Theorem tfrcllemex 6469

Description: Lemma for tfrcl 6473. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfrcllembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfrcllembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemex	|- ( ph -> E. f ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, y, z   D, f, g, x, y   f, G, x, y   S, f, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, y, z   B, f, g, h, z   u, B, f   w, B, g, z   D, h, z   u, D, w   y, w   h, G, z   u, G, w   S, g, h, z   z, X   ph, w

Allowed substitution hints:   ph( u)   A( w, u)   B( x, y)   S( w, u)   F( x, y, z, w, u, f, g, h)   G( g)   X( y, w, u, g, h)

Proof of Theorem tfrcllemex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
2		tfrcl.g	. . . 4 |- ( ph -> Fun G )
3		tfrcl.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
4		tfrcl.ex	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
5		tfrcllemsucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
6		tfrcllembacc.3	. . . 4 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
7		tfrcllembacc.u	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
8		tfrcllembacc.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. X )
9		tfrcllembacc.5	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembex 6467	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
11		uniexg 4504	. . 3 |- ( B e. _V -> U. B e. _V )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ph -> U. B e. _V )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembfn 6466	. . 3 |- ( ph -> U. B : D --> S )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllemubacc 6468	. . 3 |- ( ph -> A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) )
15	13, 14	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( U. B : D --> S /\ A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) )
16		feq1 5428	. . . 4 |- ( f = U. B -> ( f : D --> S <-> U. B : D --> S ) )
17		fveq1 5598	. . . . . 6 |- ( f = U. B -> ( f ` u ) = ( U. B ` u ) )
18		reseq1 4972	. . . . . . 7 |- ( f = U. B -> ( f |` u ) = ( U. B |` u ) )
19	18	fveq2d 5603	. . . . . 6 |- ( f = U. B -> ( G ` ( f |` u ) ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2222	. . . . 5 |- ( f = U. B -> ( ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) <-> ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) )
21	20	ralbidv 2508	. . . 4 |- ( f = U. B -> ( A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) <-> A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) )
22	16, 21	anbi12d 473	. . 3 |- ( f = U. B -> ( ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) <-> ( U. B : D --> S /\ A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) ) )
23	22	spcegv 2868	. 2 |- ( U. B e. _V -> ( ( U. B : D --> S /\ A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) -> E. f ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) ) )
24	12, 15, 23	sylc 62	1 |- ( ph -> E. f ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   u. cun 3172   {csn 3643   <.cop 3646   U.cuni 3864   Ord word 4427   suc csuc 4430   |` cres 4695   Fun wfun 5284   -->wf 5286   ` cfv 5290  recscrecs 6413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-recs 6414

This theorem is referenced by:  tfrcllemaccex  6470