Theorem lgsdir2lem3 15730

Description: Lemma for lgsdir2 15733. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		8nn 9294	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		zmodfz 10585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5		8m1e7 9251	. . . 4 ⊢ (8 − 1) = 7
6	5	oveq2i 6021	. . 3 ⊢ (0...(8 − 1)) = (0...7)
7	4, 6	eleqtrdi 2322	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8		neg1z 9494	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		z0even 12443	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 0
10		1pneg1e0 9237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
11		ax-1cn 8108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		neg1cn 9231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
13	11, 12	addcomi 8306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = (-1 + 1)
14	10, 13	eqtr3i 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (-1 + 1)
15	9, 14	breqtri 4108	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (-1 + 1)
16		noel 3495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
17	16	pm2.21i 649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18		neg1lt0 9234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 < 0
19		0z 9473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		fzn 10255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
21	19, 8, 20	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
22	18, 21	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...-1) = ∅
23	17, 22	eleq2s 2324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1199	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26		1e0p1 9635	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
27		ssun1 3367	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28		1ex 8157	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
29	28	prid1 3772	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {1, 7}
30	27, 29	sselii 3221	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 15729	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32		df-2 9185	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
33		df-3 9186	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
34		ssun2 3368	. . . . . . 7 ⊢ {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35		3ex 9202	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
36	35	prid1 3772	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ {3, 5}
37	34, 36	sselii 3221	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 15729	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39		df-4 9187	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40		df-5 9188	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
41		5nn 9291	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	41	elexi 2812	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ V
43	42	prid2 3773	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ {3, 5}
44	34, 43	sselii 3221	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 15729	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46		df-6 9189	. . . 4 ⊢ 6 = (5 + 1)
47		df-7 9190	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
48		7nn 9293	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	48	elexi 2812	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
50	49	prid2 3773	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ {1, 7}
51	27, 50	sselii 3221	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 15729	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53	52	simp3i 1032	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
54	7, 53	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  ∅c0 3491  {cpr 3667   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018   < clt 8197   − cmin 8333  -cneg 8334  ℕcn 9126  2c2 9177  3c3 9178  4c4 9179  5c5 9180  6c6 9181  7c7 9182  8c8 9183  ℤcz 9462  ...cfz 10221   mod cmo 10561   ∥ cdvds 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fl 10507  df-mod 10562  df-dvds 12320

This theorem is referenced by:  lgsdir2  15733  2lgslem3  15801  2lgsoddprmlem3  15811