Theorem tpfidisj 7120

Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tpfidisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
tpfidisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tpfidisj.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tpfidisj.ac	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
tpfidisj.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
tpfidisj	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Proof of Theorem tpfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3677	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		tpfidisj.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		tpfidisj.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		tpfidisj.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		prfidisj 7118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7		tpfidisj.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
8		snfig 6988	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → {𝐶} ∈ Fin)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ Fin)
10		tpfidisj.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
11	10	necomd 2488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
12		tpfidisj.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 2488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	11, 13	nelprd 3695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
15		disjsn 3731	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
16	14, 15	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
17		unfidisj 7113	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
18	6, 9, 16, 17	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
19	1, 18	eqeltrid 2318	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   ∪ cun 3198   ∩ cin 3199  ∅c0 3494  {csn 3669  {cpr 3670  {ctp 3671  Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  sumtp  11974