ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetf Unicode version

Theorem xmetf 14327
Description: Mapping of the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetf  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )

Proof of Theorem xmetf
Dummy variables  x  y  z  e  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptrel 4773 . . . . . 6  |-  Rel  (
e  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  ( e  X.  e
) )  |  A. x  e.  e  A. y  e.  e  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  e  ( x d y )  <_  (
( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2 df-xmet 13874 . . . . . . 7  |-  *Met  =  ( e  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
e  X.  e ) )  |  A. x  e.  e  A. y  e.  e  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  e  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
32releqi 4727 . . . . . 6  |-  ( Rel 
*Met  <->  Rel  ( e  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
e  X.  e ) )  |  A. x  e.  e  A. y  e.  e  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  e  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
41, 3mpbir 146 . . . . 5  |-  Rel  *Met
5 relelfvdm 5566 . . . . 5  |-  ( ( Rel  *Met  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  X  e.  dom  *Met )
64, 5mpan 424 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
7 isxmet 14322 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
86, 7syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
98ibi 176 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
109simpld 112 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   _Vcvv 2752   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079    X. cxp 4642   dom cdm 4644   Rel wrel 4649   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5897    ^m cmap 6675   0cc0 7842   RR*cxr 8022    <_ cle 8024   +ecxad 9802   *Metcxmet 13866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-xmet 13874
This theorem is referenced by:  xmetcl  14329  xmetdmdm  14333  xmetpsmet  14346  xmettpos  14347  xmetres2  14356  xmetres  14359  xmeterval  14412  xmeter  14413  xmetresbl  14417  comet  14476  bdxmet  14478  bdbl  14480  txmetcnp  14495
  Copyright terms: Public domain W3C validator