Theorem submbas 12956

Description: The base set of a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submmnd.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem submbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submmnd.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆))
3		eqid 2189	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀))
5		submrcl 12946	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
6	3	submss 12951	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
7	2, 4, 5, 6	ressbas2d 12591	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  Basecbs 12523   ↾_s cress 12524  Mndcmnd 12900  SubMndcsubmnd 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-inn 8955  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-iress 12531  df-submnd 12935

This theorem is referenced by:  subsubm  12958  resmhm2  12963  resmhm2b  12964