Theorem 5nn 9308

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9205	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 9307	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 9155	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  1c1 8033   + caddc 8035  ℕcn 9143  4c4 9196  5c5 9197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205

This theorem is referenced by:  6nn  9309  5nn0  9422  5eluz3  9795  5ndvds3  12500  5ndvds6  12501  prm23ge5  12842  dec5dvds  12990  dec5nprm  12992  dec2nprm  12993  scandx  13239  scaid  13240  scaslid  13241  lmodstrd  13252  ipsstrd  13264  ccondx  13324  ccoid  13325  ccoslid  13326  prdsvalstrd  13359  psrvalstrd  14688  lgsdir2lem1  15763  lgsdir2lem3  15765