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Theorem fihashssdif 10578
Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashssdif  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  =  ( ( `  A )  -  ( `  B )
) )

Proof of Theorem fihashssdif
StepHypRef Expression
1 undiffi 6813 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
21fveq2d 5425 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  A )  =  ( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
3 simp2 982 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
4 diffifi 6788 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
5 disjdif 3435 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
6 hashun 10565 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  \  B )  e.  Fin  /\  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/) )  ->  ( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )  =  ( ( `  B
)  +  ( `  ( A  \  B ) ) ) )
75, 6mp3an3 1304 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  \  B )  e.  Fin )  -> 
( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )  =  ( ( `  B )  +  ( `  ( A  \  B ) ) ) )
83, 4, 7syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )  =  ( ( `  B )  +  ( `  ( A  \  B
) ) ) )
92, 8eqtr2d 2173 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  (
( `  B )  +  ( `  ( A  \  B ) ) )  =  ( `  A
) )
10 hashcl 10541 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
1110nn0cnd 9046 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  CC )
12113ad2ant1 1002 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  A )  e.  CC )
13 hashcl 10541 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
143, 13syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
1514nn0cnd 9046 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  B )  e.  CC )
16 hashcl 10541 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  B )  e.  Fin  ->  ( `  ( A  \  B
) )  e.  NN0 )
174, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  e.  NN0 )
1817nn0cnd 9046 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  e.  CC )
1912, 15, 18subaddd 8105 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( `  A
)  -  ( `  B
) )  =  ( `  ( A  \  B
) )  <->  ( ( `  B )  +  ( `  ( A  \  B
) ) )  =  ( `  A )
) )
209, 19mpbird 166 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  (
( `  A )  -  ( `  B ) )  =  ( `  ( A  \  B ) ) )
2120eqcomd 2145 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  =  ( ( `  A )  -  ( `  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    \ cdif 3068    u. cun 3069    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   CCcc 7632    + caddc 7637    - cmin 7947   NN0cn0 8991  ♯chash 10535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-ihash 10536
This theorem is referenced by:  hashdifsn  10579
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