Theorem mettri2 14682

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mettri2	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mettri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 14675	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xmettri2 14681	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
4		metcl 14673	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C D A ) e. RR )
5	4	3adant3r3 1216	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( C D A ) e. RR )
6		metcl 14673	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ C e. X /\ B e. X ) -> ( C D B ) e. RR )
7	6	3adant3r2 1215	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( C D B ) e. RR )
8		rexadd 9944	. . 3 |- ( ( ( C D A ) e. RR /\ ( C D B ) e. RR ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
10	3, 9	breqtrd 4060	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   + caddc 7899   <_ cle 8079   +ecxad 9862   *Metcxmet 14168   Metcmet 14169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-rnegex 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-xadd 9865  df-xmet 14176  df-met 14177

This theorem is referenced by:  mettri  14693  mstri2  14791