ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topnidg GIF version

Theorem topnidg 12170
Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1 𝐵 = (Base‘𝑊)
topnval.2 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
topnidg ((𝑊𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

Proof of Theorem topnidg
StepHypRef Expression
1 topnval.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 baseslid 12052 . . . . 5 (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
32slotex 12023 . . . 4 (𝑊𝑉 → (Base‘𝑊) ∈ V)
41, 3eqeltrid 2227 . . 3 (𝑊𝑉𝐵 ∈ V)
5 restid2 12166 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽t 𝐵) = 𝐽)
64, 5sylan 281 . 2 ((𝑊𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽t 𝐵) = 𝐽)
7 topnval.2 . . . 4 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
81, 7topnvalg 12169 . . 3 (𝑊𝑉 → (𝐽t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
98adantr 274 . 2 ((𝑊𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
106, 9eqtr3d 2175 1 ((𝑊𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑊))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  Vcvv 2689  wss 3075  𝒫 cpw 3514  cfv 5130  (class class class)co 5781  Basecbs 11996  TopSetcts 12064  t crest 12157  TopOpenctopn 12158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1re 7737  ax-addrcl 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-5 8805  df-6 8806  df-7 8807  df-8 8808  df-9 8809  df-ndx 11999  df-slot 12000  df-base 12002  df-tset 12077  df-rest 12159  df-topn 12160
This theorem is referenced by:  topontopn  12241
  Copyright terms: Public domain W3C validator