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Theorem tfrcllemex 6339
Description: Lemma for tfrcl 6343. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllembacc.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
tfrcllembacc.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllembacc.4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
tfrcllembacc.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrcllemex  |-  ( ph  ->  E. f ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, g, h, x, y, z    D, f, g, x, y   
f, G, x, y    S, f, x, y    f, X, x    ph, f, g, h, x, y, z    B, f, g, h, z   
u, B, f    w, B, g, z    D, h, z    u, D, w   
y, w    h, G, z    u, G, w    S, g, h, z    z, X    ph, w
Allowed substitution hints:    ph( u)    A( w, u)    B( x, y)    S( w, u)    F( x, y, z, w, u, f, g, h)    G( g)    X( y, w, u, g, h)

Proof of Theorem tfrcllemex
StepHypRef Expression
1 tfrcl.f . . . 4  |-  F  = recs ( G )
2 tfrcl.g . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  G )
3 tfrcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Ord  X )
4 tfrcl.ex . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
5 tfrcllemsucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
6 tfrcllembacc.3 . . . 4  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
7 tfrcllembacc.u . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
8 tfrcllembacc.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
9 tfrcllembacc.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembex 6337 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
11 uniexg 4424 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  U. B  e.  _V )
1210, 11syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  U. B  e.  _V )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembfn 6336 . . 3  |-  ( ph  ->  U. B : D --> S )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllemubacc 6338 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  D  ( U. B `  u
)  =  ( G `
 ( U. B  |`  u ) ) )
1513, 14jca 304 . 2  |-  ( ph  ->  ( U. B : D
--> S  /\  A. u  e.  D  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) ) )
16 feq1 5330 . . . 4  |-  ( f  =  U. B  -> 
( f : D --> S 
<-> 
U. B : D --> S ) )
17 fveq1 5495 . . . . . 6  |-  ( f  =  U. B  -> 
( f `  u
)  =  ( U. B `  u )
)
18 reseq1 4885 . . . . . . 7  |-  ( f  =  U. B  -> 
( f  |`  u
)  =  ( U. B  |`  u ) )
1918fveq2d 5500 . . . . . 6  |-  ( f  =  U. B  -> 
( G `  (
f  |`  u ) )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) )
2017, 19eqeq12d 2185 . . . . 5  |-  ( f  =  U. B  -> 
( ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u ) )  <->  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) ) )
2120ralbidv 2470 . . . 4  |-  ( f  =  U. B  -> 
( A. u  e.  D  ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u ) )  <->  A. u  e.  D  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) ) )
2216, 21anbi12d 470 . . 3  |-  ( f  =  U. B  -> 
( ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  (
f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) )  <->  ( U. B : D --> S  /\  A. u  e.  D  ( U. B `  u
)  =  ( G `
 ( U. B  |`  u ) ) ) ) )
2322spcegv 2818 . 2  |-  ( U. B  e.  _V  ->  ( ( U. B : D
--> S  /\  A. u  e.  D  ( U. B `  u )  =  ( G `  ( U. B  |`  u
) ) )  ->  E. f ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  (
f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) ) ) )
2412, 15, 23sylc 62 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : D --> S  /\  A. u  e.  D  ( f `  u )  =  ( G `  ( f  |`  u
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 973    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730    u. cun 3119   {csn 3583   <.cop 3586   U.cuni 3796   Ord word 4347   suc csuc 4350    |` cres 4613   Fun wfun 5192   -->wf 5194   ` cfv 5198  recscrecs 6283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-recs 6284
This theorem is referenced by:  tfrcllemaccex  6340
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