ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 GIF version

Theorem lgsdir2lem3 14098
Description: Lemma for lgsdir2 14101. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 8nn 9075 . . . 4 8 ∈ ℕ
3 zmodfz 10332 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
41, 2, 3sylancl 413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5 8m1e7 9033 . . . 4 (8 − 1) = 7
65oveq2i 5880 . . 3 (0...(8 − 1)) = (0...7)
74, 6eleqtrdi 2270 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8 neg1z 9274 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
9 z0even 11899 . . . . . . . . 9 2 ∥ 0
10 1pneg1e0 9019 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
11 ax-1cn 7895 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
12 neg1cn 9013 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
1311, 12addcomi 8091 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = (-1 + 1)
1410, 13eqtr3i 2200 . . . . . . . . 9 0 = (-1 + 1)
159, 14breqtri 4025 . . . . . . . 8 2 ∥ (-1 + 1)
16 noel 3426 . . . . . . . . . . 11 ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
1716pm2.21i 646 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18 neg1lt0 9016 . . . . . . . . . . 11 -1 < 0
19 0z 9253 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
20 fzn 10028 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
2119, 8, 20mp2an 426 . . . . . . . . . . 11 (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
2218, 21mpbi 145 . . . . . . . . . 10 (0...-1) = ∅
2317, 22eleq2s 2272 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2423a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
258, 15, 243pm3.2i 1175 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26 1e0p1 9414 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
27 ssun1 3298 . . . . . . . 8 {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28 1ex 7943 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
2928prid1 3697 . . . . . . . 8 1 ∈ {1, 7}
3027, 29sselii 3152 . . . . . . 7 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3125, 14, 26, 30lgsdir2lem2 14097 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32 df-2 8967 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
33 df-3 8968 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
34 ssun2 3299 . . . . . . 7 {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35 3ex 8984 . . . . . . . 8 3 ∈ V
3635prid1 3697 . . . . . . 7 3 ∈ {3, 5}
3734, 36sselii 3152 . . . . . 6 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3831, 32, 33, 37lgsdir2lem2 14097 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39 df-4 8969 . . . . 5 4 = (3 + 1)
40 df-5 8970 . . . . 5 5 = (4 + 1)
41 5nn 9072 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
4241elexi 2749 . . . . . . 7 5 ∈ V
4342prid2 3698 . . . . . 6 5 ∈ {3, 5}
4434, 43sselii 3152 . . . . 5 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 14097 . . . 4 (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46 df-6 8971 . . . 4 6 = (5 + 1)
47 df-7 8972 . . . 4 7 = (6 + 1)
48 7nn 9074 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
4948elexi 2749 . . . . . 6 7 ∈ V
5049prid2 3698 . . . . 5 7 ∈ {1, 7}
5127, 50sselii 3152 . . . 4 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 14097 . . 3 (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
5352simp3i 1008 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
547, 53mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  cun 3127  c0 3422  {cpr 3592   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  cmin 8118  -cneg 8119  cn 8908  2c2 8959  3c3 8960  4c4 8961  5c5 8962  6c6 8963  7c7 8964  8c8 8965  cz 9242  ...cfz 9995   mod cmo 10308  cdvds 11778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fl 10256  df-mod 10309  df-dvds 11779
This theorem is referenced by:  lgsdir2  14101
  Copyright terms: Public domain W3C validator