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Theorem unfiin 6636
Description: The union of two finite sets is finite if their intersection is. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfiin  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )

Proof of Theorem unfiin
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
2 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )
3 inss1 3220 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
43a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  C_  A )
5 undiffi 6635 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  A )  ->  A  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  ( A  i^i  B ) ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1174 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  A  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )
7 simplr 497 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
8 inss2 3221 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  C_  B )
10 undiffi 6635 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  B )  ->  B  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )
117, 2, 9, 10syl3anc 1174 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  B  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )
126, 11uneq12d 3155 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  =  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  ( A  i^i  B ) ) )  u.  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
13 unundi 3161 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \ 
( A  i^i  B
) ) )  u.  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  ( A  i^i  B ) ) ) )
1412, 13syl6eqr 2138 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
15 diffifi 6610 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  A )  ->  ( A  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
161, 2, 4, 15syl3anc 1174 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
17 diffifi 6610 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  B )  ->  ( B  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
187, 2, 9, 17syl3anc 1174 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( B  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
19 incom 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
2019difeq2i 3115 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  ( B  i^i  A ) )  =  ( B  \  ( A  i^i  B ) )
21 difin 3236 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  ( B  i^i  A ) )  =  ( B  \  A )
2220, 21eqtr3i 2110 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  ( A  i^i  B ) )  =  ( B  \  A )
2322ineq2i 3198 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  i^i  ( B  \  A ) )
24 difss 3126 . . . . . . . 8  |-  ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  C_  A
25 disjdif 3355 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
26 ssdisj 3339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  ( A  i^i  B ) ) 
C_  A  /\  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )
2724, 25, 26mp2an 417 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
2823, 27eqtri 2108 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  (/)
2928a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  i^i  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  =  (/) )
30 unfidisj 6632 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin  /\  ( B  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin  /\  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  i^i  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )  e. 
Fin )
3116, 18, 29, 30syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  e. 
Fin )
32 difundir 3252 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )
3332ineq2i 3198 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  u.  B )  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )
34 disjdif 3355 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  u.  B )  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  (/)
3533, 34eqtr3i 2110 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  (/)
3635a1i 9 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  =  (/) )
37 unfidisj 6632 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  Fin  /\  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  e. 
Fin  /\  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  (/) )  ->  (
( A  i^i  B
)  u.  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  e.  Fin )
382, 31, 36, 37syl3anc 1174 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  e.  Fin )
3914, 38eqeltrd 2164 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
40393impa 1138 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    \ cdif 2996    u. cun 2997    i^i cin 2998    C_ wss 2999   (/)c0 3286   Fincfn 6457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-er 6292  df-en 6458  df-fin 6460
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