Theorem undiffi 7236

Description: Union of complementary parts into whole. This is a case where we can strengthen undifss 3608 from subset to equality. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
undiffi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )

Proof of Theorem undiffi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 7175	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A /\ y e. A ) -> DECID x = y )
2	1	3expb 1235	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
3	2	ralrimivva 2632	. 2 |- ( A e. Fin -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
4		undifdc 7235	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )
5	3, 4	syl3an1 1311	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029

This theorem is used by:  unfiin  7237  fihashssdif  11281  hashfibclem  11304  hashf1lem2  11308  fsumlessfi  12252  fprodsplit1f  12426