Theorem xmetge0 13005

Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetge0	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem xmetge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmet0 13003	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
2	1	3adant2 1006	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
3		0xr 7945	. . . . 5 |- 0 e. RR*
4		xaddid1 9798	. . . . 5 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 +e 0 ) = 0 )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 +e 0 ) = 0
6	2, 5	eqtr4di 2217	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) = ( 0 +e 0 ) )
7		simp1 987	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		simp2 988	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> A e. X )
9		simp3 989	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> B e. X )
10		xmettri2 13001	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ B e. X ) ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
11	7, 8, 9, 9, 10	syl13anc 1230	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
12	6, 11	eqbrtrrd 4006	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
13		xmetcl 12992	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
14		xleaddadd 9823	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( A D B ) e. RR* ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
15	3, 13, 14	sylancr 411	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
16	12, 15	mpbird 166	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   0cc0 7753   RR*cxr 7932   <_ cle 7934   +ecxad 9706   *Metcxmet 12620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-2 8916  df-xadd 9709  df-xmet 12628

This theorem is referenced by:  metge0  13006  xmetlecl  13007  xmetrtri  13016  xblpnf  13039  blgt0  13042  xblss2  13045  xblm  13057  xmsge0  13107  comet  13139  bdxmet  13141  bdmet  13142  xmetxp  13147