Theorem xmetf 13853

Description: Mapping of the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetf	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )

Proof of Theorem xmetf

Dummy variables x y z e d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4756	. . . . . 6 |- Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2		df-xmet 13451	. . . . . . 7 |- *Met = ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
3	2	releqi 4710	. . . . . 6 |- ( Rel *Met <-> Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 146	. . . . 5 |- Rel *Met
5		relelfvdm 5548	. . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
7		isxmet 13848	. . . 4 |- ( X e. dom *Met -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
9	8	ibi 176	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
10	9	simpld 112	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2738   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   X. cxp 4625   dom cdm 4627   Rel wrel 4632   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   ^m cmap 6648   0cc0 7811   RR*cxr 7991   <_ cle 7993   +ecxad 9770   *Metcxmet 13443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-xmet 13451

This theorem is referenced by:  xmetcl  13855  xmetdmdm  13859  xmetpsmet  13872  xmettpos  13873  xmetres2  13882  xmetres  13885  xmeterval  13938  xmeter  13939  xmetresbl  13943  comet  14002  bdxmet  14004  bdbl  14006  txmetcnp  14021