ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpfidisj Unicode version

Theorem tpfidisj 6636
Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tpfidisj.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tpfidisj.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
tpfidisj.c  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
tpfidisj.ab  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
tpfidisj.ac  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
tpfidisj.bc  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
tpfidisj  |-  ( ph  ->  { A ,  B ,  C }  e.  Fin )

Proof of Theorem tpfidisj
StepHypRef Expression
1 df-tp 3454 . 2  |-  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } )
2 tpfidisj.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 tpfidisj.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
4 tpfidisj.ab . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
5 prfidisj 6635 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
62, 3, 4, 5syl3anc 1174 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
7 tpfidisj.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
8 snfig 6529 . . . 4  |-  ( C  e.  X  ->  { C }  e.  Fin )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  { C }  e.  Fin )
10 tpfidisj.ac . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
1110necomd 2341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =/=  A )
12 tpfidisj.bc . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
1312necomd 2341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =/=  B )
1411, 13nelprd 3472 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  { A ,  B }
)
15 disjsn 3504 . . . 4  |-  ( ( { A ,  B }  i^i  { C }
)  =  (/)  <->  -.  C  e.  { A ,  B } )
1614, 15sylibr 132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A ,  B }  i^i  { C } )  =  (/) )
17 unfidisj 6630 . . 3  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { C }  e.  Fin  /\  ( { A ,  B }  i^i  { C } )  =  (/) )  ->  ( { A ,  B }  u.  { C } )  e.  Fin )
186, 9, 16, 17syl3anc 1174 . 2  |-  ( ph  ->  ( { A ,  B }  u.  { C } )  e.  Fin )
191, 18syl5eqel 2174 1  |-  ( ph  ->  { A ,  B ,  C }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255    u. cun 2997    i^i cin 2998   (/)c0 3286   {csn 3446   {cpr 3447   {ctp 3448   Fincfn 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-tp 3454  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458
This theorem is referenced by:  sumtp  10804
  Copyright terms: Public domain W3C validator