Theorem xmettri 15473

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettri	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmettri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		simpr3 1036	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
3		simpr1 1034	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
4		simpr2 1035	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
5		xmettri2 15462	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1280	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
7		xmetsym 15469	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
9	8	oveq1d 6100	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
10	6, 9	breqtrd 4156	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   <_ cle 8361   +ecxad 10172   *Metcxmet 14873

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-apti 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-xadd 10175  df-xmet 14881

This theorem is used by:  xmettri3  15475  xmetrtri  15477  xmeter  15537  xmstri  15573