Theorem fsumlessfi 11487

Description: A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fsumless.4	|- ( ph -> C C_ A )
fsumlessfi.c	|- ( ph -> C e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fsumlessfi	|- ( ph -> sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumlessfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
2		fsumlessfi.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. Fin )
3		fsumless.4	. . . . 5 |- ( ph -> C C_ A )
4		diffifi 6912	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ C e. Fin /\ C C_ A ) -> ( A \ C ) e. Fin )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( A \ C ) e. Fin )
6		eldifi 3272	. . . . 5 |- ( k e. ( A \ C ) -> k e. A )
7		fsumge0.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
8	6, 7	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ C ) ) -> B e. RR )
9		fsumge0.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
10	6, 9	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ C ) ) -> 0 <_ B )
11	5, 8, 10	fsumge0 11486	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( A \ C ) B )
12	3	sselda 3170	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. A )
13	12, 7	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> B e. RR )
14	2, 13	fsumrecl 11428	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. C B e. RR )
15	5, 8	fsumrecl 11428	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( A \ C ) B e. RR )
16	14, 15	addge01d 8509	. . 3 |- ( ph -> ( 0 <_ sum_ k e. ( A \ C ) B <-> sum_ k e. C B <_ ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) ) )
17	11, 16	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. C B <_ ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) )
18		disjdif 3510	. . . 4 |- ( C i^i ( A \ C ) ) = (/)
19	18	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
20		undiffi 6942	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ C e. Fin /\ C C_ A ) -> A = ( C u. ( A \ C ) ) )
21	1, 2, 3, 20	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> A = ( C u. ( A \ C ) ) )
22	7	recnd 8005	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
23	19, 21, 1, 22	fsumsplit 11434	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) )
24	17, 23	breqtrrd 4046	1 |- ( ph -> sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   \ cdif 3141   u. cun 3142   i^i cin 3143   C_ wss 3144   (/)c0 3437   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   Fincfn 6758   RRcr 7829   0cc0 7830   + caddc 7833   <_ cle 8012   sum_csu 11380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-ico 9913  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-ihash 10775  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-sumdc 11381

This theorem is referenced by:  fsumge1  11488  fsum00  11489