ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetge0 Unicode version

Theorem xmetge0 12550
Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetge0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )

Proof of Theorem xmetge0
StepHypRef Expression
1 xmet0 12548 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  0 )
213adant2 1000 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  0 )
3 0xr 7826 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
4 xaddid1 9659 . . . . 5  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0 +e 0 )  =  0 )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0 +e 0 )  =  0
62, 5eqtr4di 2190 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  ( 0 +e 0 ) )
7 simp1 981 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 simp2 982 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  A  e.  X )
9 simp3 983 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  B  e.  X )
10 xmettri2 12546 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( B D B )  <_  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
117, 8, 9, 9, 10syl13anc 1218 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  <_  (
( A D B ) +e ( A D B ) ) )
126, 11eqbrtrrd 3952 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 0 +e 0 )  <_  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
13 xmetcl 12537 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
14 xleaddadd 9684 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR* )  ->  (
0  <_  ( A D B )  <->  ( 0 +e 0 )  <_  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
153, 13, 14sylancr 410 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 0 +e 0 )  <_  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
1612, 15mpbird 166 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7634   RR*cxr 7813    <_ cle 7815   +ecxad 9571   *Metcxmet 12165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-2 8793  df-xadd 9574  df-xmet 12173
This theorem is referenced by:  metge0  12551  xmetlecl  12552  xmetrtri  12561  xblpnf  12584  blgt0  12587  xblss2  12590  xblm  12602  xmsge0  12652  comet  12684  bdxmet  12686  bdmet  12687  xmetxp  12692
  Copyright terms: Public domain W3C validator