Theorem fsumlessfi 11261

Description: A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fsumless.4	|- ( ph -> C C_ A )
fsumlessfi.c	|- ( ph -> C e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fsumlessfi	|- ( ph -> sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumlessfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
2		fsumlessfi.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. Fin )
3		fsumless.4	. . . . 5 |- ( ph -> C C_ A )
4		diffifi 6796	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ C e. Fin /\ C C_ A ) -> ( A \ C ) e. Fin )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1217	. . . 4 |- ( ph -> ( A \ C ) e. Fin )
6		eldifi 3203	. . . . 5 |- ( k e. ( A \ C ) -> k e. A )
7		fsumge0.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
8	6, 7	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ C ) ) -> B e. RR )
9		fsumge0.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
10	6, 9	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ C ) ) -> 0 <_ B )
11	5, 8, 10	fsumge0 11260	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( A \ C ) B )
12	3	sselda 3102	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. A )
13	12, 7	syldan 280	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> B e. RR )
14	2, 13	fsumrecl 11202	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. C B e. RR )
15	5, 8	fsumrecl 11202	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( A \ C ) B e. RR )
16	14, 15	addge01d 8319	. . 3 |- ( ph -> ( 0 <_ sum_ k e. ( A \ C ) B <-> sum_ k e. C B <_ ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) ) )
17	11, 16	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. C B <_ ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) )
18		disjdif 3440	. . . 4 |- ( C i^i ( A \ C ) ) = (/)
19	18	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
20		undiffi 6821	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ C e. Fin /\ C C_ A ) -> A = ( C u. ( A \ C ) ) )
21	1, 2, 3, 20	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ph -> A = ( C u. ( A \ C ) ) )
22	7	recnd 7818	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
23	19, 21, 1, 22	fsumsplit 11208	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) )
24	17, 23	breqtrrd 3964	1 |- ( ph -> sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   \ cdif 3073   u. cun 3074   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   Fincfn 6642   RRcr 7643   0cc0 7644   + caddc 7647   <_ cle 7825   sum_csu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-ico 9707  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  fsumge1  11262  fsum00  11263