Theorem tfrcllemex 6336

Description: Lemma for tfrcl 6340. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfrcllembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfrcllembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemex	|- ( ph -> E. f ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, y, z   D, f, g, x, y   f, G, x, y   S, f, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, y, z   B, f, g, h, z   u, B, f   w, B, g, z   D, h, z   u, D, w   y, w   h, G, z   u, G, w   S, g, h, z   z, X   ph, w

Allowed substitution hints:   ph( u)   A( w, u)   B( x, y)   S( w, u)   F( x, y, z, w, u, f, g, h)   G( g)   X( y, w, u, g, h)

Proof of Theorem tfrcllemex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
2		tfrcl.g	. . . 4 |- ( ph -> Fun G )
3		tfrcl.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
4		tfrcl.ex	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
5		tfrcllemsucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
6		tfrcllembacc.3	. . . 4 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
7		tfrcllembacc.u	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
8		tfrcllembacc.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. X )
9		tfrcllembacc.5	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembex 6334	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
11		uniexg 4422	. . 3 |- ( B e. _V -> U. B e. _V )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ph -> U. B e. _V )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembfn 6333	. . 3 |- ( ph -> U. B : D --> S )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllemubacc 6335	. . 3 |- ( ph -> A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) )
15	13, 14	jca 304	. 2 |- ( ph -> ( U. B : D --> S /\ A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) )
16		feq1 5328	. . . 4 |- ( f = U. B -> ( f : D --> S <-> U. B : D --> S ) )
17		fveq1 5493	. . . . . 6 |- ( f = U. B -> ( f ` u ) = ( U. B ` u ) )
18		reseq1 4883	. . . . . . 7 |- ( f = U. B -> ( f |` u ) = ( U. B |` u ) )
19	18	fveq2d 5498	. . . . . 6 |- ( f = U. B -> ( G ` ( f |` u ) ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( f = U. B -> ( ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) <-> ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) )
21	20	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( f = U. B -> ( A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) <-> A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) )
22	16, 21	anbi12d 470	. . 3 |- ( f = U. B -> ( ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) <-> ( U. B : D --> S /\ A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) ) )
23	22	spcegv 2818	. 2 |- ( U. B e. _V -> ( ( U. B : D --> S /\ A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) -> E. f ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) ) )
24	12, 15, 23	sylc 62	1 |- ( ph -> E. f ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   u. cun 3119   {csn 3581   <.cop 3584   U.cuni 3794   Ord word 4345   suc csuc 4348   |` cres 4611   Fun wfun 5190   -->wf 5192   ` cfv 5196  recscrecs 6280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-recs 6281

This theorem is referenced by:  tfrcllemaccex  6337