Theorem topnidg 12505

Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
topnval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
topnval.2	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
topnidg	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

Proof of Theorem topnidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topnval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		baseslid 12387	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 12358	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2251	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
5		restid2 12501	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = 𝐽)
6	4, 5	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = 𝐽)
7		topnval.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
8	1, 7	topnvalg 12504	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
9	8	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
10	6, 9	eqtr3d 2199	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721   ⊆ wss 3111  𝒫 cpw 3553  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  Basecbs 12331  TopSetcts 12399   ↾_t crest 12492  TopOpenctopn 12493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1re 7838  ax-addrcl 7841

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-5 8910  df-6 8911  df-7 8912  df-8 8913  df-9 8914  df-ndx 12334  df-slot 12335  df-base 12337  df-tset 12412  df-rest 12494  df-topn 12495

This theorem is referenced by:  topontopn  12576