Theorem topnidg 12866

Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
topnval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
topnval.2	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
topnidg	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

Proof of Theorem topnidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topnval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		baseslid 12678	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 12648	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2280	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
5		restid2 12862	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = 𝐽)
6	4, 5	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = 𝐽)
7		topnval.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
8	1, 7	topnvalg 12865	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
10	6, 9	eqtr3d 2228	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3154  𝒫 cpw 3602  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  TopSetcts 12704   ↾_t crest 12853  TopOpenctopn 12854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-tset 12717  df-rest 12855  df-topn 12856

This theorem is referenced by:  topontopn  14216