Theorem sumtp 11364

Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumtp.e	|- ( k = A -> D = E )
sumtp.f	|- ( k = B -> D = F )
sumtp.g	|- ( k = C -> D = G )
sumtp.c	|- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) )
sumtp.v	|- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) )
sumtp.1	|- ( ph -> A =/= B )
sumtp.2	|- ( ph -> A =/= C )
sumtp.3	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
sumtp	|- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( ( E + F ) + G ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   C, k   k, E   k, F   k, G   ph, k   k, V   k, W   k, X

Allowed substitution hint:   D( k)

Proof of Theorem sumtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumtp.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= C )
2	1	necomd 2426	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= A )
3		sumtp.3	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= C )
4	3	necomd 2426	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= B )
5	2, 4	nelprd 3607	. . . 4 |- ( ph -> -. C e. { A , B } )
6		disjsn 3643	. . . 4 |- ( ( { A , B } i^i { C } ) = (/) <-> -. C e. { A , B } )
7	5, 6	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> ( { A , B } i^i { C } ) = (/) )
8		df-tp 3589	. . . 4 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } ) )
10		sumtp.v	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) )
11	10	simp1d 1004	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
12	10	simp2d 1005	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
13	10	simp3d 1006	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
14		sumtp.1	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
15	11, 12, 13, 14, 1, 3	tpfidisj 6901	. . 3 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )
16		sumtp.c	. . . . 5 |- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) )
17		sumtp.e	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> D = E )
18	17	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( D e. CC <-> E e. CC ) )
19		sumtp.f	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> D = F )
20	19	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( k = B -> ( D e. CC <-> F e. CC ) )
21		sumtp.g	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> D = G )
22	21	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( k = C -> ( D e. CC <-> G e. CC ) )
23	18, 20, 22	raltpg 3634	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A. k e. { A , B , C } D e. CC <-> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) ) )
24	10, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. { A , B , C } D e. CC <-> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) ) )
25	16, 24	mpbird 166	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. { A , B , C } D e. CC )
26	25	r19.21bi 2558	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. { A , B , C } ) -> D e. CC )
27	7, 9, 15, 26	fsumsplit 11357	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( sum_ k e. { A , B } D + sum_ k e. { C } D ) )
28		3simpa 989	. . . . 5 |- ( ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) -> ( E e. CC /\ F e. CC ) )
29	16, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC ) )
30		3simpa 989	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A e. V /\ B e. W ) )
31	10, 30	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
32	17, 19, 29, 31, 14	sumpr 11363	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } D = ( E + F ) )
33	16	simp3d 1006	. . . 4 |- ( ph -> G e. CC )
34	21	sumsn 11361	. . . 4 |- ( ( C e. X /\ G e. CC ) -> sum_ k e. { C } D = G )
35	13, 33, 34	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { C } D = G )
36	32, 35	oveq12d 5868	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { A , B } D + sum_ k e. { C } D ) = ( ( E + F ) + G ) )
37	27, 36	eqtrd 2203	1 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( ( E + F ) + G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   u. cun 3119   i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3581   {cpr 3582   {ctp 3583  (class class class)co 5850   CCcc 7759   + caddc 7764   sum_csu 11303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304

This theorem is referenced by: (None)