ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashssdif Unicode version

Theorem fihashssdif 10740
Description: The size of the difference of a finite set and a finite subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashssdif  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  =  ( ( `  A )  -  ( `  B )
) )

Proof of Theorem fihashssdif
StepHypRef Expression
1 undiffi 6898 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
21fveq2d 5498 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  A )  =  ( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
3 simp2 993 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
4 diffifi 6868 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
5 disjdif 3486 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
6 hashun 10727 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  \  B )  e.  Fin  /\  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/) )  ->  ( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )  =  ( ( `  B
)  +  ( `  ( A  \  B ) ) ) )
75, 6mp3an3 1321 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  \  B )  e.  Fin )  -> 
( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )  =  ( ( `  B )  +  ( `  ( A  \  B ) ) ) )
83, 4, 7syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )  =  ( ( `  B )  +  ( `  ( A  \  B
) ) ) )
92, 8eqtr2d 2204 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  (
( `  B )  +  ( `  ( A  \  B ) ) )  =  ( `  A
) )
10 hashcl 10702 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
1110nn0cnd 9177 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  CC )
12113ad2ant1 1013 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  A )  e.  CC )
13 hashcl 10702 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
143, 13syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
1514nn0cnd 9177 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  B )  e.  CC )
16 hashcl 10702 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  B )  e.  Fin  ->  ( `  ( A  \  B
) )  e.  NN0 )
174, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  e.  NN0 )
1817nn0cnd 9177 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  e.  CC )
1912, 15, 18subaddd 8235 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( `  A
)  -  ( `  B
) )  =  ( `  ( A  \  B
) )  <->  ( ( `  B )  +  ( `  ( A  \  B
) ) )  =  ( `  A )
) )
209, 19mpbird 166 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  (
( `  A )  -  ( `  B ) )  =  ( `  ( A  \  B ) ) )
2120eqcomd 2176 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( `  ( A  \  B
) )  =  ( ( `  A )  -  ( `  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141    \ cdif 3118    u. cun 3119    i^i cin 3120    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   Fincfn 6714   CCcc 7759    + caddc 7764    - cmin 8077   NN0cn0 9122  ♯chash 10696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-ihash 10697
This theorem is referenced by:  hashdifsn  10741
  Copyright terms: Public domain W3C validator