Theorem tgss 14928

Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
tgss	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem tgss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 3446	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
2	1	unissd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
3		sstr2 3245	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → (∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
4	2, 3	syl5com 29	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
6		ssexg 4249	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ V)
7	6	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
8		eltg 14917	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10		eltg 14917	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
12	5, 9, 11	3imtr4d 203	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐶)))
13	12	ssrdv 3244	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ∩ cin 3210   ⊆ wss 3211  𝒫 cpw 3669  ∪ cuni 3914  ‘cfv 5352  topGenctg 13467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-topgen 13473

This theorem is referenced by:  tgidm  14939  tgss3  14943  basgen  14945  2basgeng  14947  bastop1  14948  txss12  15131