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Theorem unfiin 7161
Description: The union of two finite sets is finite if their intersection is. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfiin |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Proof of Theorem unfiin
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> A e. Fin )
2 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
3 inss1 3429 . . . . . . 7 |- ( A i^i B ) C_ A
43a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) C_ A )
5 undiffi 7160 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> A = ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> A = ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) )
7 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> B e. Fin )
8 inss2 3430 . . . . . . 7 |- ( A i^i B ) C_ B
98a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) C_ B )
10 undiffi 7160 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ B ) -> B = ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
117, 2, 9, 10syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> B = ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
126, 11uneq12d 3364 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) = ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) u. ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) )
13 unundi 3370 . . . 4 |- ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ ( A i^i B ) ) ) u. ( ( A i^i B ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
1412, 13eqtr4di 2282 . . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) = ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) )
15 diffifi 7126 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
161, 2, 4, 15syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
17 diffifi 7126 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ B ) -> ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
187, 2, 9, 17syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin )
19 incom 3401 . . . . . . . . . 10 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
2019difeq2i 3324 . . . . . . . . 9 |- ( B \ ( B i^i A ) ) = ( B \ ( A i^i B ) )
21 difin 3446 . . . . . . . . 9 |- ( B \ ( B i^i A ) ) = ( B \ A )
2220, 21eqtr3i 2254 . . . . . . . 8 |- ( B \ ( A i^i B ) ) = ( B \ A )
2322ineq2i 3407 . . . . . . 7 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) )
24 difss 3335 . . . . . . . 8 |- ( A \ ( A i^i B ) ) C_ A
25 disjdif 3569 . . . . . . . 8 |- ( A i^i ( B \ A ) ) = (/)
26 ssdisj 3553 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ ( A i^i B ) ) C_ A /\ ( A i^i ( B \ A ) ) = (/) ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) ) = (/) )
2724, 25, 26mp2an 426 . . . . . . 7 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ A ) ) = (/)
2823, 27eqtri 2252 . . . . . 6 |- ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/)
2928a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/) )
30 unfidisj 7157 . . . . 5 |- ( ( ( A \ ( A i^i B ) ) e. Fin /\ ( B \ ( A i^i B ) ) e. Fin /\ ( ( A \ ( A i^i B ) ) i^i ( B \ ( A i^i B ) ) ) = (/) ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin )
3116, 18, 29, 30syl3anc 1274 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin )
32 difundir 3462 . . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) = ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) )
3332ineq2i 3407 . . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) ) = ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) )
34 disjdif 3569 . . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A u. B ) \ ( A i^i B ) ) ) = (/)
3533, 34eqtr3i 2254 . . . . 5 |- ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/)
3635a1i 9 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/) )
37 unfidisj 7157 . . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) e. Fin /\ ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) e. Fin /\ ( ( A i^i B ) i^i ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) = (/) ) -> ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) e. Fin )
382, 31, 36, 37syl3anc 1274 . . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( ( A i^i B ) u. ( ( A \ ( A i^i B ) ) u. ( B \ ( A i^i B ) ) ) ) e. Fin )
3914, 38eqeltrd 2308 . 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
40393impa 1221 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   \ cdif 3198   u. cun 3199   i^i cin 3200   C_ wss 3201   (/)c0 3496   Fincfn 6952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955
This theorem is referenced by:  4sqlem11  13054
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