Theorem lmodstrd 13398

Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmodstr.g	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
lmodstr.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
lmodstr.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lmodstrd	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)

Proof of Theorem lmodstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecfn.w	. 2 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2		lmodstr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		lmodstr.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
4		lmodstr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
5		1nn 9253	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		basendx 13288	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
7		1lt2 9412	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
8		2nn 9404	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		plusgndx 13343	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
10		2lt5 9420	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
11		5nn 9407	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
12		scandx 13385	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 13342	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩)
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩)
15		lmodstr.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
16		6nn 9408	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
17		vscandx 13391	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	16, 17	strle1g 13340	. . . 4 ⊢ ( · ∈ 𝑍 → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩)
19	15, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩)
20		5lt6 9422	. . . 4 ⊢ 5 < 6
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 5 < 6)
22	14, 19, 21	strleund 13337	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) Struct ⟨1, 6⟩)
23	1, 22	eqbrtrid 4146	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3211  {csn 3691  {ctp 3693  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  1c1 8133   < clt 8313  2c2 9293  5c5 9296  6c6 9297   Struct cstr 13229  ndxcnx 13230  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  Scalarcsca 13314   ·_𝑠 cvsca 13315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349  df-struct 13235  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-sca 13327  df-vsca 13328

This theorem is referenced by:  lmodbased  13399  lmodplusgd  13400  lmodscad  13401  lmodvscad  13402