Theorem tpfidisj 6905

Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tpfidisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
tpfidisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tpfidisj.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tpfidisj.ac	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
tpfidisj.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
tpfidisj	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Proof of Theorem tpfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3591	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		tpfidisj.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		tpfidisj.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		tpfidisj.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		prfidisj 6904	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7		tpfidisj.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
8		snfig 6792	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → {𝐶} ∈ Fin)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ Fin)
10		tpfidisj.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
11	10	necomd 2426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
12		tpfidisj.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 2426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	11, 13	nelprd 3609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
15		disjsn 3645	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
16	14, 15	sylibr 133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
17		unfidisj 6899	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
18	6, 9, 16, 17	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
19	1, 18	eqeltrid 2257	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120  ∅c0 3414  {csn 3583  {cpr 3584  {ctp 3585  Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-tp 3591  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  sumtp  11377