Theorem xmetf 15215

Description: Mapping of the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetf	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )

Proof of Theorem xmetf

Dummy variables x y z e d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4883	. . . . . 6 |- Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2		df-xmet 14692	. . . . . . 7 |- *Met = ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
3	2	releqi 4833	. . . . . 6 |- ( Rel *Met <-> Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 146	. . . . 5 |- Rel *Met
5		relelfvdm 5702	. . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
7		isxmet 15210	. . . 4 |- ( X e. dom *Met -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
9	8	ibi 176	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
10	9	simpld 112	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   _Vcvv 2813   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   X. cxp 4747   dom cdm 4749   Rel wrel 4754   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   0cc0 8127   RR*cxr 8307   <_ cle 8309   +ecxad 10103   *Metcxmet 14684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-xmet 14692

This theorem is referenced by:  xmetcl  15217  xmetdmdm  15221  xmetpsmet  15234  xmettpos  15235  xmetres2  15244  xmetres  15247  xmeterval  15300  xmeter  15301  xmetresbl  15305  comet  15364  bdxmet  15366  bdbl  15368  txmetcnp  15383