Theorem topnidg 11976

Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
topnval.1	|- B = ( Base ` W )
topnval.2	|- J = (TopSet ` W )

Assertion

Ref	Expression
topnidg	|- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> J = ( TopOpen ` W ) )

Proof of Theorem topnidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topnval.1	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
2		baseslid 11858	. . . . 5 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 11829	. . . 4 |- ( W e. V -> ( Base ` W ) e. _V )
4	1, 3	syl5eqel 2201	. . 3 |- ( W e. V -> B e. _V )
5		restid2 11972	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ J C_ ~P B ) -> ( J ↾t B ) = J )
6	4, 5	sylan 279	. 2 |- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> ( J ↾t B ) = J )
7		topnval.2	. . . 4 |- J = (TopSet ` W )
8	1, 7	topnvalg 11975	. . 3 |- ( W e. V -> ( J ↾t B ) = ( TopOpen ` W ) )
9	8	adantr 272	. 2 |- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> ( J ↾t B ) = ( TopOpen ` W ) )
10	6, 9	eqtr3d 2149	1 |- ( ( W e. V /\ J C_ ~P B ) -> J = ( TopOpen ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1314   e. wcel 1463   _Vcvv 2657   C_ wss 3037   ~Pcpw 3476   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   Basecbs 11802  TopSetcts 11870   ↾_t crest 11963   TopOpenctopn 11964

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1re 7639  ax-addrcl 7642

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-5 8692  df-6 8693  df-7 8694  df-8 8695  df-9 8696  df-ndx 11805  df-slot 11806  df-base 11808  df-tset 11883  df-rest 11965  df-topn 11966

This theorem is referenced by:  topontopn  12047