ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumtp Unicode version

Theorem sumtp 11454
Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumtp.e  |-  ( k  =  A  ->  D  =  E )
sumtp.f  |-  ( k  =  B  ->  D  =  F )
sumtp.g  |-  ( k  =  C  ->  D  =  G )
sumtp.c  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC  /\  G  e.  CC )
)
sumtp.v  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
) )
sumtp.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
sumtp.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
sumtp.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
Assertion
Ref Expression
sumtp  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B ,  C } D  =  ( ( E  +  F
)  +  G ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    C, k    k, E   
k, F    k, G    ph, k    k, V    k, W    k, X
Allowed substitution hint:    D( k)

Proof of Theorem sumtp
StepHypRef Expression
1 sumtp.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  C )
21necomd 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =/=  A )
3 sumtp.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
43necomd 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =/=  B )
52, 4nelprd 3633 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  { A ,  B }
)
6 disjsn 3669 . . . 4  |-  ( ( { A ,  B }  i^i  { C }
)  =  (/)  <->  -.  C  e.  { A ,  B } )
75, 6sylibr 134 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A ,  B }  i^i  { C } )  =  (/) )
8 df-tp 3615 . . . 4  |-  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } )
98a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } ) )
10 sumtp.v . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
) )
1110simp1d 1011 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
1210simp2d 1012 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
1310simp3d 1013 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
14 sumtp.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
1511, 12, 13, 14, 1, 3tpfidisj 6956 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B ,  C }  e.  Fin )
16 sumtp.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC  /\  G  e.  CC )
)
17 sumtp.e . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  D  =  E )
1817eleq1d 2258 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( D  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
19 sumtp.f . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  D  =  F )
2019eleq1d 2258 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( D  e.  CC  <->  F  e.  CC ) )
21 sumtp.g . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  D  =  G )
2221eleq1d 2258 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( D  e.  CC  <->  G  e.  CC ) )
2318, 20, 22raltpg 3660 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } D  e.  CC  <->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC  /\  G  e.  CC ) ) )
2410, 23syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } D  e.  CC  <->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC  /\  G  e.  CC ) ) )
2516, 24mpbird 167 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  { A ,  B ,  C } D  e.  CC )
2625r19.21bi 2578 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A ,  B ,  C } )  ->  D  e.  CC )
277, 9, 15, 26fsumsplit 11447 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B ,  C } D  =  (
sum_ k  e.  { A ,  B } D  +  sum_ k  e. 
{ C } D
) )
28 3simpa 996 . . . . 5  |-  ( ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC  /\  G  e.  CC )  ->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC ) )
2916, 28syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  F  e.  CC ) )
30 3simpa 996 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
3110, 30syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
3217, 19, 29, 31, 14sumpr 11453 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } D  =  ( E  +  F ) )
3316simp3d 1013 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
3421sumsn 11451 . . . 4  |-  ( ( C  e.  X  /\  G  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { C } D  =  G )
3513, 33, 34syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { C } D  =  G )
3632, 35oveq12d 5914 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  { A ,  B } D  +  sum_ k  e. 
{ C } D
)  =  ( ( E  +  F )  +  G ) )
3727, 36eqtrd 2222 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B ,  C } D  =  ( ( E  +  F
)  +  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   A.wral 2468    u. cun 3142    i^i cin 3143   (/)c0 3437   {csn 3607   {cpr 3608   {ctp 3609  (class class class)co 5896   CCcc 7839    + caddc 7844   sum_csu 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator