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Theorem unfiin 6996
Description: The union of two finite sets is finite if their intersection is. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfiin |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Proof of Theorem unfiin
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> A e. Fin )
2 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
3 inss1 3384 . . . . . . 7 |- ( A i^i B ) C_ A
43a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) C_ A )
5 undiffi 6995 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> A = ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> A = ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) )
7 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> B e. Fin )
8 inss2 3385 . . . . . . 7 |- ( A i^i B ) C_ B
98a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) C_ B )
10 undiffi 6995 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ B ) -> B = ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
117, 2, 9, 10syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> B = ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
126, 11uneq12d 3319 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) = ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) u. ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) )
13 unundi 3325 . . . 4 |- ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) u. ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
1412, 13eqtr4di 2247 . . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) = ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) )
15 diffifi 6964 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
161, 2, 4, 15syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
17 diffifi 6964 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ B ) -> ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
187, 2, 9, 17syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
19 incom 3356 . . . . . . . . . 10 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
2019difeq2i 3279 . . . . . . . . 9 |- ( B \ ( B i^i A ) ) = ( B \ ( A i^i B ) )
21 difin 3401 . . . . . . . . 9 |- ( B \ ( B i^i A ) ) = ( B \ A )
2220, 21eqtr3i 2219 . . . . . . . 8 |- ( B \ ( A i^i B ) ) = ( B \ A )
2322ineq2i 3362 . . . . . . 7 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) )
24 difss 3290 . . . . . . . 8 |- ( A \ ( A i^i B ) ) C_ A
25 disjdif 3524 . . . . . . . 8 |- ( A i^i ( B \ A ) ) = (/)
26 ssdisj 3508 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ ( A i^i B ) ) C_ A /\ ( A i^i ( B \ A ) ) = (/) ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) ) = (/) )
2724, 25, 26mp2an 426 . . . . . . 7 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) ) = (/)
2823, 27eqtri 2217 . . . . . 6 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/)
2928a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/) )
30 unfidisj 6992 . . . . 5 |- ( ( ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin /\ ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin /\ ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/) ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin )
3116, 18, 29, 30syl3anc 1249 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin )
32 difundir 3417 . . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) = ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) )
3332ineq2i 3362 . . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) ) = ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
34 disjdif 3524 . . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) ) = (/)
3533, 34eqtr3i 2219 . . . . 5 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/)
3635a1i 9 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/) )
37 unfidisj 6992 . . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) e. Fin /\ ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin /\ ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/) ) -> ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) e. Fin )
382, 31, 36, 37syl3anc 1249 . . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) e. Fin )
3914, 38eqeltrd 2273 . 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
40393impa 1196 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3451   Fincfn 6808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811
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