Theorem xmet0 13799

Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmet0	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)

Proof of Theorem xmet0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		xmeteq0 13795	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐷𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐴))
3	2	3anidm23 1297	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐷𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐴))
4	1, 3	mpbiri 168	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  0cc0 7810  ∞Metcxmet 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-xmet 13384

This theorem is referenced by:  met0  13800  xmetge0  13801  xmetsym  13804  xmetpsmet  13805  xblcntr  13850  ssbl  13862  xmeter  13872