Theorem topnidg 12719

Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
topnval.1	|- B = ( Base ` W )
topnval.2	|- J = (TopSet ` W )

Assertion

Ref	Expression
topnidg	|- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> J = ( TopOpen ` W ) )

Proof of Theorem topnidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topnval.1	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
2		baseslid 12533	. . . . 5 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 12503	. . . 4 |- ( W e. V -> ( Base ` W ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2274	. . 3 |- ( W e. V -> B e. _V )
5		restid2 12715	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ J C_ ~P B ) -> ( J ↾t B ) = J )
6	4, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> ( J ↾t B ) = J )
7		topnval.2	. . . 4 |- J = (TopSet ` W )
8	1, 7	topnvalg 12718	. . 3 |- ( W e. V -> ( J ↾t B ) = ( TopOpen ` W ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> ( J ↾t B ) = ( TopOpen ` W ) )
10	6, 9	eqtr3d 2222	1 |- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> J = ( TopOpen ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   C_ wss 3141   ~Pcpw 3587   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12476  TopSetcts 12557   ↾_t crest 12706   TopOpenctopn 12707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1re 7919  ax-addrcl 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-tset 12570  df-rest 12708  df-topn 12709

This theorem is referenced by:  topontopn  13833