ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topnidg Unicode version

Theorem topnidg 12592
Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
topnval.2  |-  J  =  (TopSet `  W )
Assertion
Ref Expression
topnidg  |-  ( ( W  e.  V  /\  J  C_  ~P B )  ->  J  =  (
TopOpen `  W ) )

Proof of Theorem topnidg
StepHypRef Expression
1 topnval.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 baseslid 12472 . . . . 5  |-  ( Base 
= Slot  ( Base `  ndx )  /\  ( Base `  ndx )  e.  NN )
32slotex 12443 . . . 4  |-  ( W  e.  V  ->  ( Base `  W )  e. 
_V )
41, 3eqeltrid 2257 . . 3  |-  ( W  e.  V  ->  B  e.  _V )
5 restid2 12588 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  J  C_  ~P B )  ->  ( Jt  B )  =  J )
64, 5sylan 281 . 2  |-  ( ( W  e.  V  /\  J  C_  ~P B )  ->  ( Jt  B )  =  J )
7 topnval.2 . . . 4  |-  J  =  (TopSet `  W )
81, 7topnvalg 12591 . . 3  |-  ( W  e.  V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
98adantr 274 . 2  |-  ( ( W  e.  V  /\  J  C_  ~P B )  ->  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W
) )
106, 9eqtr3d 2205 1  |-  ( ( W  e.  V  /\  J  C_  ~P B )  ->  J  =  (
TopOpen `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   _Vcvv 2730    C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Basecbs 12416  TopSetcts 12486   ↾t crest 12579   TopOpenctopn 12580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-tset 12499  df-rest 12581  df-topn 12582
This theorem is referenced by:  topontopn  12829
  Copyright terms: Public domain W3C validator