Theorem fprodsplit1f 12060

Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit1f.kph	|- F/ k ph
fprodsplit1f.fk	|- ( ph -> F/_ k D )
fprodsplit1f.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodsplit1f.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodsplit1f.c	|- ( ph -> C e. A )
fprodsplit1f.d	|- ( ( ph /\ k = C ) -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit1f	|- ( ph -> prod_ k e. A B = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodsplit1f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit1f.kph	. . 3 |- F/ k ph
2		disjdif 3541	. . . 4 |- ( { C } i^i ( A \ { C } ) ) = (/)
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( { C } i^i ( A \ { C } ) ) = (/) )
4		fprodsplit1f.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
5		fprodsplit1f.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. A )
6		snfig 6930	. . . . 5 |- ( C e. A -> { C } e. Fin )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { C } e. Fin )
8	5	snssd 3789	. . . 4 |- ( ph -> { C } C_ A )
9		undiffi 7048	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { C } e. Fin /\ { C } C_ A ) -> A = ( { C } u. ( A \ { C } ) ) )
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ph -> A = ( { C } u. ( A \ { C } ) ) )
11		fprodsplit1f.b	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
12	1, 3, 10, 4, 11	fprodsplitf 12058	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( prod_ k e. { C } B x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )
13	5	ancli 323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ C e. A ) )
14		nfv 1552	. . . . . . . . 9 |- F/ k C e. A
15	1, 14	nfan 1589	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ C e. A )
16		nfcsb1v 3134	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ C / k ]_ B
17	16	nfel1 2361	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ C / k ]_ B e. CC
18	15, 17	nfim 1596	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC )
19		eleq1 2270	. . . . . . . . 9 |- ( k = C -> ( k e. A <-> C e. A ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ C e. A ) ) )
21		csbeq1a 3110	. . . . . . . . 9 |- ( k = C -> B = [_ C / k ]_ B )
22	21	eleq1d 2276	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> ( B e. CC <-> [_ C / k ]_ B e. CC ) )
23	20, 22	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( k = C -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC ) ) )
24	18, 23, 11	vtoclg1f 2837	. . . . . 6 |- ( C e. A -> ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC ) )
25	5, 13, 24	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> [_ C / k ]_ B e. CC )
26		prodsns 12029	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ [_ C / k ]_ B e. CC ) -> prod_ k e. { C } B = [_ C / k ]_ B )
27	5, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. { C } B = [_ C / k ]_ B )
28		fprodsplit1f.fk	. . . . 5 |- ( ph -> F/_ k D )
29		fprodsplit1f.d	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = C ) -> B = D )
30	1, 28, 5, 29	csbiedf 3142	. . . 4 |- ( ph -> [_ C / k ]_ B = D )
31	27, 30	eqtrd 2240	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { C } B = D )
32	31	oveq1d 5982	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. { C } B x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )
33	12, 32	eqtrd 2240	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   F/wnf 1484   e. wcel 2178   F/_wnfc 2337   [_csb 3101   \ cdif 3171   u. cun 3172   i^i cin 3173   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   x. cmul 7965   prod_cprod 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-proddc 11977

This theorem is referenced by:  fprodeq0g  12064