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Theorem tfrcllemex 6379
Description: Lemma for tfrcl 6383. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllembacc.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
tfrcllembacc.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllembacc.4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
tfrcllembacc.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrcllemex  |-  ( ph  ->  E. f ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, g, h, x, y, z    D, f, g, x, y   
f, G, x, y    S, f, x, y    f, X, x    ph, f, g, h, x, y, z    B, f, g, h, z   
u, B, f    w, B, g, z    D, h, z    u, D, w   
y, w    h, G, z    u, G, w    S, g, h, z    z, X    ph, w
Allowed substitution hints:    ph( u)    A( w, u)    B( x, y)    S( w, u)    F( x, y, z, w, u, f, g, h)    G( g)    X( y, w, u, g, h)

Proof of Theorem tfrcllemex
StepHypRef Expression
1 tfrcl.f . . . 4  |-  F  = recs ( G )
2 tfrcl.g . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  G )
3 tfrcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Ord  X )
4 tfrcl.ex . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
5 tfrcllemsucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
6 tfrcllembacc.3 . . . 4  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
7 tfrcllembacc.u . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
8 tfrcllembacc.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
9 tfrcllembacc.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembex 6377 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
11 uniexg 4454 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  U. B  e.  _V )
1210, 11syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  U. B  e.  _V )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembfn 6376 . . 3  |-  ( ph  ->  U. B : D --> S )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllemubacc 6378 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  D  ( U. B `  u
)  =  ( G `
 ( U. B  |`  u ) ) )
1513, 14jca 306 . 2  |-  ( ph  ->  ( U. B : D
--> S  /\  A. u  e.  D  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) ) )
16 feq1 5363 . . . 4  |-  ( f  =  U. B  -> 
( f : D --> S 
<-> 
U. B : D --> S ) )
17 fveq1 5529 . . . . . 6  |-  ( f  =  U. B  -> 
( f `  u
)  =  ( U. B `  u )
)
18 reseq1 4916 . . . . . . 7  |-  ( f  =  U. B  -> 
( f  |`  u
)  =  ( U. B  |`  u ) )
1918fveq2d 5534 . . . . . 6  |-  ( f  =  U. B  -> 
( G `  (
f  |`  u ) )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) )
2017, 19eqeq12d 2204 . . . . 5  |-  ( f  =  U. B  -> 
( ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u ) )  <->  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) ) )
2120ralbidv 2490 . . . 4  |-  ( f  =  U. B  -> 
( A. u  e.  D  ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u ) )  <->  A. u  e.  D  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) ) )
2216, 21anbi12d 473 . . 3  |-  ( f  =  U. B  -> 
( ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  (
f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) )  <->  ( U. B : D --> S  /\  A. u  e.  D  ( U. B `  u
)  =  ( G `
 ( U. B  |`  u ) ) ) ) )
2322spcegv 2840 . 2  |-  ( U. B  e.  _V  ->  ( ( U. B : D
--> S  /\  A. u  e.  D  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) )  ->  E. f ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  (
f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) ) ) )
2412, 15, 23sylc 62 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    u. cun 3142   {csn 3607   <.cop 3610   U.cuni 3824   Ord word 4377   suc csuc 4380    |` cres 4643   Fun wfun 5225   -->wf 5227   ` cfv 5231  recscrecs 6323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-recs 6324
This theorem is referenced by:  tfrcllemaccex  6380
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