ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodstrd GIF version

Theorem lmodstrd 12580
Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecfn.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b (𝜑𝐵𝑉)
lmodstr.g (𝜑+𝑋)
lmodstr.s (𝜑𝐹𝑌)
lmodstr.m (𝜑·𝑍)
Assertion
Ref Expression
lmodstrd (𝜑𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)

Proof of Theorem lmodstrd
StepHypRef Expression
1 lvecfn.w . 2 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2 lmodstr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
3 lmodstr.g . . . 4 (𝜑+𝑋)
4 lmodstr.s . . . 4 (𝜑𝐹𝑌)
5 1nn 8906 . . . . 5 1 ∈ ℕ
6 basendx 12486 . . . . 5 (Base‘ndx) = 1
7 1lt2 9064 . . . . 5 1 < 2
8 2nn 9056 . . . . 5 2 ∈ ℕ
9 plusgndx 12536 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
10 2lt5 9072 . . . . 5 2 < 5
11 5nn 9059 . . . . 5 5 ∈ ℕ
12 scandx 12571 . . . . 5 (Scalar‘ndx) = 5
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12strle3g 12535 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑋𝐹𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩)
142, 3, 4, 13syl3anc 1238 . . 3 (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩)
15 lmodstr.m . . . 4 (𝜑·𝑍)
16 6nn 9060 . . . . 5 6 ∈ ℕ
17 vscandx 12577 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
1816, 17strle1g 12533 . . . 4 ( ·𝑍 → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩)
1915, 18syl 14 . . 3 (𝜑 → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩)
20 5lt6 9074 . . . 4 5 < 6
2120a1i 9 . . 3 (𝜑 → 5 < 6)
2214, 19, 21strleund 12531 . 2 (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) Struct ⟨1, 6⟩)
231, 22eqbrtrid 4035 1 (𝜑𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  cun 3127  {csn 3591  {ctp 3593  cop 3594   class class class wbr 4000  cfv 5211  1c1 7790   < clt 7969  2c2 8946  5c5 8949  6c6 8950   Struct cstr 12428  ndxcnx 12429  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  Scalarcsca 12508   ·𝑠 cvsca 12509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-tp 3599  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-5 8957  df-6 8958  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-struct 12434  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-sca 12521  df-vsca 12522
This theorem is referenced by:  lmodbased  12581  lmodplusgd  12582  lmodscad  12583  lmodvscad  12584
  Copyright terms: Public domain W3C validator