) e. A )
18	14, 17	eqeltrd 2282	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` G ) e. A )
19	4	oveq1i 5954	. . . . . . 7 |- ( H ↾s A ) = ( ( G ↾s S ) ↾s A )
20		submrcl 13303	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> G e. Mnd )
22		ressabsg 12908	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S /\ G e. Mnd ) -> ( ( G ↾s S ) ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
23	21, 22	mpd3an3 1351	. . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> ( ( G ↾s S ) ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
24	19, 23	eqtrid 2250	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
25	7, 24	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
26		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( H ↾s A ) = ( H ↾s A )
27	26	submmnd 13312	. . . . . 6 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
28	27	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
29	25, 28	eqeltrrd 2283	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
30	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> G e. Mnd )
31		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( G ↾s A ) = ( G ↾s A )
32	8, 12, 31	issubm2 13305	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` G ) <-> ( A C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. A /\ ( G ↾s A ) e. Mnd ) ) )
33	30, 32	syl 14	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( A e. (SubMnd ` G ) <-> ( A C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. A /\ ( G ↾s A ) e. Mnd ) ) )
34	11, 18, 29, 33	mpbir3and 1183	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A e. (SubMnd ` G ) )
35	34, 7	jca 306	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) )
36		simprr 531	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A C_ S )
37	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> S = ( Base ` H ) )
38	36, 37	sseqtrd 3231	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A C_ ( Base ` H ) )
39	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
40	12	subm0cl 13310	. . . . 5 |- ( A e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. A )
41	40	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` G ) e. A )
42	39, 41	eqeltrrd 2283	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` H ) e. A )
43	24	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
44	31	submmnd 13312	. . . . 5 |- ( A e. (SubMnd ` G ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
45	44	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
46	43, 45	eqeltrd 2282	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
47	4	submmnd 13312	. . . . 5 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> H e. Mnd )
48	47	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> H e. Mnd )
49	1, 15, 26	issubm2 13305	. . . 4 |- ( H e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A C_ ( Base ` H ) /\ ( 0g ` H ) e. A /\ ( H ↾s A ) e. Mnd ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A C_ ( Base ` H ) /\ ( 0g ` H ) e. A /\ ( H ↾s A ) e. Mnd ) ) )
51	38, 42, 46, 50	mpbir3and 1183	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A e. (SubMnd ` H ) )
52	35, 51	impbida 596	1 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   ↾_s cress 12833   0gc0g 13088   Mndcmnd 13248  SubMndcsubmnd 13290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-submnd 13292

This theorem is referenced by: (None)