Theorem lmodstrd 13366

Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmodstr.g	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
lmodstr.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
lmodstr.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lmodstrd	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)

Proof of Theorem lmodstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecfn.w	. 2 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2		lmodstr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		lmodstr.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
4		lmodstr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
5		1nn 9244	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		basendx 13256	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
7		1lt2 9403	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
8		2nn 9395	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		plusgndx 13311	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
10		2lt5 9411	. . . . 5 ⊢ 2 < 5
11		5nn 9398	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
12		scandx 13353	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 13310	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩)
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩)
15		lmodstr.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
16		6nn 9399	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
17		vscandx 13359	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	16, 17	strle1g 13308	. . . 4 ⊢ ( · ∈ 𝑍 → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩)
19	15, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩)
20		5lt6 9413	. . . 4 ⊢ 5 < 6
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 5 < 6)
22	14, 19, 21	strleund 13305	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) Struct ⟨1, 6⟩)
23	1, 22	eqbrtrid 4143	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∪ cun 3208  {csn 3688  {ctp 3690  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  1c1 8124   < clt 8304  2c2 9284  5c5 9287  6c6 9288   Struct cstr 13197  ndxcnx 13198  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  Scalarcsca 13282   ·_𝑠 cvsca 13283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-sca 13295  df-vsca 13296

This theorem is referenced by:  lmodbased  13367  lmodplusgd  13368  lmodscad  13369  lmodvscad  13370