ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpfidisj Unicode version

Theorem tpfidisj 6816
Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tpfidisj.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tpfidisj.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
tpfidisj.c  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
tpfidisj.ab  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
tpfidisj.ac  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
tpfidisj.bc  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
tpfidisj  |-  ( ph  ->  { A ,  B ,  C }  e.  Fin )

Proof of Theorem tpfidisj
StepHypRef Expression
1 df-tp 3535 . 2  |-  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } )
2 tpfidisj.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 tpfidisj.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
4 tpfidisj.ab . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
5 prfidisj 6815 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
62, 3, 4, 5syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
7 tpfidisj.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
8 snfig 6708 . . . 4  |-  ( C  e.  X  ->  { C }  e.  Fin )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  { C }  e.  Fin )
10 tpfidisj.ac . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
1110necomd 2394 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =/=  A )
12 tpfidisj.bc . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
1312necomd 2394 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =/=  B )
1411, 13nelprd 3553 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  { A ,  B }
)
15 disjsn 3585 . . . 4  |-  ( ( { A ,  B }  i^i  { C }
)  =  (/)  <->  -.  C  e.  { A ,  B } )
1614, 15sylibr 133 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A ,  B }  i^i  { C } )  =  (/) )
17 unfidisj 6810 . . 3  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { C }  e.  Fin  /\  ( { A ,  B }  i^i  { C } )  =  (/) )  ->  ( { A ,  B }  u.  { C } )  e.  Fin )
186, 9, 16, 17syl3anc 1216 . 2  |-  ( ph  ->  ( { A ,  B }  u.  { C } )  e.  Fin )
191, 18eqeltrid 2226 1  |-  ( ph  ->  { A ,  B ,  C }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308    u. cun 3069    i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   {ctp 3529   Fincfn 6634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637
This theorem is referenced by:  sumtp  11195
  Copyright terms: Public domain W3C validator