ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 GIF version

Theorem lgsdir2lem3 13982
Description: Lemma for lgsdir2 13985. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 8nn 9057 . . . 4 8 ∈ ℕ
3 zmodfz 10314 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
41, 2, 3sylancl 413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5 8m1e7 9015 . . . 4 (8 − 1) = 7
65oveq2i 5876 . . 3 (0...(8 − 1)) = (0...7)
74, 6eleqtrdi 2268 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8 neg1z 9256 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
9 z0even 11881 . . . . . . . . 9 2 ∥ 0
10 1pneg1e0 9001 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
11 ax-1cn 7879 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
12 neg1cn 8995 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
1311, 12addcomi 8075 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = (-1 + 1)
1410, 13eqtr3i 2198 . . . . . . . . 9 0 = (-1 + 1)
159, 14breqtri 4023 . . . . . . . 8 2 ∥ (-1 + 1)
16 noel 3424 . . . . . . . . . . 11 ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
1716pm2.21i 646 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18 neg1lt0 8998 . . . . . . . . . . 11 -1 < 0
19 0z 9235 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
20 fzn 10010 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
2119, 8, 20mp2an 426 . . . . . . . . . . 11 (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
2218, 21mpbi 145 . . . . . . . . . 10 (0...-1) = ∅
2317, 22eleq2s 2270 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2423a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
258, 15, 243pm3.2i 1175 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26 1e0p1 9396 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
27 ssun1 3296 . . . . . . . 8 {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28 1ex 7927 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
2928prid1 3695 . . . . . . . 8 1 ∈ {1, 7}
3027, 29sselii 3150 . . . . . . 7 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3125, 14, 26, 30lgsdir2lem2 13981 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32 df-2 8949 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
33 df-3 8950 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
34 ssun2 3297 . . . . . . 7 {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35 3ex 8966 . . . . . . . 8 3 ∈ V
3635prid1 3695 . . . . . . 7 3 ∈ {3, 5}
3734, 36sselii 3150 . . . . . 6 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3831, 32, 33, 37lgsdir2lem2 13981 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39 df-4 8951 . . . . 5 4 = (3 + 1)
40 df-5 8952 . . . . 5 5 = (4 + 1)
41 5nn 9054 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
4241elexi 2747 . . . . . . 7 5 ∈ V
4342prid2 3696 . . . . . 6 5 ∈ {3, 5}
4434, 43sselii 3150 . . . . 5 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 13981 . . . 4 (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46 df-6 8953 . . . 4 6 = (5 + 1)
47 df-7 8954 . . . 4 7 = (6 + 1)
48 7nn 9056 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
4948elexi 2747 . . . . . 6 7 ∈ V
5049prid2 3696 . . . . 5 7 ∈ {1, 7}
5127, 50sselii 3150 . . . 4 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 13981 . . 3 (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
5352simp3i 1008 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
547, 53mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146  cun 3125  c0 3420  {cpr 3590   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   < clt 7966  cmin 8102  -cneg 8103  cn 8890  2c2 8941  3c3 8942  4c4 8943  5c5 8944  6c6 8945  7c7 8946  8c8 8947  cz 9224  ...cfz 9977   mod cmo 10290  cdvds 11760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fl 10238  df-mod 10291  df-dvds 11761
This theorem is referenced by:  lgsdir2  13985
  Copyright terms: Public domain W3C validator