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Theorem tfrcllemaccex 6188
Description: We can define an acceptable function on any element of  X.

As with many of the transfinite recursion theorems, we have hypotheses that state that  F is a function and that it is defined up to  X. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllemaccex.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tfrcllemaccex  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, x, y    C, g, u    g, G, u, y, x    f, G, x, y    S, g, u, y, x    S, f    y, X, x, f    ph, y, x, f
Allowed substitution hints:    ph( u, g)    A( f, g)    C( x, y, f)    F( x, y, u, f, g)    X( u, g)

Proof of Theorem tfrcllemaccex
Dummy variables  a  b  c  r  s  t  d  h  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.x . . 3  |-  ( ph  ->  Ord  X )
2 ordelon 4243 . . 3  |-  ( ( Ord  X  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  On )
31, 2sylan 279 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  On )
4 eleq1 2162 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  X  <->  w  e.  X ) )
54anbi2d 455 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( ph  /\  z  e.  X )  <->  ( ph  /\  w  e.  X ) ) )
6 feq2 5192 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
g : z --> S  <-> 
g : w --> S ) )
7 raleq 2584 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( A. u  e.  z 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
86, 7anbi12d 460 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
98exbidv 1764 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
105, 9imbi12d 233 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
11 eleq1 2162 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
z  e.  X  <->  C  e.  X ) )
1211anbi2d 455 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  (
( ph  /\  z  e.  X )  <->  ( ph  /\  C  e.  X ) ) )
13 feq2 5192 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
g : z --> S  <-> 
g : C --> S ) )
14 raleq 2584 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  ( A. u  e.  z 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
1513, 14anbi12d 460 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1615exbidv 1764 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1712, 16imbi12d 233 . . 3  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g ( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
18 tfrcl.f . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( G )
19 tfrcl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  G )
2019ad3antrrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  Fun  G )
211ad3antrrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  Ord  X )
22 tfrcl.ex . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
23223expia 1151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
2423alrimiv 1813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
25 feq1 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
f : x --> S  <->  h :
x --> S ) )
26 fveq2 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  h  ->  ( G `  f )  =  ( G `  h ) )
2726eleq1d 2168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  h )  e.  S
) )
2825, 27imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( h : x --> S  ->  ( G `  h )  e.  S ) ) )
2928cbvalv 1854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. h
( h : x --> S  ->  ( G `  h )  e.  S
) )
3024, 29sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. h
( h : x --> S  ->  ( G `  h )  e.  S
) )
313019.21bi 1505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
h : x --> S  -> 
( G `  h
)  e.  S ) )
32313impia 1146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  ->  ( G `  h )  e.  S )
33323adant1r 1177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  ->  ( G `  h )  e.  S
)
34333adant1r 1177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  -> 
( G `  h
)  e.  S )
35343adant1r 1177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  h : x --> S )  ->  ( G `  h )  e.  S
)
36 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
37 fveq1 5352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  y )  =  ( h `  y ) )
38 reseq1 4749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  (
f  |`  y )  =  ( h  |`  y
) )
3938fveq2d 5357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
h  |`  y ) ) )
4037, 39eqeq12d 2114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) )
4140ralbidv 2396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) )
4225, 41anbi12d 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
4342rexbidv 2397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  ( E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) ) )
4443cbvabv 2223 . . . . . . . . . 10  |-  { f  |  E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }  =  { h  |  E. x  e.  X  ( h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) }
4536, 44eqtri 2120 . . . . . . . . 9  |-  A  =  { h  |  E. x  e.  X  (
h : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) }
46 feq1 5191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
r : t --> S  <-> 
a : t --> S ) )
47 eleq1 2162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
r  e.  A  <->  a  e.  A ) )
48 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  a  ->  r  =  a )
49 fveq2 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  a  ->  ( G `  r )  =  ( G `  a ) )
5049opeq2d 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  a  ->  <. t ,  ( G `  r ) >.  =  <. t ,  ( G `  a ) >. )
5150sneqd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  a  ->  { <. t ,  ( G `  r ) >. }  =  { <. t ,  ( G `  a )
>. } )
5248, 51uneq12d 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  a  ->  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } )  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )
5352eqeq2d 2111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } )  <-> 
s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
5446, 47, 533anbi123d 1258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  a  ->  (
( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `
 r ) >. } ) )  <->  ( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a )
>. } ) ) ) )
5554cbvexv 1855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u. 
{ <. t ,  ( G `  r )
>. } ) )  <->  E. a
( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
5655rexbii 2401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u. 
{ <. t ,  ( G `  r )
>. } ) )  <->  E. t  e.  z  E. a
( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
57 feq2 5192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  b  ->  (
a : t --> S  <-> 
a : b --> S ) )
58 opeq1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  b  ->  <. t ,  ( G `  a ) >.  =  <. b ,  ( G `  a ) >. )
5958sneqd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  b  ->  { <. t ,  ( G `  a ) >. }  =  { <. b ,  ( G `  a )
>. } )
6059uneq2d 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  b  ->  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } )  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )
6160eqeq2d 2111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  b  ->  (
s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } )  <-> 
s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
6257, 613anbi13d 1260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  b  ->  (
( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) ) )
6362exbidv 1764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  b  ->  ( E. a ( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
6463cbvrexv 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. t  e.  z  E. a ( a : t --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
6556, 64bitri 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u. 
{ <. t ,  ( G `  r )
>. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) )
6665abbii 2215 . . . . . . . . . 10  |-  { s  |  E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } ) ) }  =  {
s  |  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) }
67 eqeq1 2106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  d  ->  (
s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } )  <-> 
d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
68673anbi3d 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  d  ->  (
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) ) )
6968exbidv 1764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  d  ->  ( E. a ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
7069rexbidv 2397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  d  ->  ( E. b  e.  z  E. a ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
7170cbvabv 2223 . . . . . . . . . 10  |-  { s  |  E. b  e.  z  E. a ( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) }  =  {
d  |  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) }
7266, 71eqtri 2120 . . . . . . . . 9  |-  { s  |  E. t  e.  z  E. r ( r : t --> S  /\  r  e.  A  /\  s  =  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } ) ) }  =  {
d  |  E. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) }
73 tfrcllemaccex.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7473adantlr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7574adantlr 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  x  e. 
U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7675adantlr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
77 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
78 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  b  e.  z )
79 simplr 500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  z  e.  X )
80 ordtr1 4248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
b  e.  z  /\  z  e.  X )  ->  b  e.  X ) )
811, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  z  /\  z  e.  X )  ->  b  e.  X ) )
8281ad4antr 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
( b  e.  z  /\  z  e.  X
)  ->  b  e.  X ) )
8378, 79, 82mp2and 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  b  e.  X )
84 eleq1 2162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  b  ->  (
w  e.  X  <->  b  e.  X ) )
85 feq2 5192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  (
g : w --> S  <->  g :
b --> S ) )
86 raleq 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  ( A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
8785, 86anbi12d 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  b  ->  (
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
8887exbidv 1764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  b  ->  ( E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. g
( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
8984, 88imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  b  ->  (
( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( b  e.  X  ->  E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
90 simpllr 504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
9189, 90, 78rspcdva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
b  e.  X  ->  E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )
92 feq1 5191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
g : b --> S  <-> 
a : b --> S ) )
93 fveq1 5352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  u )  =  ( a `  u ) )
94 reseq1 4749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  a  ->  (
g  |`  u )  =  ( a  |`  u
) )
9594fveq2d 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  a  ->  ( G `  ( g  |`  u ) )  =  ( G `  (
a  |`  u ) ) )
9693, 95eqeq12d 2114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  a  ->  (
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
9796ralbidv 2396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  ( A. u  e.  b 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
9892, 97anbi12d 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  (
( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) ) )
9998cbvexv 1855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
100 fveq2 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  c  ->  (
a `  u )  =  ( a `  c ) )
101 reseq2 4750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  c  ->  (
a  |`  u )  =  ( a  |`  c
) )
102101fveq2d 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  c  ->  ( G `  ( a  |`  u ) )  =  ( G `  (
a  |`  c ) ) )
103100, 102eqeq12d 2114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  c  ->  (
( a `  u
)  =  ( G `
 ( a  |`  u ) )  <->  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
104103cbvralv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. u  e.  b  (
a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u
) )  <->  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) )
105104anbi2i 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) )  <-> 
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
106105exbii 1552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a ( a : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u
) ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
10799, 106bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g ( g : b --> S  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )  <->  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
10891, 107syl6ib 160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
b  e.  X  ->  E. a ( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  (
a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c
) ) ) ) )
10983, 108mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
110109ralrimiva 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  A. b  e.  z  E. a
( a : b --> S  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
11118, 20, 21, 35, 45, 72, 76, 77, 110tfrcllemex 6187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  E. h
( h : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) ) )
112 feq1 5191 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  (
h : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
113 fveq1 5352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  u )  =  ( g `  u ) )
114 reseq1 4749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  g  ->  (
h  |`  u )  =  ( g  |`  u
) )
115114fveq2d 5357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  ( G `  ( h  |`  u ) )  =  ( G `  (
g  |`  u ) ) )
116113, 115eqeq12d 2114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) )  <->  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
117116ralbidv 2396 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  ( A. u  e.  z 
( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
118112, 117anbi12d 460 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
( h : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) )  <-> 
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
119118cbvexv 1855 . . . . . . . 8  |-  ( E. h ( h : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) )  <->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
120111, 119sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
121120exp31 359 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  On )  ->  ( A. w  e.  z  (
w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
122121expcom 115 . . . . 5  |-  ( z  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) ) )
123122a2d 26 . . . 4  |-  ( z  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) ) )
124 impexp 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
125124ralbii 2400 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  (
( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  A. w  e.  z  ( ph  ->  (
w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
126 r19.21v 2468 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
127125, 126bitri 183 . . . 4  |-  ( A. w  e.  z  (
( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
128 impexp 261 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
129123, 127, 1283imtr4g 204 . . 3  |-  ( z  e.  On  ->  ( A. w  e.  z 
( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g ( g : w --> S  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
13010, 17, 129tfis3 4438 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1313, 130mpcom 36 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g : C --> S  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 930   A.wal 1297    = wceq 1299   E.wex 1436    e. wcel 1448   {cab 2086   A.wral 2375   E.wrex 2376    u. cun 3019   {csn 3474   <.cop 3477   U.cuni 3683   Ord word 4222   Oncon0 4223   suc csuc 4225    |` cres 4479   Fun wfun 5053   -->wf 5055   ` cfv 5059  recscrecs 6131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-recs 6132
This theorem is referenced by:  tfrcllemres  6189
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