Theorem xmet0 12723

Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmet0	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X ) -> ( A D A ) = 0 )

Proof of Theorem xmet0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2157	. 2 |- A = A
2		xmeteq0 12719	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ A e. X ) -> ( ( A D A ) = 0 <-> A = A ) )
3	2	3anidm23 1279	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X ) -> ( ( A D A ) = 0 <-> A = A ) )
4	1, 3	mpbiri 167	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X ) -> ( A D A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   0cc0 7715   *Metcxmet 12340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-xmet 12348

This theorem is referenced by:  met0  12724  xmetge0  12725  xmetsym  12728  xmetpsmet  12729  xblcntr  12774  ssbl  12786  xmeter  12796