Theorem txuni 13343

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
txuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
txuni.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
txuni	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
2	1	toptopon 13096	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		txuni.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆
4	3	toptopon 13096	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌))
5		txtopon 13342	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
6	2, 4, 5	syl2anb 291	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
7		toponuni 13093	. 2 ⊢ ((𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))
8	6, 7	syl 14	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 3805   × cxp 4618  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  Topctop 13075  TopOnctopon 13088   ×_t ctx 13332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-topgen 12640  df-top 13076  df-topon 13089  df-bases 13121  df-tx 13333

This theorem is referenced by:  txunii  13344  neitx  13348  uptx  13354  txcn  13355  txdis  13357  imasnopn  13379