ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpfidisj GIF version

Theorem tpfidisj 6872
Description: A triple is finite if it consists of three unequal sets. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tpfidisj.a (𝜑𝐴𝑉)
tpfidisj.b (𝜑𝐵𝑊)
tpfidisj.c (𝜑𝐶𝑋)
tpfidisj.ab (𝜑𝐴𝐵)
tpfidisj.ac (𝜑𝐴𝐶)
tpfidisj.bc (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
tpfidisj (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Proof of Theorem tpfidisj
StepHypRef Expression
1 df-tp 3568 . 2 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2 tpfidisj.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 tpfidisj.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
4 tpfidisj.ab . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
5 prfidisj 6871 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
62, 3, 4, 5syl3anc 1220 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
7 tpfidisj.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
8 snfig 6759 . . . 4 (𝐶𝑋 → {𝐶} ∈ Fin)
97, 8syl 14 . . 3 (𝜑 → {𝐶} ∈ Fin)
10 tpfidisj.ac . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
1110necomd 2413 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
12 tpfidisj.bc . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
1312necomd 2413 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
1411, 13nelprd 3586 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
15 disjsn 3621 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
1614, 15sylibr 133 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
17 unfidisj 6866 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
186, 9, 16, 17syl3anc 1220 . 2 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
191, 18eqeltrid 2244 1 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1335  wcel 2128  wne 2327  cun 3100  cin 3101  c0 3394  {csn 3560  {cpr 3561  {ctp 3562  Fincfn 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-tp 3568  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-1o 6363  df-er 6480  df-en 6686  df-fin 6688
This theorem is referenced by:  sumtp  11311
  Copyright terms: Public domain W3C validator