Theorem lgsdir2lem3 14401

Description: Lemma for lgsdir2 14404. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		8nn 9085	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		zmodfz 10345	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5		8m1e7 9043	. . . 4 ⊢ (8 − 1) = 7
6	5	oveq2i 5885	. . 3 ⊢ (0...(8 − 1)) = (0...7)
7	4, 6	eleqtrdi 2270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8		neg1z 9284	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		z0even 11915	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 0
10		1pneg1e0 9029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
11		ax-1cn 7903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		neg1cn 9023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
13	11, 12	addcomi 8100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = (-1 + 1)
14	10, 13	eqtr3i 2200	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (-1 + 1)
15	9, 14	breqtri 4028	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (-1 + 1)
16		noel 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
17	16	pm2.21i 646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18		neg1lt0 9026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 < 0
19		0z 9263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		fzn 10041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
21	19, 8, 20	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
22	18, 21	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...-1) = ∅
23	17, 22	eleq2s 2272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1175	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26		1e0p1 9424	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
27		ssun1 3298	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28		1ex 7951	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
29	28	prid1 3698	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {1, 7}
30	27, 29	sselii 3152	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 14400	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32		df-2 8977	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
33		df-3 8978	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
34		ssun2 3299	. . . . . . 7 ⊢ {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35		3ex 8994	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
36	35	prid1 3698	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ {3, 5}
37	34, 36	sselii 3152	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 14400	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39		df-4 8979	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40		df-5 8980	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
41		5nn 9082	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	41	elexi 2749	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ V
43	42	prid2 3699	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ {3, 5}
44	34, 43	sselii 3152	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 14400	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46		df-6 8981	. . . 4 ⊢ 6 = (5 + 1)
47		df-7 8982	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
48		7nn 9084	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	48	elexi 2749	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
50	49	prid2 3699	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ {1, 7}
51	27, 50	sselii 3152	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 14400	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53	52	simp3i 1008	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
54	7, 53	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3127  ∅c0 3422  {cpr 3593   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7991   − cmin 8127  -cneg 8128  ℕcn 8918  2c2 8969  3c3 8970  4c4 8971  5c5 8972  6c6 8973  7c7 8974  8c8 8975  ℤcz 9252  ...cfz 10007   mod cmo 10321   ∥ cdvds 11793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fl 10269  df-mod 10322  df-dvds 11794

This theorem is referenced by:  lgsdir2  14404  2lgsoddprmlem3  14429