Theorem xmetge0 12534

Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetge0	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem xmetge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmet0 12532	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
2	1	3adant2 1000	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
3		0xr 7812	. . . . 5 |- 0 e. RR*
4		xaddid1 9645	. . . . 5 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 +e 0 ) = 0 )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 +e 0 ) = 0
6	2, 5	syl6eqr 2190	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) = ( 0 +e 0 ) )
7		simp1 981	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		simp2 982	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> A e. X )
9		simp3 983	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> B e. X )
10		xmettri2 12530	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ B e. X ) ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
11	7, 8, 9, 9, 10	syl13anc 1218	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
12	6, 11	eqbrtrrd 3952	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
13		xmetcl 12521	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
14		xleaddadd 9670	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( A D B ) e. RR* ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
15	3, 13, 14	sylancr 410	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
16	12, 15	mpbird 166	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7620   RR*cxr 7799   <_ cle 7801   +ecxad 9557   *Metcxmet 12149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-2 8779  df-xadd 9560  df-xmet 12157

This theorem is referenced by:  metge0  12535  xmetlecl  12536  xmetrtri  12545  xblpnf  12568  blgt0  12571  xblss2  12574  xblm  12586  xmsge0  12636  comet  12668  bdxmet  12670  bdmet  12671  xmetxp  12676