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Theorem unfiin 7023
Description: The union of two finite sets is finite if their intersection is. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfiin |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Proof of Theorem unfiin
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> A e. Fin )
2 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
3 inss1 3393 . . . . . . 7 |- ( A i^i B ) C_ A
43a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) C_ A )
5 undiffi 7022 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> A = ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> A = ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) )
7 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> B e. Fin )
8 inss2 3394 . . . . . . 7 |- ( A i^i B ) C_ B
98a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) C_ B )
10 undiffi 7022 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ B ) -> B = ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
117, 2, 9, 10syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> B = ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
126, 11uneq12d 3328 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) = ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) u. ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) )
13 unundi 3334 . . . 4 |- ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) u. ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
1412, 13eqtr4di 2256 . . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) = ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) )
15 diffifi 6991 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
161, 2, 4, 15syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
17 diffifi 6991 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ B ) -> ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
187, 2, 9, 17syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
19 incom 3365 . . . . . . . . . 10 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
2019difeq2i 3288 . . . . . . . . 9 |- ( B \ ( B i^i A ) ) = ( B \ ( A i^i B ) )
21 difin 3410 . . . . . . . . 9 |- ( B \ ( B i^i A ) ) = ( B \ A )
2220, 21eqtr3i 2228 . . . . . . . 8 |- ( B \ ( A i^i B ) ) = ( B \ A )
2322ineq2i 3371 . . . . . . 7 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) )
24 difss 3299 . . . . . . . 8 |- ( A \ ( A i^i B ) ) C_ A
25 disjdif 3533 . . . . . . . 8 |- ( A i^i ( B \ A ) ) = (/)
26 ssdisj 3517 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ ( A i^i B ) ) C_ A /\ ( A i^i ( B \ A ) ) = (/) ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) ) = (/) )
2724, 25, 26mp2an 426 . . . . . . 7 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) ) = (/)
2823, 27eqtri 2226 . . . . . 6 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/)
2928a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/) )
30 unfidisj 7019 . . . . 5 |- ( ( ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin /\ ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin /\ ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/) ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin )
3116, 18, 29, 30syl3anc 1250 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin )
32 difundir 3426 . . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) = ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) )
3332ineq2i 3371 . . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) ) = ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
34 disjdif 3533 . . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) ) = (/)
3533, 34eqtr3i 2228 . . . . 5 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/)
3635a1i 9 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/) )
37 unfidisj 7019 . . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) e. Fin /\ ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin /\ ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/) ) -> ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) e. Fin )
382, 31, 36, 37syl3anc 1250 . . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) e. Fin )
3914, 38eqeltrd 2282 . 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
40393impa 1197 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   \ cdif 3163   u. cun 3164   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   Fincfn 6827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830
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