Theorem mettri2 12351

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mettri2	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mettri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 12344	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xmettri2 12350	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
3	1, 2	sylan 279	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
4		metcl 12342	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C D A ) e. RR )
5	4	3adant3r3 1175	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( C D A ) e. RR )
6		metcl 12342	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ C e. X /\ B e. X ) -> ( C D B ) e. RR )
7	6	3adant3r2 1174	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( C D B ) e. RR )
8		rexadd 9528	. . 3 |- ( ( ( C D A ) e. RR /\ ( C D B ) e. RR ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 406	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )
10	3, 9	breqtrd 3919	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) + ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   RRcr 7546   + caddc 7550   <_ cle 7725   +ecxad 9450   *Metcxmet 11992   Metcmet 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1re 7639  ax-addrcl 7642  ax-rnegex 7654

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-xadd 9453  df-xmet 12000  df-met 12001

This theorem is referenced by:  mettri  12362  mstri2  12460