Theorem xmettri 14357

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettri	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmettri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2		simpr3 1007	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
3		simpr1 1005	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
4		simpr2 1006	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
5		xmettri2 14346	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
7		xmetsym 14353	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
9	8	oveq1d 5915	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
10	6, 9	breqtrd 4047	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4021   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   <_ cle 8028   +ecxad 9806   *Metcxmet 13874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-apti 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-map 6680  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-xadd 9809  df-xmet 13882

This theorem is referenced by:  xmettri3  14359  xmetrtri  14361  xmeter  14421  xmstri  14457