Theorem xmeter 13516

Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
xmeter	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> .~ Er X )

Proof of Theorem xmeter

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 |- .~ = ( `' D " RR )
2		cnvimass 4984	. . . . 5 |- ( `' D " RR ) C_ dom D
3	1, 2	eqsstri 3185	. . . 4 |- .~ C_ dom D
4		xmetf 13430	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
5	3, 4	fssdm 5372	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> .~ C_ ( X X. X ) )
6		relxp 4729	. . 3 |- Rel ( X X. X )
7		relss 4707	. . 3 |- ( .~ C_ ( X X. X ) -> ( Rel ( X X. X ) -> Rel .~ ) )
8	5, 6, 7	mpisyl 1444	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> Rel .~ )
9	1	xmeterval 13515	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x .~ y <-> ( x e. X /\ y e. X /\ ( x D y ) e. RR ) ) )
10	9	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( x e. X /\ y e. X /\ ( x D y ) e. RR ) )
11	10	simp2d 1010	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> y e. X )
12	10	simp1d 1009	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> x e. X )
13		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> D e. ( *Met ` X ) )
14		xmetsym 13448	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
15	13, 12, 11, 14	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
16	10	simp3d 1011	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( x D y ) e. RR )
17	15, 16	eqeltrrd 2253	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( y D x ) e. RR )
18	1	xmeterval 13515	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y .~ x <-> ( y e. X /\ x e. X /\ ( y D x ) e. RR ) ) )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( y .~ x <-> ( y e. X /\ x e. X /\ ( y D x ) e. RR ) ) )
20	11, 12, 17, 19	mpbir3and 1180	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> y .~ x )
21	12	adantrr 479	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> x e. X )
22	1	xmeterval 13515	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y .~ z <-> ( y e. X /\ z e. X /\ ( y D z ) e. RR ) ) )
23	22	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y .~ z ) -> ( y e. X /\ z e. X /\ ( y D z ) e. RR ) )
24	23	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y e. X /\ z e. X /\ ( y D z ) e. RR ) )
25	24	simp2d 1010	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> z e. X )
26		simpl 109	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
27	16	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x D y ) e. RR )
28	24	simp3d 1011	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y D z ) e. RR )
29		rexadd 9823	. . . . . 6 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ ( y D z ) e. RR ) -> ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) = ( ( x D y ) + ( y D z ) ) )
30		readdcl 7912	. . . . . 6 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ ( y D z ) e. RR ) -> ( ( x D y ) + ( y D z ) ) e. RR )
31	29, 30	eqeltrd 2252	. . . . 5 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ ( y D z ) e. RR ) -> ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) e. RR )
32	27, 28, 31	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) e. RR )
33	11	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> y e. X )
34		xmettri 13452	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ z e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D z ) <_ ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) )
35	26, 21, 25, 33, 34	syl13anc 1240	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x D z ) <_ ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) )
36		xmetlecl 13447	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) /\ ( ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) e. RR /\ ( x D z ) <_ ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) ) ) -> ( x D z ) e. RR )
37	26, 21, 25, 32, 35, 36	syl122anc 1247	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x D z ) e. RR )
38	1	xmeterval 13515	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x .~ z <-> ( x e. X /\ z e. X /\ ( x D z ) e. RR ) ) )
39	38	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x .~ z <-> ( x e. X /\ z e. X /\ ( x D z ) e. RR ) ) )
40	21, 25, 37, 39	mpbir3and 1180	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> x .~ z )
41		xmet0 13443	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( x D x ) = 0 )
42		0re 7932	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
43	41, 42	eqeltrdi 2266	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( x D x ) e. RR )
44	43	ex 115	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X -> ( x D x ) e. RR ) )
45	44	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X <-> ( ( x D x ) e. RR /\ x e. X ) ) )
46		df-3an 980	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) <-> ( ( x e. X /\ x e. X ) /\ ( x D x ) e. RR ) )
47		anidm 396	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ x e. X ) <-> x e. X )
48	47	anbi2ci 459	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X /\ x e. X ) /\ ( x D x ) e. RR ) <-> ( ( x D x ) e. RR /\ x e. X ) )
49	46, 48	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) <-> ( ( x D x ) e. RR /\ x e. X ) )
50	45, 49	bitr4di 198	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X <-> ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) ) )
51	1	xmeterval 13515	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x .~ x <-> ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) ) )
52	50, 51	bitr4d 191	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X <-> x .~ x ) )
53	8, 20, 40, 52	iserd 6551	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> .~ Er X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   C_ wss 3127   class class class wbr 3998   X. cxp 4618   `'ccnv 4619   dom cdm 4620   "cima 4623   Rel wrel 4625   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Er wer 6522   RRcr 7785   0cc0 7786   + caddc 7789   RR*cxr 7965   <_ cle 7967   +ecxad 9741   *Metcxmet 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-er 6525  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-2 8951  df-xadd 9744  df-xmet 13068

This theorem is referenced by:  blpnfctr  13519  xmetresbl  13520