ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumtp Unicode version

Theorem sumtp 10808
Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumtp.e  |-  ( k  =  A  ->  D  =  E )
sumtp.f  |-  ( k  =  B  ->  D  =  F )
sumtp.g  |-  ( k  =  C  ->  D  =  G )
sumtp.c  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC  /\  G  e.  CC )
)
sumtp.v  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
) )
sumtp.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
sumtp.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
sumtp.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
sumtp  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B ,  C } D  =  ( ( E  +  F
)  +  G ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    C, k    k, E   
k, F    k, G    ph, k    k, V    k, W    k, X
Allowed substitution hint:    D( k)

Proof of Theorem sumtp
StepHypRef Expression
1 sumtp.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
21necomd 2341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =/=  A )
3 sumtp.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
43necomd 2341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =/=  B )
52, 4nelprd 3472 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  { A ,  B }
)
6 disjsn 3504 . . . 4  |-  ( ( { A ,  B }  i^i  { C }
)  =  (/)  <->  -.  C  e.  { A ,  B } )
75, 6sylibr 132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A ,  B }  i^i  { C } )  =  (/) )
8 df-tp 3454 . . . 4  |-  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } )
98a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } ) )
10 sumtp.v . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
) )
1110simp1d 955 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
1210simp2d 956 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
1310simp3d 957 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
14 sumtp.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
1511, 12, 13, 14, 1, 3tpfidisj 6638 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B ,  C }  e.  Fin )
16 sumtp.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC  /\  G  e.  CC )
)
17 sumtp.e . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  D  =  E )
1817eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( D  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
19 sumtp.f . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  D  =  F )
2019eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( D  e.  CC  <->  F  e.  CC ) )
21 sumtp.g . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  D  =  G )
2221eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( D  e.  CC  <->  G  e.  CC ) )
2318, 20, 22raltpg 3495 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } D  e.  CC  <->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC  /\  G  e.  CC ) ) )
2410, 23syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } D  e.  CC  <->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC  /\  G  e.  CC ) ) )
2516, 24mpbird 165 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  { A ,  B ,  C } D  e.  CC )
2625r19.21bi 2461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A ,  B ,  C } )  ->  D  e.  CC )
277, 9, 15, 26fsumsplit 10801 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B ,  C } D  =  (
sum_ k  e.  { A ,  B } D  +  sum_ k  e. 
{ C } D
) )
28 3simpa 940 . . . . 5  |-  ( ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC  /\  G  e.  CC )  ->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC ) )
2916, 28syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC ) )
30 3simpa 940 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
3110, 30syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
3217, 19, 29, 31, 14sumpr 10807 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } D  =  ( E  +  F ) )
3316simp3d 957 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
3421sumsn 10805 . . . 4  |-  ( ( C  e.  X  /\  G  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { C } D  =  G )
3513, 33, 34syl2anc 403 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { C } D  =  G )
3632, 35oveq12d 5670 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  { A ,  B } D  +  sum_ k  e. 
{ C } D
)  =  ( ( E  +  F )  +  G ) )
3727, 36eqtrd 2120 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B ,  C } D  =  ( ( E  +  F
)  +  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359    u. cun 2997    i^i cin 2998   (/)c0 3286   {csn 3446   {cpr 3447   {ctp 3448  (class class class)co 5652   CCcc 7348    + caddc 7353   sum_csu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-tp 3454  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator