Theorem xmeter 12594

Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
xmeter	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> .~ Er X )

Proof of Theorem xmeter

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 |- .~ = ( `' D " RR )
2		cnvimass 4897	. . . . 5 |- ( `' D " RR ) C_ dom D
3	1, 2	eqsstri 3124	. . . 4 |- .~ C_ dom D
4		xmetf 12508	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
5	3, 4	fssdm 5282	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> .~ C_ ( X X. X ) )
6		relxp 4643	. . 3 |- Rel ( X X. X )
7		relss 4621	. . 3 |- ( .~ C_ ( X X. X ) -> ( Rel ( X X. X ) -> Rel .~ ) )
8	5, 6, 7	mpisyl 1422	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> Rel .~ )
9	1	xmeterval 12593	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x .~ y <-> ( x e. X /\ y e. X /\ ( x D y ) e. RR ) ) )
10	9	biimpa 294	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( x e. X /\ y e. X /\ ( x D y ) e. RR ) )
11	10	simp2d 994	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> y e. X )
12	10	simp1d 993	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> x e. X )
13		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> D e. ( *Met ` X ) )
14		xmetsym 12526	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
15	13, 12, 11, 14	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( x D y ) = ( y D x ) )
16	10	simp3d 995	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( x D y ) e. RR )
17	15, 16	eqeltrrd 2215	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( y D x ) e. RR )
18	1	xmeterval 12593	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y .~ x <-> ( y e. X /\ x e. X /\ ( y D x ) e. RR ) ) )
19	18	adantr 274	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> ( y .~ x <-> ( y e. X /\ x e. X /\ ( y D x ) e. RR ) ) )
20	11, 12, 17, 19	mpbir3and 1164	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x .~ y ) -> y .~ x )
21	12	adantrr 470	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> x e. X )
22	1	xmeterval 12593	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y .~ z <-> ( y e. X /\ z e. X /\ ( y D z ) e. RR ) ) )
23	22	biimpa 294	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y .~ z ) -> ( y e. X /\ z e. X /\ ( y D z ) e. RR ) )
24	23	adantrl 469	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y e. X /\ z e. X /\ ( y D z ) e. RR ) )
25	24	simp2d 994	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> z e. X )
26		simpl 108	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
27	16	adantrr 470	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x D y ) e. RR )
28	24	simp3d 995	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( y D z ) e. RR )
29		rexadd 9628	. . . . . 6 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ ( y D z ) e. RR ) -> ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) = ( ( x D y ) + ( y D z ) ) )
30		readdcl 7739	. . . . . 6 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ ( y D z ) e. RR ) -> ( ( x D y ) + ( y D z ) ) e. RR )
31	29, 30	eqeltrd 2214	. . . . 5 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ ( y D z ) e. RR ) -> ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) e. RR )
32	27, 28, 31	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) e. RR )
33	11	adantrr 470	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> y e. X )
34		xmettri 12530	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ z e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D z ) <_ ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) )
35	26, 21, 25, 33, 34	syl13anc 1218	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x D z ) <_ ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) )
36		xmetlecl 12525	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) /\ ( ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) e. RR /\ ( x D z ) <_ ( ( x D y ) +e ( y D z ) ) ) ) -> ( x D z ) e. RR )
37	26, 21, 25, 32, 35, 36	syl122anc 1225	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x D z ) e. RR )
38	1	xmeterval 12593	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x .~ z <-> ( x e. X /\ z e. X /\ ( x D z ) e. RR ) ) )
39	38	adantr 274	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> ( x .~ z <-> ( x e. X /\ z e. X /\ ( x D z ) e. RR ) ) )
40	21, 25, 37, 39	mpbir3and 1164	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x .~ y /\ y .~ z ) ) -> x .~ z )
41		xmet0 12521	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( x D x ) = 0 )
42		0re 7759	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
43	41, 42	eqeltrdi 2228	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( x D x ) e. RR )
44	43	ex 114	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X -> ( x D x ) e. RR ) )
45	44	pm4.71rd 391	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X <-> ( ( x D x ) e. RR /\ x e. X ) ) )
46		df-3an 964	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) <-> ( ( x e. X /\ x e. X ) /\ ( x D x ) e. RR ) )
47		anidm 393	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ x e. X ) <-> x e. X )
48	47	anbi2ci 454	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X /\ x e. X ) /\ ( x D x ) e. RR ) <-> ( ( x D x ) e. RR /\ x e. X ) )
49	46, 48	bitri 183	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) <-> ( ( x D x ) e. RR /\ x e. X ) )
50	45, 49	syl6bbr 197	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X <-> ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) ) )
51	1	xmeterval 12593	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x .~ x <-> ( x e. X /\ x e. X /\ ( x D x ) e. RR ) ) )
52	50, 51	bitr4d 190	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X <-> x .~ x ) )
53	8, 20, 40, 52	iserd 6448	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> .~ Er X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   `'ccnv 4533   dom cdm 4534   "cima 4537   Rel wrel 4539   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   Er wer 6419   RRcr 7612   0cc0 7613   + caddc 7616   RR*cxr 7792   <_ cle 7794   +ecxad 9550   *Metcxmet 12138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-er 6422  df-map 6537  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-2 8772  df-xadd 9553  df-xmet 12146

This theorem is referenced by:  blpnfctr  12597  xmetresbl  12598