Theorem fihashssdif 11237

Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashssdif	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) = ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) )

Proof of Theorem fihashssdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undiffi 7222	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )
2	1	fveq2d 5694	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) )
3		simp2 1029	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
4		diffifi 7188	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )
5		disjdif 3596	. . . . . 6 |- ( B i^i ( A \ B ) ) = (/)
6		hashun 11223	. . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A \ B ) e. Fin /\ ( B i^i ( A \ B ) ) = (/) ) -> (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) = ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) )
7	5, 6	mp3an3 1367	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ ( A \ B ) e. Fin ) -> (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) = ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) )
8	3, 4, 7	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) = ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) )
9	2, 8	eqtr2d 2272	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) = (♯ ` A ) )
10		hashcl 11198	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9601	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. CC )
12	11	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` A ) e. CC )
13		hashcl 11198	. . . . . 6 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` B ) e. NN0 )
15	14	nn0cnd 9601	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` B ) e. CC )
16		hashcl 11198	. . . . . 6 |- ( ( A \ B ) e. Fin -> (♯ ` ( A \ B ) ) e. NN0 )
17	4, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) e. NN0 )
18	17	nn0cnd 9601	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) e. CC )
19	12, 15, 18	subaddd 8645	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) = (♯ ` ( A \ B ) ) <-> ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) = (♯ ` A ) ) )
20	9, 19	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) = (♯ ` ( A \ B ) ) )
21	20	eqcomd 2244	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) = ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   CCcc 8167   + caddc 8172   - cmin 8487   NN0cn0 9542  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-ihash 11193

This theorem is referenced by:  hashdifsn  11238  ballotfilemfmpn  13212  ballotfilemth  13259