Theorem fihashssdif 11242

Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashssdif	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) = ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) )

Proof of Theorem fihashssdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undiffi 7226	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )
2	1	fveq2d 5697	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` A ) = (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) )
3		simp2 1029	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
4		diffifi 7192	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )
5		disjdif 3599	. . . . . 6 |- ( B i^i ( A \ B ) ) = (/)
6		hashun 11228	. . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( A \ B ) e. Fin /\ ( B i^i ( A \ B ) ) = (/) ) -> (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) = ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) )
7	5, 6	mp3an3 1367	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ ( A \ B ) e. Fin ) -> (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) = ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) )
8	3, 4, 7	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( B u. ( A \ B ) ) ) = ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) )
9	2, 8	eqtr2d 2272	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) = (♯ ` A ) )
10		hashcl 11203	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9605	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. CC )
12	11	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` A ) e. CC )
13		hashcl 11203	. . . . . 6 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` B ) e. NN0 )
15	14	nn0cnd 9605	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` B ) e. CC )
16		hashcl 11203	. . . . . 6 |- ( ( A \ B ) e. Fin -> (♯ ` ( A \ B ) ) e. NN0 )
17	4, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) e. NN0 )
18	17	nn0cnd 9605	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) e. CC )
19	12, 15, 18	subaddd 8649	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) = (♯ ` ( A \ B ) ) <-> ( (♯ ` B ) + (♯ ` ( A \ B ) ) ) = (♯ ` A ) ) )
20	9, 19	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) = (♯ ` ( A \ B ) ) )
21	20	eqcomd 2244	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> (♯ ` ( A \ B ) ) = ( (♯ ` A ) - (♯ ` B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Fincfn 7016   CCcc 8171   + caddc 8176   - cmin 8491   NN0cn0 9546  ♯chash 11197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-ihash 11198

This theorem is used by:  hashdifsn  11243  ballotfilemfmpn  13217  ballotfilemth  13264