Theorem 0cn 8214

Description: 0 is a complex number. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
0cn	⊢ 0 ∈ ℂ

Proof of Theorem 0cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-i2m1 8180	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
2		ax-icn 8170	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
3		mulcl 8202	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (i · i) ∈ ℂ)
4	2, 2, 3	mp2an 426	. . 3 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
5		ax-1cn 8168	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addcl 8200	. . 3 ⊢ (((i · i) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · i) + 1) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 426	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) ∈ ℂ
8	1, 7	eqeltrri 2305	1 ⊢ 0 ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  0cc0 8075  1c1 8076  ici 8077   + caddc 8078   · cmul 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-ial 1583  ax-ext 2213  ax-1cn 8168  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-mulcl 8173  ax-i2m1 8180

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2224  df-clel 2227

This theorem is referenced by:  0cnd  8215  c0ex  8216  addlid  8360  00id  8362  cnegexlem2  8397  negcl  8421  subid  8440  subid1  8441  neg0  8467  negid  8468  negsub  8469  subneg  8470  negneg  8471  negeq0  8475  negsubdi  8477  renegcl  8482  mul02  8608  mul01  8610  mulneg1  8616  ixi  8805  negap0  8852  muleqadd  8890  divvalap  8896  div0ap  8924  recgt0  9072  0m0e0  9297  2muline0  9411  elznn0  9538  ser0  10841  0exp0e1  10852  expeq0  10878  0exp  10882  sq0  10938  bcval5  11071  shftval3  11450  shftidt2  11455  cjap0  11530  cjne0  11531  abs0  11681  abs2dif  11729  clim0  11908  climz  11915  serclim0  11928  sumrbdclem  12001  fsum3cvg  12002  summodclem3  12004  summodclem2a  12005  fisumss  12016  fsumrelem  12095  ef0  12296  eftlub  12314  sin0  12353  tan0  12355  4sqlem11  13037  cncrng  14648  cnfld0  14650  cnbl0  15328  cnblcld  15329  dvconst  15488  dvconstre  15490  dvconstss  15492  dvcnp2cntop  15493  dvrecap  15507  dveflem  15520  plyun0  15530  plycjlemc  15554  plycj  15555  dvply2g  15560  sinhalfpilem  15585  sin2kpi  15605  cos2kpi  15606  sinkpi  15641  1sgm2ppw  15792  dcapnconst  16777