Theorem topnidg 11915

Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
topnval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
topnval.2	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
topnidg	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

Proof of Theorem topnidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topnval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		baseslid 11797	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 11768	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ∈ V)
4	1, 3	syl5eqel 2186	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
5		restid2 11911	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = 𝐽)
6	4, 5	sylan 279	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = 𝐽)
7		topnval.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
8	1, 7	topnvalg 11914	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
9	8	adantr 272	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
10	6, 9	eqtr3d 2134	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  Vcvv 2641   ⊆ wss 3021  𝒫 cpw 3457  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  Basecbs 11741  TopSetcts 11809   ↾_t crest 11902  TopOpenctopn 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1re 7589  ax-addrcl 7592

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-5 8640  df-6 8641  df-7 8642  df-8 8643  df-9 8644  df-ndx 11744  df-slot 11745  df-base 11747  df-tset 11822  df-rest 11904  df-topn 11905

This theorem is referenced by:  topontopn  11986