Theorem xmetge0 13124

Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetge0	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem xmetge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmet0 13122	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
2	1	3adant2 1011	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
3		0xr 7959	. . . . 5 |- 0 e. RR*
4		xaddid1 9812	. . . . 5 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 +e 0 ) = 0 )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 +e 0 ) = 0
6	2, 5	eqtr4di 2221	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) = ( 0 +e 0 ) )
7		simp1 992	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		simp2 993	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> A e. X )
9		simp3 994	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> B e. X )
10		xmettri2 13120	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ B e. X ) ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
11	7, 8, 9, 9, 10	syl13anc 1235	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
12	6, 11	eqbrtrrd 4011	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
13		xmetcl 13111	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
14		xleaddadd 9837	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( A D B ) e. RR* ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
15	3, 13, 14	sylancr 412	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
16	12, 15	mpbird 166	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   0cc0 7767   RR*cxr 7946   <_ cle 7948   +ecxad 9720   *Metcxmet 12739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-map 6626  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-2 8930  df-xadd 9723  df-xmet 12747

This theorem is referenced by:  metge0  13125  xmetlecl  13126  xmetrtri  13135  xblpnf  13158  blgt0  13161  xblss2  13164  xblm  13176  xmsge0  13226  comet  13258  bdxmet  13260  bdmet  13261  xmetxp  13266