ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumlessfi Unicode version

Theorem fsumlessfi 10854
Description: A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumge0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumge0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
fsumless.4  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
fsumlessfi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fsumlessfi  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumlessfi
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumlessfi.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
3 fsumless.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
4 diffifi 6610 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  e.  Fin  /\  C  C_  A )  ->  ( A  \  C )  e. 
Fin )
51, 2, 3, 4syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  \  C
)  e.  Fin )
6 eldifi 3122 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  \  C )  ->  k  e.  A )
7 fsumge0.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
86, 7sylan2 280 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  B  e.  RR )
9 fsumge0.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
106, 9sylan2 280 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  0  <_  B )
115, 8, 10fsumge0 10853 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( A  \  C
) B )
123sselda 3025 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  A )
1312, 7syldan 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  B  e.  RR )
142, 13fsumrecl 10795 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  e.  RR )
155, 8fsumrecl 10795 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  \  C ) B  e.  RR )
1614, 15addge01d 8010 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sum_ k  e.  ( A  \  C
) B  <->  sum_ k  e.  C  B  <_  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A  \  C ) B ) ) )
1711, 16mpbid 145 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A 
\  C ) B ) )
18 disjdif 3355 . . . 4  |-  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
1918a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )
20 undiffi 6635 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  e.  Fin  /\  C  C_  A )  ->  A  =  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )
211, 2, 3, 20syl3anc 1174 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )
227recnd 7516 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2319, 21, 1, 22fsumsplit 10801 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A  \  C ) B ) )
2417, 23breqtrrd 3871 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438    \ cdif 2996    u. cun 2997    i^i cin 2998    C_ wss 2999   (/)c0 3286   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   Fincfn 6457   RRcr 7349   0cc0 7350    + caddc 7353    <_ cle 7523   sum_csu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-ico 9312  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
This theorem is referenced by:  fsumge1  10855  fsum00  10856
  Copyright terms: Public domain W3C validator