Theorem tpfidisj 6824

Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidisj.a	|- ( ph -> A e. V )
tpfidisj.b	|- ( ph -> B e. W )
tpfidisj.c	|- ( ph -> C e. X )
tpfidisj.ab	|- ( ph -> A =/= B )
tpfidisj.ac	|- ( ph -> A =/= C )
tpfidisj.bc	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
tpfidisj	|- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Proof of Theorem tpfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3540	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		tpfidisj.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3		tpfidisj.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
4		tpfidisj.ab	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
5		prfidisj 6823	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
7		tpfidisj.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
8		snfig 6716	. . . 4 |- ( C e. X -> { C } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { C } e. Fin )
10		tpfidisj.ac	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= C )
11	10	necomd 2395	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= A )
12		tpfidisj.bc	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= C )
13	12	necomd 2395	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= B )
14	11, 13	nelprd 3558	. . . 4 |- ( ph -> -. C e. { A , B } )
15		disjsn 3593	. . . 4 |- ( ( { A , B } i^i { C } ) = (/) <-> -. C e. { A , B } )
16	14, 15	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> ( { A , B } i^i { C } ) = (/) )
17		unfidisj 6818	. . 3 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ { C } e. Fin /\ ( { A , B } i^i { C } ) = (/) ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
18	6, 9, 16, 17	syl3anc 1217	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
19	1, 18	eqeltrid 2227	1 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   u. cun 3074   i^i cin 3075   (/)c0 3368   {csn 3532   {cpr 3533   {ctp 3534   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-tp 3540  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by:  sumtp  11215