Theorem 5nn 9419

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9316	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 9418	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 9266	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2307	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  1c1 8144   + caddc 8146  ℕcn 9254  4c4 9307  5c5 9308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316

This theorem is referenced by:  6nn  9420  5nn0  9533  5eluz3  9911  5ndvds3  12645  5ndvds6  12646  prm23ge5  12987  dec5dvds  13135  dec5nprm  13137  dec2nprm  13138  scandx  13448  scaid  13449  scaslid  13450  lmodstrd  13461  ipsstrd  13473  ccondx  13533  ccoid  13534  ccoslid  13535  prdsvalstrd  13563  psrvalstrd  14942  lgsdir2lem1  16027  lgsdir2lem3  16029