Theorem lmodstrd 12781

Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmodstr.g	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
lmodstr.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
lmodstr.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lmodstrd	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)

Proof of Theorem lmodstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecfn.w	. 2 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2		lmodstr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		lmodstr.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
4		lmodstr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
5		1nn 8993	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		basendx 12673	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
7		1lt2 9151	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
8		2nn 9143	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		plusgndx 12727	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
10		2lt5 9159	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
11		5nn 9146	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
12		scandx 12768	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 12726	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩)
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩)
15		lmodstr.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
16		6nn 9147	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
17		vscandx 12774	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	16, 17	strle1g 12724	. . . 4 ⊢ ( · ∈ 𝑍 → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩)
19	15, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩)
20		5lt6 9161	. . . 4 ⊢ 5 < 6
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 5 < 6)
22	14, 19, 21	strleund 12721	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) Struct ⟨1, 6⟩)
23	1, 22	eqbrtrid 4064	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3151  {csn 3618  {ctp 3620  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  1c1 7873   < clt 8054  2c2 9033  5c5 9036  6c6 9037   Struct cstr 12614  ndxcnx 12615  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  Scalarcsca 12698   ·_𝑠 cvsca 12699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-sca 12711  df-vsca 12712

This theorem is referenced by:  lmodbased  12782  lmodplusgd  12783  lmodscad  12784  lmodvscad  12785