Theorem txuni 12634

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
txuni.1	|- X = U. R
txuni.2	|- Y = U. S

Assertion

Ref	Expression
txuni	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )

Proof of Theorem txuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txuni.1	. . . 4 |- X = U. R
2	1	toptopon 12387	. . 3 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` X ) )
3		txuni.2	. . . 4 |- Y = U. S
4	3	toptopon 12387	. . 3 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` Y ) )
5		txtopon 12633	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6	2, 4, 5	syl2anb 289	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
7		toponuni 12384	. 2 |- ( ( R tX S ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )
8	6, 7	syl 14	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   U.cuni 3772   X. cxp 4583   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   Topctop 12366  TopOnctopon 12379   tX ctx 12623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-topgen 12343  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-tx 12624

This theorem is referenced by:  txunii  12635  neitx  12639  uptx  12645  txcn  12646  txdis  12648  imasnopn  12670