Theorem topnidg 13665

Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
topnval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
topnval.2	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
topnidg	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

Proof of Theorem topnidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topnval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		baseslid 13468	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 13437	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2325	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
5		restid2 13661	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = 𝐽)
6	4, 5	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = 𝐽)
7		topnval.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
8	1, 7	topnvalg 13664	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
10	6, 9	eqtr3d 2273	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410  TopSetcts 13496   ↾_t crest 13652  TopOpenctopn 13653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655

This theorem is used by:  topontopn  15263