Theorem fprodsplit1f 11777

Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit1f.kph	|- F/ k ph
fprodsplit1f.fk	|- ( ph -> F/_ k D )
fprodsplit1f.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodsplit1f.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodsplit1f.c	|- ( ph -> C e. A )
fprodsplit1f.d	|- ( ( ph /\ k = C ) -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit1f	|- ( ph -> prod_ k e. A B = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodsplit1f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit1f.kph	. . 3 |- F/ k ph
2		disjdif 3519	. . . 4 |- ( { C } i^i ( A \ { C } ) ) = (/)
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( { C } i^i ( A \ { C } ) ) = (/) )
4		fprodsplit1f.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
5		fprodsplit1f.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. A )
6		snfig 6868	. . . . 5 |- ( C e. A -> { C } e. Fin )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { C } e. Fin )
8	5	snssd 3763	. . . 4 |- ( ph -> { C } C_ A )
9		undiffi 6981	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { C } e. Fin /\ { C } C_ A ) -> A = ( { C } u. ( A \ { C } ) ) )
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> A = ( { C } u. ( A \ { C } ) ) )
11		fprodsplit1f.b	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
12	1, 3, 10, 4, 11	fprodsplitf 11775	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( prod_ k e. { C } B x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )
13	5	ancli 323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ C e. A ) )
14		nfv 1539	. . . . . . . . 9 |- F/ k C e. A
15	1, 14	nfan 1576	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ C e. A )
16		nfcsb1v 3113	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ C / k ]_ B
17	16	nfel1 2347	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ C / k ]_ B e. CC
18	15, 17	nfim 1583	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC )
19		eleq1 2256	. . . . . . . . 9 |- ( k = C -> ( k e. A <-> C e. A ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ C e. A ) ) )
21		csbeq1a 3089	. . . . . . . . 9 |- ( k = C -> B = [_ C / k ]_ B )
22	21	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> ( B e. CC <-> [_ C / k ]_ B e. CC ) )
23	20, 22	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( k = C -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC ) ) )
24	18, 23, 11	vtoclg1f 2819	. . . . . 6 |- ( C e. A -> ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC ) )
25	5, 13, 24	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> [_ C / k ]_ B e. CC )
26		prodsns 11746	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ [_ C / k ]_ B e. CC ) -> prod_ k e. { C } B = [_ C / k ]_ B )
27	5, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. { C } B = [_ C / k ]_ B )
28		fprodsplit1f.fk	. . . . 5 |- ( ph -> F/_ k D )
29		fprodsplit1f.d	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = C ) -> B = D )
30	1, 28, 5, 29	csbiedf 3121	. . . 4 |- ( ph -> [_ C / k ]_ B = D )
31	27, 30	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { C } B = D )
32	31	oveq1d 5933	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. { C } B x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )
33	12, 32	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   F/wnf 1471   e. wcel 2164   F/_wnfc 2323   [_csb 3080   \ cdif 3150   u. cun 3151   i^i cin 3152   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   CCcc 7870   x. cmul 7877   prod_cprod 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694

This theorem is referenced by:  fprodeq0g  11781