ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unfiin Unicode version

Theorem unfiin 6780
Description: The union of two finite sets is finite if their intersection is. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfiin  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )

Proof of Theorem unfiin
StepHypRef Expression
1 simpll 501 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
2 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )
3 inss1 3264 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
43a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  C_  A )
5 undiffi 6779 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  A )  ->  A  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  ( A  i^i  B ) ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  A  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )
7 simplr 502 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
8 inss2 3265 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  C_  B )
10 undiffi 6779 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  B )  ->  B  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )
117, 2, 9, 10syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  B  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )
126, 11uneq12d 3199 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  =  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  ( A  i^i  B ) ) )  u.  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
13 unundi 3205 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \ 
( A  i^i  B
) ) )  u.  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  ( A  i^i  B ) ) ) )
1412, 13syl6eqr 2166 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
15 diffifi 6754 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  A )  ->  ( A  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
161, 2, 4, 15syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
17 diffifi 6754 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  B )  ->  ( B  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
187, 2, 9, 17syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( B  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
19 incom 3236 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
2019difeq2i 3159 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  ( B  i^i  A ) )  =  ( B  \  ( A  i^i  B ) )
21 difin 3281 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  ( B  i^i  A ) )  =  ( B  \  A )
2220, 21eqtr3i 2138 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  ( A  i^i  B ) )  =  ( B  \  A )
2322ineq2i 3242 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  i^i  ( B  \  A ) )
24 difss 3170 . . . . . . . 8  |-  ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  C_  A
25 disjdif 3403 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
26 ssdisj 3387 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  ( A  i^i  B ) ) 
C_  A  /\  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )
2724, 25, 26mp2an 420 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
2823, 27eqtri 2136 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  (/)
2928a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  i^i  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  =  (/) )
30 unfidisj 6776 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin  /\  ( B  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin  /\  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  i^i  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )  e. 
Fin )
3116, 18, 29, 30syl3anc 1199 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  e. 
Fin )
32 difundir 3297 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )
3332ineq2i 3242 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  u.  B )  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )
34 disjdif 3403 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  u.  B )  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  (/)
3533, 34eqtr3i 2138 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  (/)
3635a1i 9 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  =  (/) )
37 unfidisj 6776 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  Fin  /\  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  e. 
Fin  /\  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  (/) )  ->  (
( A  i^i  B
)  u.  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  e.  Fin )
382, 31, 36, 37syl3anc 1199 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  e.  Fin )
3914, 38eqeltrd 2192 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
40393impa 1159 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463    \ cdif 3036    u. cun 3037    i^i cin 3038    C_ wss 3039   (/)c0 3331   Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator