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Theorem unfiin 6984
Description: The union of two finite sets is finite if their intersection is. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfiin |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Proof of Theorem unfiin
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> A e. Fin )
2 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
3 inss1 3380 . . . . . . 7 |- ( A i^i B ) C_ A
43a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) C_ A )
5 undiffi 6983 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> A = ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> A = ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) )
7 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> B e. Fin )
8 inss2 3381 . . . . . . 7 |- ( A i^i B ) C_ B
98a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) C_ B )
10 undiffi 6983 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ B ) -> B = ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
117, 2, 9, 10syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> B = ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
126, 11uneq12d 3315 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) = ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) u. ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) )
13 unundi 3321 . . . 4 |- ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) u. ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
1412, 13eqtr4di 2244 . . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) = ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) )
15 diffifi 6952 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
161, 2, 4, 15syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
17 diffifi 6952 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ B ) -> ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
187, 2, 9, 17syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
19 incom 3352 . . . . . . . . . 10 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
2019difeq2i 3275 . . . . . . . . 9 |- ( B \ ( B i^i A ) ) = ( B \ ( A i^i B ) )
21 difin 3397 . . . . . . . . 9 |- ( B \ ( B i^i A ) ) = ( B \ A )
2220, 21eqtr3i 2216 . . . . . . . 8 |- ( B \ ( A i^i B ) ) = ( B \ A )
2322ineq2i 3358 . . . . . . 7 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) )
24 difss 3286 . . . . . . . 8 |- ( A \ ( A i^i B ) ) C_ A
25 disjdif 3520 . . . . . . . 8 |- ( A i^i ( B \ A ) ) = (/)
26 ssdisj 3504 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ ( A i^i B ) ) C_ A /\ ( A i^i ( B \ A ) ) = (/) ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) ) = (/) )
2724, 25, 26mp2an 426 . . . . . . 7 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) ) = (/)
2823, 27eqtri 2214 . . . . . 6 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/)
2928a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/) )
30 unfidisj 6980 . . . . 5 |- ( ( ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin /\ ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin /\ ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/) ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin )
3116, 18, 29, 30syl3anc 1249 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin )
32 difundir 3413 . . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) = ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) )
3332ineq2i 3358 . . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) ) = ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
34 disjdif 3520 . . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) ) = (/)
3533, 34eqtr3i 2216 . . . . 5 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/)
3635a1i 9 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/) )
37 unfidisj 6980 . . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) e. Fin /\ ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin /\ ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/) ) -> ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) e. Fin )
382, 31, 36, 37syl3anc 1249 . . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) e. Fin )
3914, 38eqeltrd 2270 . 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
40393impa 1196 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   \ cdif 3151   u. cun 3152   i^i cin 3153   C_ wss 3154   (/)c0 3447   Fincfn 6796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799
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