Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmeter Unicode version

Theorem xmeter 12364
 Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1
Assertion
Ref Expression
xmeter

Proof of Theorem xmeter
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmeter.1 . . . . 5
2 cnvimass 4838 . . . . 5
31, 2eqsstri 3079 . . . 4
4 xmetf 12278 . . . 4
53, 4fssdm 5223 . . 3
6 relxp 4586 . . 3
7 relss 4564 . . 3
85, 6, 7mpisyl 1390 . 2
91xmeterval 12363 . . . . 5
109biimpa 292 . . . 4
1110simp2d 962 . . 3
1210simp1d 961 . . 3
13 simpl 108 . . . . 5
14 xmetsym 12296 . . . . 5
1513, 12, 11, 14syl3anc 1184 . . . 4
1610simp3d 963 . . . 4
1715, 16eqeltrrd 2177 . . 3
181xmeterval 12363 . . . 4
2011, 12, 17, 19mpbir3and 1132 . 2
221xmeterval 12363 . . . . . 6
2322biimpa 292 . . . . 5
2423adantrl 465 . . . 4
2524simp2d 962 . . 3
26 simpl 108 . . . 4
2716adantrr 466 . . . . 5
2824simp3d 963 . . . . 5
29 rexadd 9476 . . . . . 6
30 readdcl 7618 . . . . . 6
3129, 30eqeltrd 2176 . . . . 5
3227, 28, 31syl2anc 406 . . . 4
3311adantrr 466 . . . . 5
34 xmettri 12300 . . . . 5
3526, 21, 25, 33, 34syl13anc 1186 . . . 4
36 xmetlecl 12295 . . . 4
3726, 21, 25, 32, 35, 36syl122anc 1193 . . 3
381xmeterval 12363 . . . 4
4021, 25, 37, 39mpbir3and 1132 . 2
41 xmet0 12291 . . . . . . 7
42 0re 7638 . . . . . . 7
4341, 42syl6eqel 2190 . . . . . 6
4443ex 114 . . . . 5
4544pm4.71rd 389 . . . 4
46 df-3an 932 . . . . 5
47 anidm 391 . . . . . 6
4847anbi2ci 450 . . . . 5
4946, 48bitri 183 . . . 4
5045, 49syl6bbr 197 . . 3
511xmeterval 12363 . . 3
5250, 51bitr4d 190 . 2
538, 20, 40, 52iserd 6385 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 930   wceq 1299   wcel 1448   wss 3021   class class class wbr 3875   cxp 4475  ccnv 4476   cdm 4477  cima 4480   wrel 4482  cfv 5059  (class class class)co 5706   wer 6356  cr 7499  cc0 7500   caddc 7503  cxr 7671   cle 7673  cxad 9398  cxmet 11931 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-er 6359  df-map 6474  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-2 8637  df-xadd 9401  df-xmet 11939 This theorem is referenced by:  blpnfctr  12367  xmetresbl  12368
 Copyright terms: Public domain W3C validator