Theorem mettri2 14541

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mettri2	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mettri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 14534	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xmettri2 14540	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
4		metcl 14532	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C D A ) e. RR )
5	4	3adant3r3 1216	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( C D A ) e. RR )
6		metcl 14532	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ C e. X /\ B e. X ) -> ( C D B ) e. RR )
7	6	3adant3r2 1215	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( C D B ) e. RR )
8		rexadd 9921	. . 3 |- ( ( ( C D A ) e. RR /\ ( C D B ) e. RR ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
10	3, 9	breqtrd 4056	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   + caddc 7877   <_ cle 8057   +ecxad 9839   *Metcxmet 14035   Metcmet 14036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971  ax-rnegex 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-xadd 9842  df-xmet 14043  df-met 14044

This theorem is referenced by:  mettri  14552  mstri2  14650