Theorem tpfidisj 6986

Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidisj.a	|- ( ph -> A e. V )
tpfidisj.b	|- ( ph -> B e. W )
tpfidisj.c	|- ( ph -> C e. X )
tpfidisj.ab	|- ( ph -> A =/= B )
tpfidisj.ac	|- ( ph -> A =/= C )
tpfidisj.bc	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
tpfidisj	|- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Proof of Theorem tpfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3627	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		tpfidisj.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3		tpfidisj.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
4		tpfidisj.ab	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
5		prfidisj 6985	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
7		tpfidisj.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
8		snfig 6870	. . . 4 |- ( C e. X -> { C } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { C } e. Fin )
10		tpfidisj.ac	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= C )
11	10	necomd 2450	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= A )
12		tpfidisj.bc	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= C )
13	12	necomd 2450	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= B )
14	11, 13	nelprd 3645	. . . 4 |- ( ph -> -. C e. { A , B } )
15		disjsn 3681	. . . 4 |- ( ( { A , B } i^i { C } ) = (/) <-> -. C e. { A , B } )
16	14, 15	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( { A , B } i^i { C } ) = (/) )
17		unfidisj 6980	. . 3 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ { C } e. Fin /\ ( { A , B } i^i { C } ) = (/) ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
18	6, 9, 16, 17	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
19	1, 18	eqeltrid 2280	1 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   u. cun 3152   i^i cin 3153   (/)c0 3447   {csn 3619   {cpr 3620   {ctp 3621   Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by:  sumtp  11560