ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpfidisj GIF version

Theorem tpfidisj 6618
Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tpfidisj.a (𝜑𝐴𝑉)
tpfidisj.b (𝜑𝐵𝑊)
tpfidisj.c (𝜑𝐶𝑋)
tpfidisj.ab (𝜑𝐴𝐵)
tpfidisj.ac (𝜑𝐴𝐶)
tpfidisj.bc (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
tpfidisj (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Proof of Theorem tpfidisj
StepHypRef Expression
1 df-tp 3449 . 2 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2 tpfidisj.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 tpfidisj.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
4 tpfidisj.ab . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
5 prfidisj 6617 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
62, 3, 4, 5syl3anc 1174 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7 tpfidisj.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
8 snfig 6511 . . . 4 (𝐶𝑋 → {𝐶} ∈ Fin)
97, 8syl 14 . . 3 (𝜑 → {𝐶} ∈ Fin)
10 tpfidisj.ac . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
1110necomd 2341 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
12 tpfidisj.bc . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
1312necomd 2341 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
1411, 13nelprd 3467 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
15 disjsn 3499 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
1614, 15sylibr 132 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
17 unfidisj 6612 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
186, 9, 16, 17syl3anc 1174 . 2 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
191, 18syl5eqel 2174 1 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255  cun 2995  cin 2996  c0 3284  {csn 3441  {cpr 3442  {ctp 3443  Fincfn 6437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-tp 3449  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-1o 6163  df-er 6272  df-en 6438  df-fin 6440
This theorem is referenced by:  sumtp  10771
  Copyright terms: Public domain W3C validator