ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topnidg Unicode version

Theorem topnidg 12850
Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
topnval.2  |-  J  =  (TopSet `  W )
Assertion
Ref Expression
topnidg  |-  ( ( W  e.  V  /\  J  C_  ~P B )  ->  J  =  (
TopOpen `  W ) )

Proof of Theorem topnidg
StepHypRef Expression
1 topnval.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 baseslid 12662 . . . . 5  |-  ( Base 
= Slot  ( Base `  ndx )  /\  ( Base `  ndx )  e.  NN )
32slotex 12632 . . . 4  |-  ( W  e.  V  ->  ( Base `  W )  e. 
_V )
41, 3eqeltrid 2280 . . 3  |-  ( W  e.  V  ->  B  e.  _V )
5 restid2 12846 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  J  C_  ~P B )  ->  ( Jt  B )  =  J )
64, 5sylan 283 . 2  |-  ( ( W  e.  V  /\  J  C_  ~P B )  ->  ( Jt  B )  =  J )
7 topnval.2 . . . 4  |-  J  =  (TopSet `  W )
81, 7topnvalg 12849 . . 3  |-  ( W  e.  V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
98adantr 276 . 2  |-  ( ( W  e.  V  /\  J  C_  ~P B )  ->  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W
) )
106, 9eqtr3d 2228 1  |-  ( ( W  e.  V  /\  J  C_  ~P B )  ->  J  =  (
TopOpen `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2164   _Vcvv 2760    C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   Basecbs 12605  TopSetcts 12688   ↾t crest 12837   TopOpenctopn 12838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1re 7956  ax-addrcl 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-9 9038  df-ndx 12608  df-slot 12609  df-base 12611  df-tset 12701  df-rest 12839  df-topn 12840
This theorem is referenced by:  topontopn  14176
  Copyright terms: Public domain W3C validator