Theorem tpfidisj 7189

Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidisj.a	|- ( ph -> A e. V )
tpfidisj.b	|- ( ph -> B e. W )
tpfidisj.c	|- ( ph -> C e. X )
tpfidisj.ab	|- ( ph -> A =/= B )
tpfidisj.ac	|- ( ph -> A =/= C )
tpfidisj.bc	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
tpfidisj	|- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Proof of Theorem tpfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3697	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		tpfidisj.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3		tpfidisj.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
4		tpfidisj.ab	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
5		prfidisj 7187	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
7		tpfidisj.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
8		snfig 7056	. . . 4 |- ( C e. X -> { C } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { C } e. Fin )
10		tpfidisj.ac	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= C )
11	10	necomd 2498	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= A )
12		tpfidisj.bc	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= C )
13	12	necomd 2498	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= B )
14	11, 13	nelprd 3715	. . . 4 |- ( ph -> -. C e. { A , B } )
15		disjsn 3751	. . . 4 |- ( ( { A , B } i^i { C } ) = (/) <-> -. C e. { A , B } )
16	14, 15	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( { A , B } i^i { C } ) = (/) )
17		unfidisj 7182	. . 3 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ { C } e. Fin /\ ( { A , B } i^i { C } ) = (/) ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
18	6, 9, 16, 17	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
19	1, 18	eqeltrid 2319	1 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   u. cun 3209   i^i cin 3210   (/)c0 3508   {csn 3689   {cpr 3690   {ctp 3691   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  sumtp  12100  konigsberglem5  16487