Theorem tpfidisj 6917

Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidisj.a	|- ( ph -> A e. V )
tpfidisj.b	|- ( ph -> B e. W )
tpfidisj.c	|- ( ph -> C e. X )
tpfidisj.ab	|- ( ph -> A =/= B )
tpfidisj.ac	|- ( ph -> A =/= C )
tpfidisj.bc	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
tpfidisj	|- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Proof of Theorem tpfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3597	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		tpfidisj.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3		tpfidisj.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
4		tpfidisj.ab	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
5		prfidisj 6916	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
7		tpfidisj.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
8		snfig 6804	. . . 4 |- ( C e. X -> { C } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { C } e. Fin )
10		tpfidisj.ac	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= C )
11	10	necomd 2431	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= A )
12		tpfidisj.bc	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= C )
13	12	necomd 2431	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= B )
14	11, 13	nelprd 3615	. . . 4 |- ( ph -> -. C e. { A , B } )
15		disjsn 3651	. . . 4 |- ( ( { A , B } i^i { C } ) = (/) <-> -. C e. { A , B } )
16	14, 15	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( { A , B } i^i { C } ) = (/) )
17		unfidisj 6911	. . 3 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ { C } e. Fin /\ ( { A , B } i^i { C } ) = (/) ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
18	6, 9, 16, 17	syl3anc 1238	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
19	1, 18	eqeltrid 2262	1 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2146   =/= wne 2345   u. cun 3125   i^i cin 3126   (/)c0 3420   {csn 3589   {cpr 3590   {ctp 3591   Fincfn 6730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-tp 3597  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-fin 6733

This theorem is referenced by:  sumtp  11390