Theorem tpfidisj 6809

Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidisj.a	|- ( ph -> A e. V )
tpfidisj.b	|- ( ph -> B e. W )
tpfidisj.c	|- ( ph -> C e. X )
tpfidisj.ab	|- ( ph -> A =/= B )
tpfidisj.ac	|- ( ph -> A =/= C )
tpfidisj.bc	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
tpfidisj	|- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Proof of Theorem tpfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3530	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		tpfidisj.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3		tpfidisj.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
4		tpfidisj.ab	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
5		prfidisj 6808	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
7		tpfidisj.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
8		snfig 6701	. . . 4 |- ( C e. X -> { C } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { C } e. Fin )
10		tpfidisj.ac	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= C )
11	10	necomd 2392	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= A )
12		tpfidisj.bc	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= C )
13	12	necomd 2392	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= B )
14	11, 13	nelprd 3548	. . . 4 |- ( ph -> -. C e. { A , B } )
15		disjsn 3580	. . . 4 |- ( ( { A , B } i^i { C } ) = (/) <-> -. C e. { A , B } )
16	14, 15	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> ( { A , B } i^i { C } ) = (/) )
17		unfidisj 6803	. . 3 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ { C } e. Fin /\ ( { A , B } i^i { C } ) = (/) ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
18	6, 9, 16, 17	syl3anc 1216	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
19	1, 18	eqeltrid 2224	1 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   u. cun 3064   i^i cin 3065   (/)c0 3358   {csn 3522   {cpr 3523   {ctp 3524   Fincfn 6627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-tp 3530  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630

This theorem is referenced by:  sumtp  11176