Theorem tpfidisj 6930

Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tpfidisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
tpfidisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tpfidisj.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tpfidisj.ac	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
tpfidisj.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
tpfidisj	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Proof of Theorem tpfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3602	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		tpfidisj.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		tpfidisj.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		tpfidisj.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		prfidisj 6929	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7		tpfidisj.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
8		snfig 6817	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → {𝐶} ∈ Fin)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ Fin)
10		tpfidisj.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
11	10	necomd 2433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
12		tpfidisj.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 2433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	11, 13	nelprd 3620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
15		disjsn 3656	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
16	14, 15	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
17		unfidisj 6924	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
18	6, 9, 16, 17	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
19	1, 18	eqeltrid 2264	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   ∪ cun 3129   ∩ cin 3130  ∅c0 3424  {csn 3594  {cpr 3595  {ctp 3596  Fincfn 6743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6420  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746

This theorem is referenced by:  sumtp  11425