Theorem subsubm 13556

Description: A submonoid of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subsubm	|- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) )

Proof of Theorem subsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
2	1	submss 13549	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> A C_ ( Base ` H ) )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ ( Base ` H ) )
4		subsubm.h	. . . . . . . 8 |- H = ( G ↾s S )
5	4	submbas 13554	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> S = ( Base ` H ) )
7	3, 6	sseqtrrd 3264	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ S )
8		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
9	8	submss 13549	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
11	7, 10	sstrd 3235	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A C_ ( Base ` G ) )
12		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
13	4, 12	subm0 13555	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
15		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
16	15	subm0cl 13551	. . . . . 6 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> ( 0g ` H ) e. A )
17	16	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` H ) e. A )
18	14, 17	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( 0g ` G ) e. A )
19	4	oveq1i 6023	. . . . . . 7 |- ( H ↾s A ) = ( ( G ↾s S ) ↾s A )
20		submrcl 13544	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> G e. Mnd )
22		ressabsg 13149	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S /\ G e. Mnd ) -> ( ( G ↾s S ) ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
23	21, 22	mpd3an3 1372	. . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> ( ( G ↾s S ) ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
24	19, 23	eqtrid 2274	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
25	7, 24	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
26		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( H ↾s A ) = ( H ↾s A )
27	26	submmnd 13553	. . . . . 6 |- ( A e. (SubMnd ` H ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
28	27	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
29	25, 28	eqeltrrd 2307	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
30	20	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> G e. Mnd )
31		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( G ↾s A ) = ( G ↾s A )
32	8, 12, 31	issubm2 13546	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` G ) <-> ( A C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. A /\ ( G ↾s A ) e. Mnd ) ) )
33	30, 32	syl 14	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( A e. (SubMnd ` G ) <-> ( A C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. A /\ ( G ↾s A ) e. Mnd ) ) )
34	11, 18, 29, 33	mpbir3and 1204	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> A e. (SubMnd ` G ) )
35	34, 7	jca 306	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ A e. (SubMnd ` H ) ) -> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) )
36		simprr 531	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A C_ S )
37	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> S = ( Base ` H ) )
38	36, 37	sseqtrd 3263	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A C_ ( Base ` H ) )
39	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
40	12	subm0cl 13551	. . . . 5 |- ( A e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. A )
41	40	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` G ) e. A )
42	39, 41	eqeltrrd 2307	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( 0g ` H ) e. A )
43	24	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( H ↾s A ) = ( G ↾s A ) )
44	31	submmnd 13553	. . . . 5 |- ( A e. (SubMnd ` G ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
45	44	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( G ↾s A ) e. Mnd )
46	43, 45	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( H ↾s A ) e. Mnd )
47	4	submmnd 13553	. . . . 5 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> H e. Mnd )
48	47	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> H e. Mnd )
49	1, 15, 26	issubm2 13546	. . . 4 |- ( H e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A C_ ( Base ` H ) /\ ( 0g ` H ) e. A /\ ( H ↾s A ) e. Mnd ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A C_ ( Base ` H ) /\ ( 0g ` H ) e. A /\ ( H ↾s A ) e. Mnd ) ) )
51	38, 42, 46, 50	mpbir3and 1204	. 2 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) -> A e. (SubMnd ` H ) )
52	35, 51	impbida 598	1 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( A e. (SubMnd ` H ) <-> ( A e. (SubMnd ` G ) /\ A C_ S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3198   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   ↾_s cress 13073   0gc0g 13329   Mndcmnd 13489  SubMndcsubmnd 13531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-submnd 13533

This theorem is referenced by: (None)