Theorem fprodsplit1f 11597

Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit1f.kph	|- F/ k ph
fprodsplit1f.fk	|- ( ph -> F/_ k D )
fprodsplit1f.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodsplit1f.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodsplit1f.c	|- ( ph -> C e. A )
fprodsplit1f.d	|- ( ( ph /\ k = C ) -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit1f	|- ( ph -> prod_ k e. A B = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodsplit1f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit1f.kph	. . 3 |- F/ k ph
2		disjdif 3487	. . . 4 |- ( { C } i^i ( A \ { C } ) ) = (/)
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( { C } i^i ( A \ { C } ) ) = (/) )
4		fprodsplit1f.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
5		fprodsplit1f.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. A )
6		snfig 6792	. . . . 5 |- ( C e. A -> { C } e. Fin )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { C } e. Fin )
8	5	snssd 3725	. . . 4 |- ( ph -> { C } C_ A )
9		undiffi 6902	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { C } e. Fin /\ { C } C_ A ) -> A = ( { C } u. ( A \ { C } ) ) )
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ph -> A = ( { C } u. ( A \ { C } ) ) )
11		fprodsplit1f.b	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
12	1, 3, 10, 4, 11	fprodsplitf 11595	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( prod_ k e. { C } B x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )
13	5	ancli 321	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ C e. A ) )
14		nfv 1521	. . . . . . . . 9 |- F/ k C e. A
15	1, 14	nfan 1558	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ C e. A )
16		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ C / k ]_ B
17	16	nfel1 2323	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ C / k ]_ B e. CC
18	15, 17	nfim 1565	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC )
19		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 |- ( k = C -> ( k e. A <-> C e. A ) )
20	19	anbi2d 461	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ C e. A ) ) )
21		csbeq1a 3058	. . . . . . . . 9 |- ( k = C -> B = [_ C / k ]_ B )
22	21	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( k = C -> ( B e. CC <-> [_ C / k ]_ B e. CC ) )
23	20, 22	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( k = C -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC ) ) )
24	18, 23, 11	vtoclg1f 2789	. . . . . 6 |- ( C e. A -> ( ( ph /\ C e. A ) -> [_ C / k ]_ B e. CC ) )
25	5, 13, 24	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> [_ C / k ]_ B e. CC )
26		prodsns 11566	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ [_ C / k ]_ B e. CC ) -> prod_ k e. { C } B = [_ C / k ]_ B )
27	5, 25, 26	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. { C } B = [_ C / k ]_ B )
28		fprodsplit1f.fk	. . . . 5 |- ( ph -> F/_ k D )
29		fprodsplit1f.d	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = C ) -> B = D )
30	1, 28, 5, 29	csbiedf 3089	. . . 4 |- ( ph -> [_ C / k ]_ B = D )
31	27, 30	eqtrd 2203	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { C } B = D )
32	31	oveq1d 5868	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. { C } B x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )
33	12, 32	eqtrd 2203	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( D x. prod_ k e. ( A \ { C } ) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   F/wnf 1453   e. wcel 2141   F/_wnfc 2299   [_csb 3049   \ cdif 3118   u. cun 3119   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   x. cmul 7779   prod_cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by:  fprodeq0g  11601