Theorem mettri2 13002

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mettri2	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mettri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 12995	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xmettri2 13001	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
4		metcl 12993	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C D A ) e. RR )
5	4	3adant3r3 1204	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( C D A ) e. RR )
6		metcl 12993	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ C e. X /\ B e. X ) -> ( C D B ) e. RR )
7	6	3adant3r2 1203	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( C D B ) e. RR )
8		rexadd 9788	. . 3 |- ( ( ( C D A ) e. RR /\ ( C D B ) e. RR ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 409	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
10	3, 9	breqtrd 4008	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   + caddc 7756   <_ cle 7934   +ecxad 9706   *Metcxmet 12620   Metcmet 12621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850  ax-rnegex 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-xadd 9709  df-xmet 12628  df-met 12629

This theorem is referenced by:  mettri  13013  mstri2  13111