Theorem lgsdir2lem3 16366

Description: Lemma for lgsdir2 16369. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		8nn 9484	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		zmodfz 10805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
4	1, 2, 3	sylancl 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5		8m1e7 9439	. . . 4 ⊢ (8 − 1) = 7
6	5	oveq2i 6099	. . 3 ⊢ (0...(8 − 1)) = (0...7)
7	4, 6	eleqtrdi 2331	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8		neg1z 9688	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		z0even 12704	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 0
10		1pneg1e0 9425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
11		ax-1cn 8279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		neg1cn 9419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
13	11, 12	addcomi 8478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = ( -1 + 1)
14	10, 13	eqtr3i 2261	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = ( -1 + 1)
15	9, 14	breqtri 4156	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ ( -1 + 1)
16		noel 3525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
17	16	pm2.21i 655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18		neg1lt0 9422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 < 0
19		0z 9667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		fzn 10464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → ( -1 < 0 ↔ (0... -1) = ∅))
21	19, 8, 20	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -1 < 0 ↔ (0... -1) = ∅)
22	18, 21	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0... -1) = ∅
23	17, 22	eleq2s 2333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0... -1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0... -1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1206	. . . . . . 7 ⊢ ( -1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ( -1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0... -1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26		1e0p1 9835	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
27		ssun1 3392	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28		1ex 8328	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
29	28	prid1 3817	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {1, 7}
30	27, 29	sselii 3245	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 16365	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32		df-2 9373	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
33		df-3 9374	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
34		ssun2 3393	. . . . . . 7 ⊢ {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35		3ex 9390	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
36	35	prid1 3817	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ {3, 5}
37	34, 36	sselii 3245	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 16365	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39		df-4 9375	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40		df-5 9376	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
41		5nn 9481	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	41	elexi 2834	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ V
43	42	prid2 3818	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ {3, 5}
44	34, 43	sselii 3245	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 16365	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46		df-6 9377	. . . 4 ⊢ 6 = (5 + 1)
47		df-7 9378	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
48		7nn 9483	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	48	elexi 2834	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
50	49	prid2 3818	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ {1, 7}
51	27, 50	sselii 3245	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 16365	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53	52	simp3i 1039	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
54	7, 53	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  ∅c0 3520  {cpr 3710   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   < clt 8367   − cmin 8505   -cneg 8506  ℕcn 9314  2c2 9365  3c3 9366  4c4 9367  5c5 9368  6c6 9369  7c7 9370  8c8 9371  ℤcz 9656  ...cfz 10429   mod cmo 10781   ∥ cdvds 12580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fl 10723  df-mod 10782  df-dvds 12581

This theorem is used by:  lgsdir2  16369  2lgslem3  16437  2lgsoddprmlem3  16447