Theorem tpfidisj 6986

Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tpfidisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
tpfidisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tpfidisj.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tpfidisj.ac	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
tpfidisj.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
tpfidisj	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Proof of Theorem tpfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3627	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		tpfidisj.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		tpfidisj.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		tpfidisj.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		prfidisj 6985	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7		tpfidisj.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
8		snfig 6870	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → {𝐶} ∈ Fin)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ Fin)
10		tpfidisj.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
11	10	necomd 2450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
12		tpfidisj.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 2450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	11, 13	nelprd 3645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
15		disjsn 3681	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
16	14, 15	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
17		unfidisj 6980	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
18	6, 9, 16, 17	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
19	1, 18	eqeltrid 2280	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   ∪ cun 3152   ∩ cin 3153  ∅c0 3447  {csn 3619  {cpr 3620  {ctp 3621  Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by:  sumtp  11560