Theorem xmeter 14604

Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
xmeter	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> .~ Er X )

Proof of Theorem xmeter

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 |- .~ = ( `' D " RR )
2		cnvimass 5028	. . . . 5 |- ( `' D " RR ) C_ dom D
3	1, 2	eqsstri 3211	. . . 4 |- .~ C_ dom D
4		xmetf 14518	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
5	3, 4	fssdm 5418	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> .~ C_ ( X X. X ) )
6		relxp 4768	. . 3 |- Rel ( X X. X )
7		relss 4746	. . 3 |- ( .~ C_ ( X X. X ) -> ( Rel ( X X. X ) -> Rel .~ ) )
8	5, 6, 7	mpisyl 1457	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> Rel .~ )
9	1	xmeterval 14603	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x .~ y <-> ( x e. X /\ y e. X /\ ( x D y ) e. RR ) ) )
10	9	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( x e. X /\ y e. X /\ ( x D y ) e. RR ) )
11	10	simp2d 1012	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> y e. X )
12	10	simp1d 1011	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> x e. X )
13		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> D e. ( *Met ` X ) )
14		xmetsym 14536	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
15	13, 12, 11, 14	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
16	10	simp3d 1013	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( x D y ) e. RR )
17	15, 16	eqeltrrd 2271	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( y D x ) e. RR )
18	1	xmeterval 14603	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y .~ x <-> ( y e. X /\ x e. X /\ ( y D x ) e. RR ) ) )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( y .~ x <-> ( y e. X /\ x e. X /\ ( y D x ) e. RR ) ) )
20	11, 12, 17, 19	mpbir3and 1182	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> y .~ x )
21	12	adantrr 479	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> x e. X )
22	1	xmeterval 14603	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y .~ z <-> ( y e. X /\ z e. X /\ ( y D z ) e. RR ) ) )
23	22	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y .~ z ) -> ( y e. X /\ z e. X /\ ( y D z ) e. RR ) )
24	23	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y e. X /\ z e. X /\ ( y D z ) e. RR ) )
25	24	simp2d 1012	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> z e. X )
26		simpl 109	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
27	16	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x D y ) e. RR )
28	24	simp3d 1013	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y D z ) e. RR )
29		rexadd 9918	. . . . . 6 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ ( y D z ) e. RR ) -> ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) = ( ( x D y ) + ( y D z ) ) )
30		readdcl 7998	. . . . . 6 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ ( y D z ) e. RR ) -> ( ( x D y ) + ( y D z ) ) e. RR )
31	29, 30	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ ( y D z ) e. RR ) -> ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) e. RR )
32	27, 28, 31	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) e. RR )
33	11	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> y e. X )
34		xmettri 14540	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ z e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D z ) <_ ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) )
35	26, 21, 25, 33, 34	syl13anc 1251	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x D z ) <_ ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) )
36		xmetlecl 14535	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) /\ ( ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) e. RR /\ ( x D z ) <_ ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) ) ) -> ( x D z ) e. RR )
37	26, 21, 25, 32, 35, 36	syl122anc 1258	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x D z ) e. RR )
38	1	xmeterval 14603	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x .~ z <-> ( x e. X /\ z e. X /\ ( x D z ) e. RR ) ) )
39	38	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x .~ z <-> ( x e. X /\ z e. X /\ ( x D z ) e. RR ) ) )
40	21, 25, 37, 39	mpbir3and 1182	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> x .~ z )
41		xmet0 14531	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( x D x ) = 0 )
42		0re 8019	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
43	41, 42	eqeltrdi 2284	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( x D x ) e. RR )
44	43	ex 115	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X -> ( x D x ) e. RR ) )
45	44	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X <-> ( ( x D x ) e. RR /\ x e. X ) ) )
46		df-3an 982	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) <-> ( ( x e. X /\ x e. X ) /\ ( x D x ) e. RR ) )
47		anidm 396	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ x e. X ) <-> x e. X )
48	47	anbi2ci 459	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X /\ x e. X ) /\ ( x D x ) e. RR ) <-> ( ( x D x ) e. RR /\ x e. X ) )
49	46, 48	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) <-> ( ( x D x ) e. RR /\ x e. X ) )
50	45, 49	bitr4di 198	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X <-> ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) ) )
51	1	xmeterval 14603	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x .~ x <-> ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) ) )
52	50, 51	bitr4d 191	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X <-> x .~ x ) )
53	8, 20, 40, 52	iserd 6613	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> .~ Er X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   "cima 4662   Rel wrel 4664   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Er wer 6584   RRcr 7871   0cc0 7872   + caddc 7875   RR*cxr 8053   <_ cle 8055   +ecxad 9836   *Metcxmet 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-er 6587  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-2 9041  df-xadd 9839  df-xmet 14040

This theorem is referenced by:  blpnfctr  14607  xmetresbl  14608