Theorem fsumlessfi 11401

Description: A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fsumless.4	|- ( ph -> C C_ A )
fsumlessfi.c	|- ( ph -> C e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fsumlessfi	|- ( ph -> sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumlessfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
2		fsumlessfi.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. Fin )
3		fsumless.4	. . . . 5 |- ( ph -> C C_ A )
4		diffifi 6860	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ C e. Fin /\ C C_ A ) -> ( A \ C ) e. Fin )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> ( A \ C ) e. Fin )
6		eldifi 3244	. . . . 5 |- ( k e. ( A \ C ) -> k e. A )
7		fsumge0.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
8	6, 7	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ C ) ) -> B e. RR )
9		fsumge0.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
10	6, 9	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ C ) ) -> 0 <_ B )
11	5, 8, 10	fsumge0 11400	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( A \ C ) B )
12	3	sselda 3142	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. A )
13	12, 7	syldan 280	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> B e. RR )
14	2, 13	fsumrecl 11342	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. C B e. RR )
15	5, 8	fsumrecl 11342	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( A \ C ) B e. RR )
16	14, 15	addge01d 8431	. . 3 |- ( ph -> ( 0 <_ sum_ k e. ( A \ C ) B <-> sum_ k e. C B <_ ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) ) )
17	11, 16	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. C B <_ ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) )
18		disjdif 3481	. . . 4 |- ( C i^i ( A \ C ) ) = (/)
19	18	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
20		undiffi 6890	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ C e. Fin /\ C C_ A ) -> A = ( C u. ( A \ C ) ) )
21	1, 2, 3, 20	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> A = ( C u. ( A \ C ) ) )
22	7	recnd 7927	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
23	19, 21, 1, 22	fsumsplit 11348	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) )
24	17, 23	breqtrrd 4010	1 |- ( ph -> sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   \ cdif 3113   u. cun 3114   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   RRcr 7752   0cc0 7753   + caddc 7756   <_ cle 7934   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  fsumge1  11402  fsum00  11403