Theorem sumtp 11424

Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumtp.e	|- ( k = A -> D = E )
sumtp.f	|- ( k = B -> D = F )
sumtp.g	|- ( k = C -> D = G )
sumtp.c	|- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) )
sumtp.v	|- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) )
sumtp.1	|- ( ph -> A =/= B )
sumtp.2	|- ( ph -> A =/= C )
sumtp.3	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
sumtp	|- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( ( E + F ) + G ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   C, k   k, E   k, F   k, G   ph, k   k, V   k, W   k, X

Allowed substitution hint:   D( k)

Proof of Theorem sumtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumtp.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= C )
2	1	necomd 2433	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= A )
3		sumtp.3	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= C )
4	3	necomd 2433	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= B )
5	2, 4	nelprd 3620	. . . 4 |- ( ph -> -. C e. { A , B } )
6		disjsn 3656	. . . 4 |- ( ( { A , B } i^i { C } ) = (/) <-> -. C e. { A , B } )
7	5, 6	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( { A , B } i^i { C } ) = (/) )
8		df-tp 3602	. . . 4 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } ) )
10		sumtp.v	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) )
11	10	simp1d 1009	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
12	10	simp2d 1010	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
13	10	simp3d 1011	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
14		sumtp.1	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
15	11, 12, 13, 14, 1, 3	tpfidisj 6929	. . 3 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )
16		sumtp.c	. . . . 5 |- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) )
17		sumtp.e	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> D = E )
18	17	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( D e. CC <-> E e. CC ) )
19		sumtp.f	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> D = F )
20	19	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( k = B -> ( D e. CC <-> F e. CC ) )
21		sumtp.g	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> D = G )
22	21	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( k = C -> ( D e. CC <-> G e. CC ) )
23	18, 20, 22	raltpg 3647	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A. k e. { A , B , C } D e. CC <-> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) ) )
24	10, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. { A , B , C } D e. CC <-> ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) ) )
25	16, 24	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. { A , B , C } D e. CC )
26	25	r19.21bi 2565	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. { A , B , C } ) -> D e. CC )
27	7, 9, 15, 26	fsumsplit 11417	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( sum_ k e. { A , B } D + sum_ k e. { C } D ) )
28		3simpa 994	. . . . 5 |- ( ( E e. CC /\ F e. CC /\ G e. CC ) -> ( E e. CC /\ F e. CC ) )
29	16, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( E e. CC /\ F e. CC ) )
30		3simpa 994	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A e. V /\ B e. W ) )
31	10, 30	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
32	17, 19, 29, 31, 14	sumpr 11423	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } D = ( E + F ) )
33	16	simp3d 1011	. . . 4 |- ( ph -> G e. CC )
34	21	sumsn 11421	. . . 4 |- ( ( C e. X /\ G e. CC ) -> sum_ k e. { C } D = G )
35	13, 33, 34	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { C } D = G )
36	32, 35	oveq12d 5895	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { A , B } D + sum_ k e. { C } D ) = ( ( E + F ) + G ) )
37	27, 36	eqtrd 2210	1 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B , C } D = ( ( E + F ) + G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   u. cun 3129   i^i cin 3130   (/)c0 3424   {csn 3594   {cpr 3595   {ctp 3596  (class class class)co 5877   CCcc 7811   + caddc 7816   sum_csu 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364

This theorem is referenced by: (None)