Theorem tpfidisj 6990

Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tpfidisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
tpfidisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tpfidisj.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tpfidisj.ac	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
tpfidisj.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
tpfidisj	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Proof of Theorem tpfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3630	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		tpfidisj.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		tpfidisj.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		tpfidisj.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		prfidisj 6988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7		tpfidisj.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
8		snfig 6873	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → {𝐶} ∈ Fin)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ Fin)
10		tpfidisj.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
11	10	necomd 2453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
12		tpfidisj.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 2453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	11, 13	nelprd 3648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
15		disjsn 3684	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
16	14, 15	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
17		unfidisj 6983	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
18	6, 9, 16, 17	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
19	1, 18	eqeltrid 2283	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156  ∅c0 3450  {csn 3622  {cpr 3623  {ctp 3624  Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  sumtp  11579