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Theorem tfrcllemaccex 6108
Description: We can define an acceptable function on any element of  X.

As with many of the transfinite recursion theorems, we have hypotheses that state that  F is a function and that it is defined up to  X. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllemaccex.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tfrcllemaccex  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, x, y    C, g, u    g, G, u, y, x    f, G, x, y    S, g, u, y, x    S, f    y, X, x, f    ph, y, x, f
Allowed substitution hints:    ph( u, g)    A( f, g)    C( x, y, f)    F( x, y, u, f, g)    X( u, g)

Proof of Theorem tfrcllemaccex
Dummy variables  a  b  c  r  s  t  d  h  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.x . . 3  |-  ( ph  ->  Ord  X )
2 ordelon 4201 . . 3  |-  ( ( Ord  X  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  On )
31, 2sylan 277 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  On )
4 eleq1 2150 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  X  <->  w  e.  X ) )
54anbi2d 452 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( ph  /\  z  e.  X )  <->  ( ph  /\  w  e.  X ) ) )
6 feq2 5132 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
g : z --> S  <-> 
g : w --> S ) )
7 raleq 2562 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( A. u  e.  z 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
86, 7anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
98exbidv 1753 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
105, 9imbi12d 232 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
11 eleq1 2150 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
z  e.  X  <->  C  e.  X ) )
1211anbi2d 452 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  (
( ph  /\  z  e.  X )  <->  ( ph  /\  C  e.  X ) ) )
13 feq2 5132 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
g : z --> S  <-> 
g : C --> S ) )
14 raleq 2562 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  ( A. u  e.  z 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
1513, 14anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1615exbidv 1753 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1712, 16imbi12d 232 . . 3  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g ( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
18 tfrcl.f . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( G )
19 tfrcl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  G )
2019ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  Fun  G )
211ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  Ord  X )
22 tfrcl.ex . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
23223expia 1145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
2423alrimiv 1802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
25 feq1 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
f : x --> S  <->  h :
x --> S ) )
26 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  h  ->  ( G `  f )  =  ( G `  h ) )
2726eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  h )  e.  S
) )
2825, 27imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( h : x --> S  ->  ( G `  h )  e.  S ) ) )
2928cbvalv 1842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. h
( h : x --> S  ->  ( G `  h )  e.  S
) )
3024, 29sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. h
( h : x --> S  ->  ( G `  h )  e.  S
) )
313019.21bi 1495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
h : x --> S  -> 
( G `  h
)  e.  S ) )
32313impia 1140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  ->  ( G `  h )  e.  S )
33323adant1r 1167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  ->  ( G `  h )  e.  S
)
34333adant1r 1167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  -> 
( G `  h
)  e.  S )
35343adant1r 1167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  ->  ( G `  h )  e.  S
)
36 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
37 fveq1 5288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  y )  =  ( h `  y ) )
38 reseq1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  (
f  |`  y )  =  ( h  |`  y
) )
3938fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
h  |`  y ) ) )
4037, 39eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) )
4140ralbidv 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) )
4225, 41anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
4342rexbidv 2381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  ( E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
4443cbvabv 2211 . . . . . . . . . 10  |-  { f  |  E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }  =  { h  |  E. x  e.  X  ( h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) }
4536, 44eqtri 2108 . . . . . . . . 9  |-  A  =  { h  |  E. x  e.  X  (
h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) }
46 feq1 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
r : t --> S  <-> 
a : t --> S ) )
47 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
r  e.  A  <->  a  e.  A ) )
48 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  a  ->  r  =  a )
49 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  a  ->  ( G `  r )  =  ( G `  a ) )
5049opeq2d 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  a  ->  <. t ,  ( G `  r ) >.  =  <. t ,  ( G `  a ) >. )
5150sneqd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  a  ->  { <. t ,  ( G `  r ) >. }  =  { <. t ,  ( G `  a )
>. } )
5248, 51uneq12d 3153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  a  ->  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } )  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )
5352eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } )  <-> 
s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
5446, 47, 533anbi123d 1248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  a  ->  (
( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `
 r ) >. } ) )  <->  ( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a )
>. } ) ) ) )
5554cbvexv 1843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u. 
{ <. t ,  ( G `  r )
>. } ) )  <->  E. a
( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
5655rexbii 2385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u. 
{ <. t ,  ( G `  r )
>. } ) )  <->  E. t  e.  z  E. a
( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
57 feq2 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  b  ->  (
a : t --> S  <-> 
a : b --> S ) )
58 opeq1 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  b  ->  <. t ,  ( G `  a ) >.  =  <. b ,  ( G `  a ) >. )
5958sneqd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  b  ->  { <. t ,  ( G `  a ) >. }  =  { <. b ,  ( G `  a )
>. } )
6059uneq2d 3152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  b  ->  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } )  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )
6160eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  b  ->  (
s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } )  <-> 
s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
6257, 613anbi13d 1250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  b  ->  (
( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) ) )
6362exbidv 1753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  b  ->  ( E. a ( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
6463cbvrexv 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. t  e.  z  E. a ( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
6556, 64bitri 182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u. 
{ <. t ,  ( G `  r )
>. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
6665abbii 2203 . . . . . . . . . 10  |-  { s  |  E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } ) ) }  =  {
s  |  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) }
67 eqeq1 2094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  d  ->  (
s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } )  <-> 
d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
68673anbi3d 1254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  d  ->  (
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) ) )
6968exbidv 1753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  d  ->  ( E. a ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
7069rexbidv 2381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  d  ->  ( E. b  e.  z  E. a ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
7170cbvabv 2211 . . . . . . . . . 10  |-  { s  |  E. b  e.  z  E. a ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) }  =  {
d  |  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) }
7266, 71eqtri 2108 . . . . . . . . 9  |-  { s  |  E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } ) ) }  =  {
d  |  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) }
73 tfrcllemaccex.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7473adantlr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7574adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  x  e. 
U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7675adantlr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
77 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
78 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  b  e.  z )
79 simplr 497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  z  e.  X )
80 ordtr1 4206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
b  e.  z  /\  z  e.  X )  ->  b  e.  X ) )
811, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  z  /\  z  e.  X )  ->  b  e.  X ) )
8281ad4antr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
( b  e.  z  /\  z  e.  X
)  ->  b  e.  X ) )
8378, 79, 82mp2and 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  b  e.  X )
84 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  b  ->  (
w  e.  X  <->  b  e.  X ) )
85 feq2 5132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  (
g : w --> S  <->  g :
b --> S ) )
86 raleq 2562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  ( A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
8785, 86anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  b  ->  (
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
8887exbidv 1753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  b  ->  ( E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. g
( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
8984, 88imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  b  ->  (
( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( b  e.  X  ->  E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
90 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
9189, 90, 78rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
b  e.  X  ->  E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )
92 feq1 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
g : b --> S  <-> 
a : b --> S ) )
93 fveq1 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  u )  =  ( a `  u ) )
94 reseq1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  a  ->  (
g  |`  u )  =  ( a  |`  u
) )
9594fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  a  ->  ( G `  ( g  |`  u ) )  =  ( G `  (
a  |`  u ) ) )
9693, 95eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  a  ->  (
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
9796ralbidv 2380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  ( A. u  e.  b 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
9892, 97anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  (
( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) ) )
9998cbvexv 1843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
100 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  c  ->  (
a `  u )  =  ( a `  c ) )
101 reseq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  c  ->  (
a  |`  u )  =  ( a  |`  c
) )
102101fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  c  ->  ( G `  ( a  |`  u ) )  =  ( G `  (
a  |`  c ) ) )
103100, 102eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  c  ->  (
( a `  u
)  =  ( G `
 ( a  |`  u ) )  <->  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
104103cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. u  e.  b  (
a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u
) )  <->  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) )
105104anbi2i 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) )  <-> 
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
106105exbii 1541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a ( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u
) ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
10799, 106bitri 182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
10891, 107syl6ib 159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
b  e.  X  ->  E. a ( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  (
a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c
) ) ) ) )
10983, 108mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
110109ralrimiva 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  A. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
11118, 20, 21, 35, 45, 72, 76, 77, 110tfrcllemex 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  E. h
( h : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) ) )
112 feq1 5131 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  (
h : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
113 fveq1 5288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  u )  =  ( g `  u ) )
114 reseq1 4695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  g  ->  (
h  |`  u )  =  ( g  |`  u
) )
115114fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  ( G `  ( h  |`  u ) )  =  ( G `  (
g  |`  u ) ) )
116113, 115eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) )  <->  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
117116ralbidv 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  ( A. u  e.  z 
( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
118112, 117anbi12d 457 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
( h : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) )  <-> 
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
119118cbvexv 1843 . . . . . . . 8  |-  ( E. h ( h : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) )  <->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
120111, 119sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
121120exp31 356 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  On )  ->  ( A. w  e.  z  (
w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
122121expcom 114 . . . . 5  |-  ( z  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) ) )
123122a2d 26 . . . 4  |-  ( z  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) ) )
124 impexp 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
125124ralbii 2384 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  (
( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  A. w  e.  z  ( ph  ->  (
w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
126 r19.21v 2450 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
127125, 126bitri 182 . . . 4  |-  ( A. w  e.  z  (
( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
128 impexp 259 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
129123, 127, 1283imtr4g 203 . . 3  |-  ( z  e.  On  ->  ( A. w  e.  z 
( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
13010, 17, 129tfis3 4391 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1313, 130mpcom 36 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924   A.wal 1287    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360    u. cun 2995   {csn 3441   <.cop 3444   U.cuni 3648   Ord word 4180   Oncon0 4181   suc csuc 4183    |` cres 4430   Fun wfun 4996   -->wf 4998   ` cfv 5002  recscrecs 6051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-recs 6052
This theorem is referenced by:  tfrcllemres  6109
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