Theorem topnidg 12136

Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
topnval.1	|- B = ( Base ` W )
topnval.2	|- J = (TopSet ` W )

Assertion

Ref	Expression
topnidg	|- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> J = ( TopOpen ` W ) )

Proof of Theorem topnidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topnval.1	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
2		baseslid 12018	. . . . 5 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 11989	. . . 4 |- ( W e. V -> ( Base ` W ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2226	. . 3 |- ( W e. V -> B e. _V )
5		restid2 12132	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ J C_ ~P B ) -> ( J ↾t B ) = J )
6	4, 5	sylan 281	. 2 |- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> ( J ↾t B ) = J )
7		topnval.2	. . . 4 |- J = (TopSet ` W )
8	1, 7	topnvalg 12135	. . 3 |- ( W e. V -> ( J ↾t B ) = ( TopOpen ` W ) )
9	8	adantr 274	. 2 |- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> ( J ↾t B ) = ( TopOpen ` W ) )
10	6, 9	eqtr3d 2174	1 |- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> J = ( TopOpen ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Basecbs 11962  TopSetcts 12030   ↾_t crest 12123   TopOpenctopn 12124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1re 7717  ax-addrcl 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-5 8785  df-6 8786  df-7 8787  df-8 8788  df-9 8789  df-ndx 11965  df-slot 11966  df-base 11968  df-tset 12043  df-rest 12125  df-topn 12126

This theorem is referenced by:  topontopn  12207