Theorem submbas 13790

Description: The base set of a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submmnd.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem submbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submmnd.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆))
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀))
5		submrcl 13780	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
6	3	submss 13785	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
7	2, 4, 5, 6	ressbas2d 13424	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354   ↾_s cress 13355  Mndcmnd 13731  SubMndcsubmnd 13767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9306  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-submnd 13769

This theorem is used by:  subsubm  13792  resmhm2  13797  resmhm2b  13798  submmulg  13971  cmnsubm  14114