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Theorem fihashssdif 10812
Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashssdif  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  =  ( ( `  A )  -  ( `  B )
) )

Proof of Theorem fihashssdif
StepHypRef Expression
1 undiffi 6938 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
21fveq2d 5531 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  A )  =  ( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
3 simp2 999 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
4 diffifi 6908 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
5 disjdif 3507 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
6 hashun 10799 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  \  B )  e.  Fin  /\  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/) )  ->  ( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )  =  ( ( `  B
)  +  ( `  ( A  \  B ) ) ) )
75, 6mp3an3 1336 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  \  B )  e.  Fin )  -> 
( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )  =  ( ( `  B )  +  ( `  ( A  \  B ) ) ) )
83, 4, 7syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )  =  ( ( `  B )  +  ( `  ( A  \  B
) ) ) )
92, 8eqtr2d 2221 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  (
( `  B )  +  ( `  ( A  \  B ) ) )  =  ( `  A
) )
10 hashcl 10775 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
1110nn0cnd 9245 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  CC )
12113ad2ant1 1019 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  A )  e.  CC )
13 hashcl 10775 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
143, 13syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
1514nn0cnd 9245 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  B )  e.  CC )
16 hashcl 10775 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  B )  e.  Fin  ->  ( `  ( A  \  B
) )  e.  NN0 )
174, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  e.  NN0 )
1817nn0cnd 9245 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  e.  CC )
1912, 15, 18subaddd 8300 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( `  A
)  -  ( `  B
) )  =  ( `  ( A  \  B
) )  <->  ( ( `  B )  +  ( `  ( A  \  B
) ) )  =  ( `  A )
) )
209, 19mpbird 167 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  (
( `  A )  -  ( `  B ) )  =  ( `  ( A  \  B ) ) )
2120eqcomd 2193 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  =  ( ( `  A )  -  ( `  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2158    \ cdif 3138    u. cun 3139    i^i cin 3140    C_ wss 3141   (/)c0 3434   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Fincfn 6754   CCcc 7823    + caddc 7828    - cmin 8142   NN0cn0 9190  ♯chash 10769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-ihash 10770
This theorem is referenced by:  hashdifsn  10813
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