Theorem tgss 14786

Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
tgss	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem tgss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 3432	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
2	1	unissd 3917	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
3		sstr2 3234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → (∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
4	2, 3	syl5com 29	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
6		ssexg 4228	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ V)
7	6	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
8		eltg 14775	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10		eltg 14775	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
12	5, 9, 11	3imtr4d 203	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐶)))
13	12	ssrdv 3233	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  ∪ cuni 3893  ‘cfv 5326  topGenctg 13336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-topgen 13342

This theorem is referenced by:  tgidm  14797  tgss3  14801  basgen  14803  2basgeng  14805  bastop1  14806  txss12  14989