| Step | Hyp | Ref
| Expression |
|---|
| 1 | | elex 2750 |
. 2
β’ (π΅ β π β π΅ β V) |
| 2 | | uniexg 4441 |
. . 3
β’ (π΅ β π β βͺ π΅ β V) |
| 3 | | abssexg 4184 |
. . 3
β’ (βͺ π΅
β V β {π₯ β£
(π₯ β βͺ π΅
β§ π₯ β βͺ π« π₯)} β V) |
| 4 | | uniin 3831 |
. . . . . . 7
β’ βͺ (π΅
β© π« π₯) β
(βͺ π΅ β© βͺ
π« π₯) |
| 5 | | sstr 3165 |
. . . . . . 7
β’ ((π₯ β βͺ (π΅
β© π« π₯) β§
βͺ (π΅ β© π« π₯) β (βͺ π΅ β© βͺ π« π₯)) β π₯ β (βͺ π΅ β© βͺ π« π₯)) |
| 6 | 4, 5 | mpan2 425 |
. . . . . 6
β’ (π₯ β βͺ (π΅
β© π« π₯) β
π₯ β (βͺ π΅
β© βͺ π« π₯)) |
| 7 | | ssin 3359 |
. . . . . 6
β’ ((π₯ β βͺ π΅
β§ π₯ β βͺ π« π₯) β π₯ β (βͺ π΅ β© βͺ π« π₯)) |
| 8 | 6, 7 | sylibr 134 |
. . . . 5
β’ (π₯ β βͺ (π΅
β© π« π₯) β
(π₯ β βͺ π΅
β§ π₯ β βͺ π« π₯)) |
| 9 | 8 | ss2abi 3229 |
. . . 4
β’ {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)} β {π₯ β£ (π₯ β βͺ π΅ β§ π₯ β βͺ
π« π₯)} |
| 10 | | ssexg 4144 |
. . . 4
β’ (({π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)} β {π₯ β£ (π₯ β βͺ π΅ β§ π₯ β βͺ
π« π₯)} β§ {π₯ β£ (π₯ β βͺ π΅ β§ π₯ β βͺ
π« π₯)} β V)
β {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅
β© π« π₯)} β
V) |
| 11 | 9, 10 | mpan 424 |
. . 3
β’ ({π₯ β£ (π₯ β βͺ π΅ β§ π₯ β βͺ
π« π₯)} β V
β {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅
β© π« π₯)} β
V) |
| 12 | 2, 3, 11 | 3syl 17 |
. 2
β’ (π΅ β π β {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)} β V) |
| 13 | | ineq1 3331 |
. . . . . 6
β’ (π¦ = π΅ β (π¦ β© π« π₯) = (π΅ β© π« π₯)) |
| 14 | 13 | unieqd 3822 |
. . . . 5
β’ (π¦ = π΅ β βͺ (π¦ β© π« π₯) = βͺ
(π΅ β© π« π₯)) |
| 15 | 14 | sseq2d 3187 |
. . . 4
β’ (π¦ = π΅ β (π₯ β βͺ (π¦ β© π« π₯) β π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯))) |
| 16 | 15 | abbidv 2295 |
. . 3
β’ (π¦ = π΅ β {π₯ β£ π₯ β βͺ (π¦ β© π« π₯)} = {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)}) |
| 17 | | df-topgen 12714 |
. . 3
β’ topGen =
(π¦ β V β¦ {π₯ β£ π₯ β βͺ (π¦ β© π« π₯)}) |
| 18 | 16, 17 | fvmptg 5594 |
. 2
β’ ((π΅ β V β§ {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)} β V) β
(topGenβπ΅) = {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)}) |
| 19 | 1, 12, 18 | syl2anc 411 |
1
β’ (π΅ β π β (topGenβπ΅) = {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)}) |
