Theorem tfrcllemex 6621

Description: Lemma for tfrcl 6625. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfrcllembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfrcllembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemex	|- ( ph -> E. f ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, y, z   D, f, g, x, y   f, G, x, y   S, f, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, y, z   B, f, g, h, z   u, B, f   w, B, g, z   D, h, z   u, D, w   y, w   h, G, z   u, G, w   S, g, h, z   z, X   ph, w

Allowed substitution hints:   ph( u)   A( w, u)   B( x, y)   S( w, u)   F( x, y, z, w, u, f, g, h)   G( g)   X( y, w, u, g, h)

Proof of Theorem tfrcllemex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
2		tfrcl.g	. . . 4 |- ( ph -> Fun G )
3		tfrcl.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
4		tfrcl.ex	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
5		tfrcllemsucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
6		tfrcllembacc.3	. . . 4 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
7		tfrcllembacc.u	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
8		tfrcllembacc.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. X )
9		tfrcllembacc.5	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembex 6619	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
11		uniexg 4580	. . 3 |- ( B e. _V -> U. B e. _V )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ph -> U. B e. _V )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembfn 6618	. . 3 |- ( ph -> U. B : D --> S )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllemubacc 6620	. . 3 |- ( ph -> A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) )
15	13, 14	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( U. B : D --> S /\ A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) )
16		feq1 5511	. . . 4 |- ( f = U. B -> ( f : D --> S <-> U. B : D --> S ) )
17		fveq1 5689	. . . . . 6 |- ( f = U. B -> ( f ` u ) = ( U. B ` u ) )
18		reseq1 5052	. . . . . . 7 |- ( f = U. B -> ( f |` u ) = ( U. B |` u ) )
19	18	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( f = U. B -> ( G ` ( f |` u ) ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( f = U. B -> ( ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) <-> ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) )
21	20	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( f = U. B -> ( A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) <-> A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) )
22	16, 21	anbi12d 477	. . 3 |- ( f = U. B -> ( ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) <-> ( U. B : D --> S /\ A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) ) )
23	22	spcegv 2913	. 2 |- ( U. B e. _V -> ( ( U. B : D --> S /\ A. u e. D ( U. B ` u ) = ( G ` ( U. B |` u ) ) ) -> E. f ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) ) )
24	12, 15, 23	sylc 62	1 |- ( ph -> E. f ( f : D --> S /\ A. u e. D ( f ` u ) = ( G ` ( f |` u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   u. cun 3218   {csn 3705   <.cop 3708   U.cuni 3930   Ord word 4502   suc csuc 4505   |` cres 4771   Fun wfun 5366   -->wf 5368   ` cfv 5372  recscrecs 6565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-recs 6566

This theorem is referenced by:  tfrcllemaccex  6622