Theorem ssbl 12634

Description: The size of a ball increases monotonically with its radius. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssbl	|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( P ( ball ` D ) S ) )

Proof of Theorem ssbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1006	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		simp1r 1007	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> P e. X )
3		simp2l 1008	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> R e. RR* )
4		simp2r 1009	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> S e. RR* )
5		xmet0 12571	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( P D P ) = 0 )
6	5	3ad2ant1 1003	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) = 0 )
7		0re 7790	. . 3 |- 0 e. RR
8	6, 7	eqeltrdi 2231	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) e. RR )
9		simp3 984	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> R <_ S )
10		xsubge0 9694	. . . . 5 |- ( ( S e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 <_ ( S +e -e R ) <-> R <_ S ) )
11	4, 3, 10	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( 0 <_ ( S +e -e R ) <-> R <_ S ) )
12	9, 11	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> 0 <_ ( S +e -e R ) )
13	6, 12	eqbrtrd 3958	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) <_ ( S +e -e R ) )
14	1, 2, 2, 3, 4, 8, 13	xblss2 12613	1 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( P ( ball ` D ) S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   RR*cxr 7823   <_ cle 7825   -ecxne 9586   +ecxad 9587   *Metcxmet 12188   ballcbl 12190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-2 8803  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-bl 12198

This theorem is referenced by:  blss  12636  ssblex  12639  blssec  12646  metequiv2  12704  xmettx  12718