Theorem fihashssdif 11183

Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashssdif	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) = ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) )

Proof of Theorem fihashssdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undiffi 7185	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )
2	1	fveq2d 5674	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) )
3		simp2 1025	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
4		diffifi 7151	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )
5		disjdif 3581	. . . . . 6 |- ( B i^i ( A \ B ) ) = (/)
6		hashun 11169	. . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A \ B ) e. Fin /\ ( B i^i ( A \ B ) ) = (/) ) -> (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) = ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) )
7	5, 6	mp3an3 1363	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ ( A \ B ) e. Fin ) -> (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) = ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) )
8	3, 4, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) = ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) )
9	2, 8	eqtr2d 2266	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) = (♯ ` A ) )
10		hashcl 11144	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9555	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. CC )
12	11	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` A ) e. CC )
13		hashcl 11144	. . . . . 6 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` B ) e. NN0 )
15	14	nn0cnd 9555	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` B ) e. CC )
16		hashcl 11144	. . . . . 6 |- ( ( A \ B ) e. Fin -> (♯ ` ( A \ B ) ) e. NN0 )
17	4, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) e. NN0 )
18	17	nn0cnd 9555	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) e. CC )
19	12, 15, 18	subaddd 8602	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) = (♯ ` ( A \ B ) ) <-> ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) = (♯ ` A ) ) )
20	9, 19	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) = (♯ ` ( A \ B ) ) )
21	20	eqcomd 2238	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) = ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   \ cdif 3208   u. cun 3209   i^i cin 3210   C_ wss 3211   (/)c0 3508   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Fincfn 6975   CCcc 8125   + caddc 8130   - cmin 8444   NN0cn0 9496  ♯chash 11138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-ihash 11139

This theorem is referenced by:  hashdifsn  11184