Theorem metxmet 14827

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	|- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 14826	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   X. cxp 4673   -->wf 5267   ` cfv 5271   RRcr 7924   *Metcxmet 14298   Metcmet 14299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-rnegex 8034

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-xadd 9895  df-xmet 14306  df-met 14307

This theorem is referenced by:  metdmdm  14829  meteq0  14832  mettri2  14834  met0  14836  metge0  14838  metsym  14843  metres2  14853  blpnf  14872  bl2in  14875  isms2  14926  metss2lem  14969  metss2  14970  cnxmet  15003  rexmet  15021