ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettri Unicode version

Theorem xmettri 12567
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmettri
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 simpr3 989 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  ->  C  e.  X )
3 simpr1 987 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
4 simpr2 988 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
5 xmettri2 12556 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1218 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
7 xmetsym 12563 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( C D A )  =  ( A D C ) )
81, 2, 3, 7syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( C D A )  =  ( A D C ) )
98oveq1d 5792 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( C D A ) +e
( C D B ) )  =  ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
106, 9breqtrd 3957 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3932   ` cfv 5126  (class class class)co 5777    <_ cle 7820   +ecxad 9580   *Metcxmet 12175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1re 7733  ax-addrcl 7736  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-apti 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-map 6547  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-xadd 9583  df-xmet 12183
This theorem is referenced by:  xmettri3  12569  xmetrtri  12571  xmeter  12631  xmstri  12667
  Copyright terms: Public domain W3C validator