Theorem sumtp 11377

Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumtp.e	|- ( k = A -> D = E )
sumtp.f	|- ( k = B -> D = F )
sumtp.g	|- ( k = C -> D = G )
sumtp.c	|- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) )
sumtp.v	|- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) )
sumtp.1	|- ( ph -> A =/= B )
sumtp.2	|- ( ph -> A =/= C )
sumtp.3	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
sumtp	|- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( ( E + F ) + G ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   C, k   k, E   k, F   k, G   ph, k   k, V   k, W   k, X

Allowed substitution hint:   D( k)

Proof of Theorem sumtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumtp.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= C )
2	1	necomd 2426	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= A )
3		sumtp.3	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= C )
4	3	necomd 2426	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= B )
5	2, 4	nelprd 3609	. . . 4 |- ( ph -> -. C e. { A , B } )
6		disjsn 3645	. . . 4 |- ( ( { A , B } i^i { C } ) = (/) <-> -. C e. { A , B } )
7	5, 6	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> ( { A , B } i^i { C } ) = (/) )
8		df-tp 3591	. . . 4 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } ) )
10		sumtp.v	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) )
11	10	simp1d 1004	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
12	10	simp2d 1005	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
13	10	simp3d 1006	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
14		sumtp.1	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
15	11, 12, 13, 14, 1, 3	tpfidisj 6905	. . 3 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )
16		sumtp.c	. . . . 5 |- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) )
17		sumtp.e	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> D = E )
18	17	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( D e. CC <-> E e. CC ) )
19		sumtp.f	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> D = F )
20	19	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( k = B -> ( D e. CC <-> F e. CC ) )
21		sumtp.g	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> D = G )
22	21	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( k = C -> ( D e. CC <-> G e. CC ) )
23	18, 20, 22	raltpg 3636	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A. k e. { A , B , C } D e. CC <-> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) ) )
24	10, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. { A , B , C } D e. CC <-> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) ) )
25	16, 24	mpbird 166	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. { A , B , C } D e. CC )
26	25	r19.21bi 2558	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. { A , B , C } ) -> D e. CC )
27	7, 9, 15, 26	fsumsplit 11370	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( sum_ k e. { A , B } D + sum_ k e. { C } D ) )
28		3simpa 989	. . . . 5 |- ( ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) -> ( E e. CC /\ F e. CC ) )
29	16, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC ) )
30		3simpa 989	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A e. V /\ B e. W ) )
31	10, 30	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
32	17, 19, 29, 31, 14	sumpr 11376	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } D = ( E + F ) )
33	16	simp3d 1006	. . . 4 |- ( ph -> G e. CC )
34	21	sumsn 11374	. . . 4 |- ( ( C e. X /\ G e. CC ) -> sum_ k e. { C } D = G )
35	13, 33, 34	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { C } D = G )
36	32, 35	oveq12d 5871	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { A , B } D + sum_ k e. { C } D ) = ( ( E + F ) + G ) )
37	27, 36	eqtrd 2203	1 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( ( E + F ) + G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   u. cun 3119   i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584   {ctp 3585  (class class class)co 5853   CCcc 7772   + caddc 7777   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-tp 3591  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by: (None)