Theorem 5nn 9307

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9204	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 9306	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 9154	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  1c1 8032   + caddc 8034  ℕcn 9142  4c4 9195  5c5 9196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204

This theorem is referenced by:  6nn  9308  5nn0  9421  5eluz3  9794  5ndvds3  12494  5ndvds6  12495  prm23ge5  12836  dec5dvds  12984  dec5nprm  12986  dec2nprm  12987  scandx  13233  scaid  13234  scaslid  13235  lmodstrd  13246  ipsstrd  13258  ccondx  13318  ccoid  13319  ccoslid  13320  prdsvalstrd  13353  psrvalstrd  14681  lgsdir2lem1  15756  lgsdir2lem3  15758