Theorem lmodstrd 12624

Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmodstr.g	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
lmodstr.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
lmodstr.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lmodstrd	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)

Proof of Theorem lmodstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecfn.w	. 2 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2		lmodstr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		lmodstr.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
4		lmodstr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
5		1nn 8932	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		basendx 12519	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
7		1lt2 9090	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
8		2nn 9082	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		plusgndx 12570	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
10		2lt5 9098	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
11		5nn 9085	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
12		scandx 12611	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 12569	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩)
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩)
15		lmodstr.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
16		6nn 9086	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
17		vscandx 12617	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	16, 17	strle1g 12567	. . . 4 ⊢ ( · ∈ 𝑍 → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩)
19	15, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩)
20		5lt6 9100	. . . 4 ⊢ 5 < 6
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 5 < 6)
22	14, 19, 21	strleund 12564	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) Struct ⟨1, 6⟩)
23	1, 22	eqbrtrid 4040	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3129  {csn 3594  {ctp 3596  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  1c1 7814   < clt 7994  2c2 8972  5c5 8975  6c6 8976   Struct cstr 12460  ndxcnx 12461  Basecbs 12464  +_gcplusg 12538  Scalarcsca 12541   ·_𝑠 cvsca 12542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-struct 12466  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-sca 12554  df-vsca 12555

This theorem is referenced by:  lmodbased  12625  lmodplusgd  12626  lmodscad  12627  lmodvscad  12628