Theorem fprodsplit1f 11524

Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit1f.kph	|- F/ k ph
fprodsplit1f.fk	|- ( ph -> F/_ k D )
fprodsplit1f.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodsplit1f.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodsplit1f.c	|- ( ph -> C e. A )
fprodsplit1f.d	|- ( ( ph /\ k = C ) -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit1f	|- ( ph -> prod_ k e. A B = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodsplit1f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit1f.kph	. . 3 |- F/ k ph
2		disjdif 3466	. . . 4 |- ( { C } i^i ( A \ { C } ) ) = (/)
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( { C } i^i ( A \ { C } ) ) = (/) )
4		fprodsplit1f.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
5		fprodsplit1f.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. A )
6		snfig 6756	. . . . 5 |- ( C e. A -> { C } e. Fin )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { C } e. Fin )
8	5	snssd 3701	. . . 4 |- ( ph -> { C } C_ A )
9		undiffi 6866	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { C } e. Fin /\ { C } C_ A ) -> A = ( { C } u. ( A \ { C } ) ) )
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1220	. . 3 |- ( ph -> A = ( { C } u. ( A \ { C } ) ) )
11		fprodsplit1f.b	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
12	1, 3, 10, 4, 11	fprodsplitf 11522	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( prod_ k e. { C } B x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )
13	5	ancli 321	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ C e. A ) )
14		nfv 1508	. . . . . . . . 9 |- F/ k C e. A
15	1, 14	nfan 1545	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ C e. A )
16		nfcsb1v 3064	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ C / k ]_ B
17	16	nfel1 2310	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ C / k ]_ B e. CC
18	15, 17	nfim 1552	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC )
19		eleq1 2220	. . . . . . . . 9 |- ( k = C -> ( k e. A <-> C e. A ) )
20	19	anbi2d 460	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ C e. A ) ) )
21		csbeq1a 3040	. . . . . . . . 9 |- ( k = C -> B = [_ C / k ]_ B )
22	21	eleq1d 2226	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> ( B e. CC <-> [_ C / k ]_ B e. CC ) )
23	20, 22	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( k = C -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC ) ) )
24	18, 23, 11	vtoclg1f 2771	. . . . . 6 |- ( C e. A -> ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC ) )
25	5, 13, 24	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> [_ C / k ]_ B e. CC )
26		prodsns 11493	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ [_ C / k ]_ B e. CC ) -> prod_ k e. { C } B = [_ C / k ]_ B )
27	5, 25, 26	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. { C } B = [_ C / k ]_ B )
28		fprodsplit1f.fk	. . . . 5 |- ( ph -> F/_ k D )
29		fprodsplit1f.d	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = C ) -> B = D )
30	1, 28, 5, 29	csbiedf 3071	. . . 4 |- ( ph -> [_ C / k ]_ B = D )
31	27, 30	eqtrd 2190	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { C } B = D )
32	31	oveq1d 5836	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. { C } B x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )
33	12, 32	eqtrd 2190	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   F/wnf 1440   e. wcel 2128   F/_wnfc 2286   [_csb 3031   \ cdif 3099   u. cun 3100   i^i cin 3101   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560  (class class class)co 5821   Fincfn 6682   CCcc 7724   x. cmul 7731   prod_cprod 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-proddc 11441

This theorem is referenced by:  fprodeq0g  11528