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Theorem tfrcllemaccex 6264
Description: We can define an acceptable function on any element of  X.

As with many of the transfinite recursion theorems, we have hypotheses that state that  F is a function and that it is defined up to  X. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllemaccex.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tfrcllemaccex  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, x, y    C, g, u    g, G, u, y, x    f, G, x, y    S, g, u, y, x    S, f    y, X, x, f    ph, y, x, f
Allowed substitution hints:    ph( u, g)    A( f, g)    C( x, y, f)    F( x, y, u, f, g)    X( u, g)

Proof of Theorem tfrcllemaccex
Dummy variables  a  b  c  r  s  t  d  h  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.x . . 3  |-  ( ph  ->  Ord  X )
2 ordelon 4311 . . 3  |-  ( ( Ord  X  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  On )
31, 2sylan 281 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  On )
4 eleq1 2203 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  X  <->  w  e.  X ) )
54anbi2d 460 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( ph  /\  z  e.  X )  <->  ( ph  /\  w  e.  X ) ) )
6 feq2 5262 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
g : z --> S  <-> 
g : w --> S ) )
7 raleq 2629 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( A. u  e.  z 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
86, 7anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
98exbidv 1798 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
105, 9imbi12d 233 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
11 eleq1 2203 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
z  e.  X  <->  C  e.  X ) )
1211anbi2d 460 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  (
( ph  /\  z  e.  X )  <->  ( ph  /\  C  e.  X ) ) )
13 feq2 5262 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
g : z --> S  <-> 
g : C --> S ) )
14 raleq 2629 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  ( A. u  e.  z 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
1513, 14anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1615exbidv 1798 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1712, 16imbi12d 233 . . 3  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g ( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
18 tfrcl.f . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( G )
19 tfrcl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  G )
2019ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  Fun  G )
211ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  Ord  X )
22 tfrcl.ex . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
23223expia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
2423alrimiv 1847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
25 feq1 5261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
f : x --> S  <->  h :
x --> S ) )
26 fveq2 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  h  ->  ( G `  f )  =  ( G `  h ) )
2726eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  h )  e.  S
) )
2825, 27imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( h : x --> S  ->  ( G `  h )  e.  S ) ) )
2928cbvalv 1890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. h
( h : x --> S  ->  ( G `  h )  e.  S
) )
3024, 29sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. h
( h : x --> S  ->  ( G `  h )  e.  S
) )
313019.21bi 1538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
h : x --> S  -> 
( G `  h
)  e.  S ) )
32313impia 1179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  ->  ( G `  h )  e.  S )
33323adant1r 1210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  ->  ( G `  h )  e.  S
)
34333adant1r 1210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  -> 
( G `  h
)  e.  S )
35343adant1r 1210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  ->  ( G `  h )  e.  S
)
36 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
37 fveq1 5426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  y )  =  ( h `  y ) )
38 reseq1 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  (
f  |`  y )  =  ( h  |`  y
) )
3938fveq2d 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
h  |`  y ) ) )
4037, 39eqeq12d 2155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) )
4140ralbidv 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) )
4225, 41anbi12d 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
4342rexbidv 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  ( E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
4443cbvabv 2265 . . . . . . . . . 10  |-  { f  |  E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }  =  { h  |  E. x  e.  X  ( h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) }
4536, 44eqtri 2161 . . . . . . . . 9  |-  A  =  { h  |  E. x  e.  X  (
h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) }
46 feq1 5261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
r : t --> S  <-> 
a : t --> S ) )
47 eleq1 2203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
r  e.  A  <->  a  e.  A ) )
48 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  a  ->  r  =  a )
49 fveq2 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  a  ->  ( G `  r )  =  ( G `  a ) )
5049opeq2d 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  a  ->  <. t ,  ( G `  r ) >.  =  <. t ,  ( G `  a ) >. )
5150sneqd 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  a  ->  { <. t ,  ( G `  r ) >. }  =  { <. t ,  ( G `  a )
>. } )
5248, 51uneq12d 3234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  a  ->  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } )  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )
5352eqeq2d 2152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } )  <-> 
s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
5446, 47, 533anbi123d 1291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  a  ->  (
( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `
 r ) >. } ) )  <->  ( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a )
>. } ) ) ) )
5554cbvexv 1891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u. 
{ <. t ,  ( G `  r )
>. } ) )  <->  E. a
( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
5655rexbii 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u. 
{ <. t ,  ( G `  r )
>. } ) )  <->  E. t  e.  z  E. a
( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
57 feq2 5262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  b  ->  (
a : t --> S  <-> 
a : b --> S ) )
58 opeq1 3711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  b  ->  <. t ,  ( G `  a ) >.  =  <. b ,  ( G `  a ) >. )
5958sneqd 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  b  ->  { <. t ,  ( G `  a ) >. }  =  { <. b ,  ( G `  a )
>. } )
6059uneq2d 3233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  b  ->  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } )  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )
6160eqeq2d 2152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  b  ->  (
s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } )  <-> 
s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
6257, 613anbi13d 1293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  b  ->  (
( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) ) )
6362exbidv 1798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  b  ->  ( E. a ( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
6463cbvrexv 2658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. t  e.  z  E. a ( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
6556, 64bitri 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u. 
{ <. t ,  ( G `  r )
>. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
6665abbii 2256 . . . . . . . . . 10  |-  { s  |  E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } ) ) }  =  {
s  |  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) }
67 eqeq1 2147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  d  ->  (
s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } )  <-> 
d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
68673anbi3d 1297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  d  ->  (
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) ) )
6968exbidv 1798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  d  ->  ( E. a ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
7069rexbidv 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  d  ->  ( E. b  e.  z  E. a ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
7170cbvabv 2265 . . . . . . . . . 10  |-  { s  |  E. b  e.  z  E. a ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) }  =  {
d  |  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) }
7266, 71eqtri 2161 . . . . . . . . 9  |-  { s  |  E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } ) ) }  =  {
d  |  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) }
73 tfrcllemaccex.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7473adantlr 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7574adantlr 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  x  e. 
U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7675adantlr 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
77 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
78 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  b  e.  z )
79 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  z  e.  X )
80 ordtr1 4316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
b  e.  z  /\  z  e.  X )  ->  b  e.  X ) )
811, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  z  /\  z  e.  X )  ->  b  e.  X ) )
8281ad4antr 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
( b  e.  z  /\  z  e.  X
)  ->  b  e.  X ) )
8378, 79, 82mp2and 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  b  e.  X )
84 eleq1 2203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  b  ->  (
w  e.  X  <->  b  e.  X ) )
85 feq2 5262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  (
g : w --> S  <->  g :
b --> S ) )
86 raleq 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  ( A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
8785, 86anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  b  ->  (
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
8887exbidv 1798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  b  ->  ( E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. g
( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
8984, 88imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  b  ->  (
( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( b  e.  X  ->  E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
90 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
9189, 90, 78rspcdva 2797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
b  e.  X  ->  E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )
92 feq1 5261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
g : b --> S  <-> 
a : b --> S ) )
93 fveq1 5426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  u )  =  ( a `  u ) )
94 reseq1 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  a  ->  (
g  |`  u )  =  ( a  |`  u
) )
9594fveq2d 5431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  a  ->  ( G `  ( g  |`  u ) )  =  ( G `  (
a  |`  u ) ) )
9693, 95eqeq12d 2155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  a  ->  (
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
9796ralbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  ( A. u  e.  b 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
9892, 97anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  (
( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) ) )
9998cbvexv 1891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
100 fveq2 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  c  ->  (
a `  u )  =  ( a `  c ) )
101 reseq2 4820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  c  ->  (
a  |`  u )  =  ( a  |`  c
) )
102101fveq2d 5431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  c  ->  ( G `  ( a  |`  u ) )  =  ( G `  (
a  |`  c ) ) )
103100, 102eqeq12d 2155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  c  ->  (
( a `  u
)  =  ( G `
 ( a  |`  u ) )  <->  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
104103cbvralv 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. u  e.  b  (
a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u
) )  <->  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) )
105104anbi2i 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) )  <-> 
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
106105exbii 1585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a ( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u
) ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
10799, 106bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
10891, 107syl6ib 160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
b  e.  X  ->  E. a ( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  (
a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c
) ) ) ) )
10983, 108mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
110109ralrimiva 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  A. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
11118, 20, 21, 35, 45, 72, 76, 77, 110tfrcllemex 6263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  E. h
( h : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) ) )
112 feq1 5261 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  (
h : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
113 fveq1 5426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  u )  =  ( g `  u ) )
114 reseq1 4819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  g  ->  (
h  |`  u )  =  ( g  |`  u
) )
115114fveq2d 5431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  ( G `  ( h  |`  u ) )  =  ( G `  (
g  |`  u ) ) )
116113, 115eqeq12d 2155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) )  <->  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
117116ralbidv 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  ( A. u  e.  z 
( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
118112, 117anbi12d 465 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
( h : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) )  <-> 
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
119118cbvexv 1891 . . . . . . . 8  |-  ( E. h ( h : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) )  <->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
120111, 119sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
121120exp31 362 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  On )  ->  ( A. w  e.  z  (
w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
122121expcom 115 . . . . 5  |-  ( z  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) ) )
123122a2d 26 . . . 4  |-  ( z  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) ) )
124 impexp 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
125124ralbii 2444 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  (
( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  A. w  e.  z  ( ph  ->  (
w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
126 r19.21v 2512 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
127125, 126bitri 183 . . . 4  |-  ( A. w  e.  z  (
( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
128 impexp 261 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
129123, 127, 1283imtr4g 204 . . 3  |-  ( z  e.  On  ->  ( A. w  e.  z 
( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
13010, 17, 129tfis3 4506 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1313, 130mpcom 36 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963   A.wal 1330    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418    u. cun 3072   {csn 3530   <.cop 3533   U.cuni 3742   Ord word 4290   Oncon0 4291   suc csuc 4293    |` cres 4547   Fun wfun 5123   -->wf 5125   ` cfv 5129  recscrecs 6207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4049  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-tr 4033  df-id 4221  df-iord 4294  df-on 4296  df-suc 4299  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-recs 6208
This theorem is referenced by:  tfrcllemres  6265
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