Theorem tfrcllemaccex 6340

Description: We can define an acceptable function on any element of X.

As with many of the transfinite recursion theorems, we have hypotheses that state that F is a function and that it is defined up to X. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemaccex.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemaccex	|- ( ( ph /\ C e. X ) -> E. g ( g : C --> S /\ A. u e. C ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, x, y   C, g, u   g, G, u, y, x   f, G, x, y   S, g, u, y, x   S, f   y, X, x, f   ph, y, x, f

Allowed substitution hints:   ph( u, g)   A( f, g)   C( x, y, f)   F( x, y, u, f, g)   X( u, g)

Proof of Theorem tfrcllemaccex

Dummy variables a b c r s t d h z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.x	. . 3 |- ( ph -> Ord X )
2		ordelon 4368	. . 3 |- ( ( Ord X /\ C e. X ) -> C e. On )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( ph /\ C e. X ) -> C e. On )
4		eleq1 2233	. . . . 5 |- ( z = w -> ( z e. X <-> w e. X ) )
5	4	anbi2d 461	. . . 4 |- ( z = w -> ( ( ph /\ z e. X ) <-> ( ph /\ w e. X ) ) )
6		feq2 5331	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( g : z --> S <-> g : w --> S ) )
7		raleq 2665	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
8	6, 7	anbi12d 470	. . . . 5 |- ( z = w -> ( ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
9	8	exbidv 1818	. . . 4 |- ( z = w -> ( E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
10	5, 9	imbi12d 233	. . 3 |- ( z = w -> ( ( ( ph /\ z e. X ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ w e. X ) -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2233	. . . . 5 |- ( z = C -> ( z e. X <-> C e. X ) )
12	11	anbi2d 461	. . . 4 |- ( z = C -> ( ( ph /\ z e. X ) <-> ( ph /\ C e. X ) ) )
13		feq2 5331	. . . . . 6 |- ( z = C -> ( g : z --> S <-> g : C --> S ) )
14		raleq 2665	. . . . . 6 |- ( z = C -> ( A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. C ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
15	13, 14	anbi12d 470	. . . . 5 |- ( z = C -> ( ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> ( g : C --> S /\ A. u e. C ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
16	15	exbidv 1818	. . . 4 |- ( z = C -> ( E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> E. g ( g : C --> S /\ A. u e. C ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
17	12, 16	imbi12d 233	. . 3 |- ( z = C -> ( ( ( ph /\ z e. X ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ C e. X ) -> E. g ( g : C --> S /\ A. u e. C ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) )
18		tfrcl.f	. . . . . . . . 9 |- F = recs ( G )
19		tfrcl.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun G )
20	19	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) -> Fun G )
21	1	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) -> Ord X )
22		tfrcl.ex	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
23	22	3expia 1200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
24	23	alrimiv 1867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
25		feq1 5330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = h -> ( f : x --> S <-> h : x --> S ) )
26		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = h -> ( G ` f ) = ( G ` h ) )
27	26	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = h -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` h ) e. S ) )
28	25, 27	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = h -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( h : x --> S -> ( G ` h ) e. S ) ) )
29	28	cbvalv 1910	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. h ( h : x --> S -> ( G ` h ) e. S ) )
30	24, 29	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. h ( h : x --> S -> ( G ` h ) e. S ) )
31	30	19.21bi 1551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( h : x --> S -> ( G ` h ) e. S ) )
32	31	3impia 1195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X /\ h : x --> S ) -> ( G ` h ) e. S )
33	32	3adant1r 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ x e. X /\ h : x --> S ) -> ( G ` h ) e. S )
34	33	3adant1r 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ x e. X /\ h : x --> S ) -> ( G ` h ) e. S )
35	34	3adant1r 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) /\ x e. X /\ h : x --> S ) -> ( G ` h ) e. S )
36		tfrcllemsucfn.1	. . . . . . . . . 10 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
37		fveq1 5495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = h -> ( f ` y ) = ( h ` y ) )
38		reseq1 4885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = h -> ( f |` y ) = ( h |` y ) )
39	38	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = h -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( h |` y ) ) )
40	37, 39	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = h -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( h ` y ) = ( G ` ( h |` y ) ) ) )
41	40	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( h ` y ) = ( G ` ( h |` y ) ) ) )
42	25, 41	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( h : x --> S /\ A. y e. x ( h ` y ) = ( G ` ( h |` y ) ) ) ) )
43	42	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( h : x --> S /\ A. y e. x ( h ` y ) = ( G ` ( h |` y ) ) ) ) )
44	43	cbvabv 2295	. . . . . . . . . 10 |- { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } = { h | E. x e. X ( h : x --> S /\ A. y e. x ( h ` y ) = ( G ` ( h |` y ) ) ) }
45	36, 44	eqtri 2191	. . . . . . . . 9 |- A = { h | E. x e. X ( h : x --> S /\ A. y e. x ( h ` y ) = ( G ` ( h |` y ) ) ) }
46		feq1 5330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = a -> ( r : t --> S <-> a : t --> S ) )
47		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = a -> ( r e. A <-> a e. A ) )
48		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = a -> r = a )
49		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r = a -> ( G ` r ) = ( G ` a ) )
50	49	opeq2d 3772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = a -> <. t , ( G ` r ) >. = <. t , ( G ` a ) >. )
51	50	sneqd 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = a -> { <. t , ( G ` r ) >. } = { <. t , ( G ` a ) >. } )
52	48, 51	uneq12d 3282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = a -> ( r u. { <. t , ( G ` r ) >. } ) = ( a u. { <. t , ( G ` a ) >. } ) )
53	52	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = a -> ( s = ( r u. { <. t , ( G ` r ) >. } ) <-> s = ( a u. { <. t , ( G ` a ) >. } ) ) )
54	46, 47, 53	3anbi123d 1307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = a -> ( ( r : t --> S /\ r e. A /\ s = ( r u. { <. t , ( G ` r ) >. } ) ) <-> ( a : t --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. t , ( G ` a ) >. } ) ) ) )
55	54	cbvexv 1911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. r ( r : t --> S /\ r e. A /\ s = ( r u. { <. t , ( G ` r ) >. } ) ) <-> E. a ( a : t --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. t , ( G ` a ) >. } ) ) )
56	55	rexbii 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. t e. z E. r ( r : t --> S /\ r e. A /\ s = ( r u. { <. t , ( G ` r ) >. } ) ) <-> E. t e. z E. a ( a : t --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. t , ( G ` a ) >. } ) ) )
57		feq2 5331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = b -> ( a : t --> S <-> a : b --> S ) )
58		opeq1 3765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = b -> <. t , ( G ` a ) >. = <. b , ( G ` a ) >. )
59	58	sneqd 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = b -> { <. t , ( G ` a ) >. } = { <. b , ( G ` a ) >. } )
60	59	uneq2d 3281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = b -> ( a u. { <. t , ( G ` a ) >. } ) = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) )
61	60	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = b -> ( s = ( a u. { <. t , ( G ` a ) >. } ) <-> s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) )
62	57, 61	3anbi13d 1309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = b -> ( ( a : t --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. t , ( G ` a ) >. } ) ) <-> ( a : b --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) ) )
63	62	exbidv 1818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = b -> ( E. a ( a : t --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. t , ( G ` a ) >. } ) ) <-> E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) ) )
64	63	cbvrexv 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. t e. z E. a ( a : t --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. t , ( G ` a ) >. } ) ) <-> E. b e. z E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) )
65	56, 64	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. t e. z E. r ( r : t --> S /\ r e. A /\ s = ( r u. { <. t , ( G ` r ) >. } ) ) <-> E. b e. z E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) )
66	65	abbii 2286	. . . . . . . . . 10 |- { s | E. t e. z E. r ( r : t --> S /\ r e. A /\ s = ( r u. { <. t , ( G ` r ) >. } ) ) } = { s | E. b e. z E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) }
67		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = d -> ( s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) <-> d = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) )
68	67	3anbi3d 1313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = d -> ( ( a : b --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) <-> ( a : b --> S /\ a e. A /\ d = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) ) )
69	68	exbidv 1818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = d -> ( E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) <-> E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ d = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) ) )
70	69	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = d -> ( E. b e. z E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) <-> E. b e. z E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ d = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) ) )
71	70	cbvabv 2295	. . . . . . . . . 10 |- { s | E. b e. z E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ s = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) } = { d | E. b e. z E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ d = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) }
72	66, 71	eqtri 2191	. . . . . . . . 9 |- { s | E. t e. z E. r ( r : t --> S /\ r e. A /\ s = ( r u. { <. t , ( G ` r ) >. } ) ) } = { d | E. b e. z E. a ( a : b --> S /\ a e. A /\ d = ( a u. { <. b , ( G ` a ) >. } ) ) }
73		tfrcllemaccex.u	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
74	73	adantlr 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
75	74	adantlr 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
76	75	adantlr 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
77		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) -> z e. X )
78		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) /\ b e. z ) -> b e. z )
79		simplr 525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) /\ b e. z ) -> z e. X )
80		ordtr1 4373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord X -> ( ( b e. z /\ z e. X ) -> b e. X ) )
81	1, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( b e. z /\ z e. X ) -> b e. X ) )
82	81	ad4antr 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) /\ b e. z ) -> ( ( b e. z /\ z e. X ) -> b e. X ) )
83	78, 79, 82	mp2and 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) /\ b e. z ) -> b e. X )
84		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = b -> ( w e. X <-> b e. X ) )
85		feq2 5331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = b -> ( g : w --> S <-> g : b --> S ) )
86		raleq 2665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = b -> ( A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. b ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
87	85, 86	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = b -> ( ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> ( g : b --> S /\ A. u e. b ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
88	87	exbidv 1818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = b -> ( E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> E. g ( g : b --> S /\ A. u e. b ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
89	84, 88	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = b -> ( ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) <-> ( b e. X -> E. g ( g : b --> S /\ A. u e. b ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) )
90		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) /\ b e. z ) -> A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
91	89, 90, 78	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) /\ b e. z ) -> ( b e. X -> E. g ( g : b --> S /\ A. u e. b ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
92		feq1 5330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = a -> ( g : b --> S <-> a : b --> S ) )
93		fveq1 5495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = a -> ( g ` u ) = ( a ` u ) )
94		reseq1 4885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = a -> ( g |` u ) = ( a |` u ) )
95	94	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = a -> ( G ` ( g |` u ) ) = ( G ` ( a |` u ) ) )
96	93, 95	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = a -> ( ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) <-> ( a ` u ) = ( G ` ( a |` u ) ) ) )
97	96	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = a -> ( A. u e. b ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. b ( a ` u ) = ( G ` ( a |` u ) ) ) )
98	92, 97	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = a -> ( ( g : b --> S /\ A. u e. b ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> ( a : b --> S /\ A. u e. b ( a ` u ) = ( G ` ( a |` u ) ) ) ) )
99	98	cbvexv 1911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. g ( g : b --> S /\ A. u e. b ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> E. a ( a : b --> S /\ A. u e. b ( a ` u ) = ( G ` ( a |` u ) ) ) )
100		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = c -> ( a ` u ) = ( a ` c ) )
101		reseq2 4886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = c -> ( a |` u ) = ( a |` c ) )
102	101	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = c -> ( G ` ( a |` u ) ) = ( G ` ( a |` c ) ) )
103	100, 102	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = c -> ( ( a ` u ) = ( G ` ( a |` u ) ) <-> ( a ` c ) = ( G ` ( a |` c ) ) ) )
104	103	cbvralv 2696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. u e. b ( a ` u ) = ( G ` ( a |` u ) ) <-> A. c e. b ( a ` c ) = ( G ` ( a |` c ) ) )
105	104	anbi2i 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a : b --> S /\ A. u e. b ( a ` u ) = ( G ` ( a |` u ) ) ) <-> ( a : b --> S /\ A. c e. b ( a ` c ) = ( G ` ( a |` c ) ) ) )
106	105	exbii 1598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. a ( a : b --> S /\ A. u e. b ( a ` u ) = ( G ` ( a |` u ) ) ) <-> E. a ( a : b --> S /\ A. c e. b ( a ` c ) = ( G ` ( a |` c ) ) ) )
107	99, 106	bitri 183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. g ( g : b --> S /\ A. u e. b ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> E. a ( a : b --> S /\ A. c e. b ( a ` c ) = ( G ` ( a |` c ) ) ) )
108	91, 107	syl6ib 160	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) /\ b e. z ) -> ( b e. X -> E. a ( a : b --> S /\ A. c e. b ( a ` c ) = ( G ` ( a |` c ) ) ) ) )
109	83, 108	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) /\ b e. z ) -> E. a ( a : b --> S /\ A. c e. b ( a ` c ) = ( G ` ( a |` c ) ) ) )
110	109	ralrimiva 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) -> A. b e. z E. a ( a : b --> S /\ A. c e. b ( a ` c ) = ( G ` ( a |` c ) ) ) )
111	18, 20, 21, 35, 45, 72, 76, 77, 110	tfrcllemex 6339	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) -> E. h ( h : z --> S /\ A. u e. z ( h ` u ) = ( G ` ( h |` u ) ) ) )
112		feq1 5330	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( h : z --> S <-> g : z --> S ) )
113		fveq1 5495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = g -> ( h ` u ) = ( g ` u ) )
114		reseq1 4885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = g -> ( h |` u ) = ( g |` u ) )
115	114	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = g -> ( G ` ( h |` u ) ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
116	113, 115	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( ( h ` u ) = ( G ` ( h |` u ) ) <-> ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
117	116	ralbidv 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( A. u e. z ( h ` u ) = ( G ` ( h |` u ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
118	112, 117	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( ( h : z --> S /\ A. u e. z ( h ` u ) = ( G ` ( h |` u ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
119	118	cbvexv 1911	. . . . . . . 8 |- ( E. h ( h : z --> S /\ A. u e. z ( h ` u ) = ( G ` ( h |` u ) ) ) <-> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
120	111, 119	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ z e. On ) /\ A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) /\ z e. X ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
121	120	exp31 362	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. On ) -> ( A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( z e. X -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) )
122	121	expcom 115	. . . . 5 |- ( z e. On -> ( ph -> ( A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( z e. X -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) ) )
123	122	a2d 26	. . . 4 |- ( z e. On -> ( ( ph -> A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( z e. X -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) ) )
124		impexp 261	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. X ) -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) <-> ( ph -> ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) )
125	124	ralbii 2476	. . . . 5 |- ( A. w e. z ( ( ph /\ w e. X ) -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) <-> A. w e. z ( ph -> ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) )
126		r19.21v 2547	. . . . 5 |- ( A. w e. z ( ph -> ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) <-> ( ph -> A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) )
127	125, 126	bitri 183	. . . 4 |- ( A. w e. z ( ( ph /\ w e. X ) -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) <-> ( ph -> A. w e. z ( w e. X -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) )
128		impexp 261	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) <-> ( ph -> ( z e. X -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) )
129	123, 127, 128	3imtr4g 204	. . 3 |- ( z e. On -> ( A. w e. z ( ( ph /\ w e. X ) -> E. g ( g : w --> S /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( ( ph /\ z e. X ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) )
130	10, 17, 129	tfis3 4570	. 2 |- ( C e. On -> ( ( ph /\ C e. X ) -> E. g ( g : C --> S /\ A. u e. C ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
131	3, 130	mpcom 36	1 |- ( ( ph /\ C e. X ) -> E. g ( g : C --> S /\ A. u e. C ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   u. cun 3119   {csn 3583   <.cop 3586   U.cuni 3796   Ord word 4347   Oncon0 4348   suc csuc 4350   |` cres 4613   Fun wfun 5192   -->wf 5194   ` cfv 5198  recscrecs 6283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-recs 6284

This theorem is referenced by:  tfrcllemres  6341