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Theorem tfrcllemex 6057
Description: Lemma for tfrcl 6061. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllembacc.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
tfrcllembacc.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllembacc.4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
tfrcllembacc.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrcllemex  |-  ( ph  ->  E. f ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, g, h, x, y, z    D, f, g, x, y   
f, G, x, y    S, f, x, y    f, X, x    ph, f, g, h, x, y, z    B, f, g, h, z   
u, B, f    w, B, g, z    D, h, z    u, D, w   
y, w    h, G, z    u, G, w    S, g, h, z    z, X    ph, w
Allowed substitution hints:    ph( u)    A( w, u)    B( x, y)    S( w, u)    F( x, y, z, w, u, f, g, h)    G( g)    X( y, w, u, g, h)

Proof of Theorem tfrcllemex
StepHypRef Expression
1 tfrcl.f . . . 4  |-  F  = recs ( G )
2 tfrcl.g . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  G )
3 tfrcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Ord  X )
4 tfrcl.ex . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
5 tfrcllemsucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
6 tfrcllembacc.3 . . . 4  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
7 tfrcllembacc.u . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
8 tfrcllembacc.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
9 tfrcllembacc.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembex 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
11 uniexg 4229 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  U. B  e.  _V )
1210, 11syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  U. B  e.  _V )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembfn 6054 . . 3  |-  ( ph  ->  U. B : D --> S )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllemubacc 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  D  ( U. B `  u
)  =  ( G `
 ( U. B  |`  u ) ) )
1513, 14jca 300 . 2  |-  ( ph  ->  ( U. B : D
--> S  /\  A. u  e.  D  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) ) )
16 feq1 5098 . . . 4  |-  ( f  =  U. B  -> 
( f : D --> S 
<-> 
U. B : D --> S ) )
17 fveq1 5252 . . . . . 6  |-  ( f  =  U. B  -> 
( f `  u
)  =  ( U. B `  u )
)
18 reseq1 4665 . . . . . . 7  |-  ( f  =  U. B  -> 
( f  |`  u
)  =  ( U. B  |`  u ) )
1918fveq2d 5257 . . . . . 6  |-  ( f  =  U. B  -> 
( G `  (
f  |`  u ) )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) )
2017, 19eqeq12d 2097 . . . . 5  |-  ( f  =  U. B  -> 
( ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u ) )  <->  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) ) )
2120ralbidv 2374 . . . 4  |-  ( f  =  U. B  -> 
( A. u  e.  D  ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u ) )  <->  A. u  e.  D  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) ) )
2216, 21anbi12d 457 . . 3  |-  ( f  =  U. B  -> 
( ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  (
f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) )  <->  ( U. B : D --> S  /\  A. u  e.  D  ( U. B `  u
)  =  ( G `
 ( U. B  |`  u ) ) ) ) )
2322spcegv 2697 . 2  |-  ( U. B  e.  _V  ->  ( ( U. B : D
--> S  /\  A. u  e.  D  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) )  ->  E. f ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  (
f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) ) ) )
2412, 15, 23sylc 61 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   {cab 2069   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2612    u. cun 2982   {csn 3422   <.cop 3425   U.cuni 3627   Ord word 4153   suc csuc 4156    |` cres 4403   Fun wfun 4963   -->wf 4965   ` cfv 4969  recscrecs 6001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-recs 6002
This theorem is referenced by:  tfrcllemaccex  6058
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