Theorem sumtp 11341

Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumtp.e	|- ( k = A -> D = E )
sumtp.f	|- ( k = B -> D = F )
sumtp.g	|- ( k = C -> D = G )
sumtp.c	|- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) )
sumtp.v	|- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) )
sumtp.1	|- ( ph -> A =/= B )
sumtp.2	|- ( ph -> A =/= C )
sumtp.3	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
sumtp	|- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( ( E + F ) + G ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   C, k   k, E   k, F   k, G   ph, k   k, V   k, W   k, X

Allowed substitution hint:   D( k)

Proof of Theorem sumtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumtp.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= C )
2	1	necomd 2420	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= A )
3		sumtp.3	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= C )
4	3	necomd 2420	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= B )
5	2, 4	nelprd 3596	. . . 4 |- ( ph -> -. C e. { A , B } )
6		disjsn 3632	. . . 4 |- ( ( { A , B } i^i { C } ) = (/) <-> -. C e. { A , B } )
7	5, 6	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> ( { A , B } i^i { C } ) = (/) )
8		df-tp 3578	. . . 4 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } ) )
10		sumtp.v	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) )
11	10	simp1d 998	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
12	10	simp2d 999	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
13	10	simp3d 1000	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
14		sumtp.1	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
15	11, 12, 13, 14, 1, 3	tpfidisj 6884	. . 3 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )
16		sumtp.c	. . . . 5 |- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) )
17		sumtp.e	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> D = E )
18	17	eleq1d 2233	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( D e. CC <-> E e. CC ) )
19		sumtp.f	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> D = F )
20	19	eleq1d 2233	. . . . . . 7 |- ( k = B -> ( D e. CC <-> F e. CC ) )
21		sumtp.g	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> D = G )
22	21	eleq1d 2233	. . . . . . 7 |- ( k = C -> ( D e. CC <-> G e. CC ) )
23	18, 20, 22	raltpg 3623	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A. k e. { A , B , C } D e. CC <-> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) ) )
24	10, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. { A , B , C } D e. CC <-> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) ) )
25	16, 24	mpbird 166	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. { A , B , C } D e. CC )
26	25	r19.21bi 2552	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. { A , B , C } ) -> D e. CC )
27	7, 9, 15, 26	fsumsplit 11334	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( sum_ k e. { A , B } D + sum_ k e. { C } D ) )
28		3simpa 983	. . . . 5 |- ( ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) -> ( E e. CC /\ F e. CC ) )
29	16, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC ) )
30		3simpa 983	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A e. V /\ B e. W ) )
31	10, 30	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
32	17, 19, 29, 31, 14	sumpr 11340	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } D = ( E + F ) )
33	16	simp3d 1000	. . . 4 |- ( ph -> G e. CC )
34	21	sumsn 11338	. . . 4 |- ( ( C e. X /\ G e. CC ) -> sum_ k e. { C } D = G )
35	13, 33, 34	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { C } D = G )
36	32, 35	oveq12d 5854	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { A , B } D + sum_ k e. { C } D ) = ( ( E + F ) + G ) )
37	27, 36	eqtrd 2197	1 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( ( E + F ) + G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   =/= wne 2334   A.wral 2442   u. cun 3109   i^i cin 3110   (/)c0 3404   {csn 3570   {cpr 3571   {ctp 3572  (class class class)co 5836   CCcc 7742   + caddc 7747   sum_csu 11280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-tp 3578  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-frec 6350  df-1o 6375  df-oadd 6379  df-er 6492  df-en 6698  df-dom 6699  df-fin 6700  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-ihash 10678  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-clim 11206  df-sumdc 11281

This theorem is referenced by: (None)