Theorem lgsdir2lem3 13725

Description: Lemma for lgsdir2 13728. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		8nn 9045	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		zmodfz 10302	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
4	1, 2, 3	sylancl 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5		8m1e7 9003	. . . 4 ⊢ (8 − 1) = 7
6	5	oveq2i 5864	. . 3 ⊢ (0...(8 − 1)) = (0...7)
7	4, 6	eleqtrdi 2263	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8		neg1z 9244	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		z0even 11870	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 0
10		1pneg1e0 8989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
11		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		neg1cn 8983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
13	11, 12	addcomi 8063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = (-1 + 1)
14	10, 13	eqtr3i 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (-1 + 1)
15	9, 14	breqtri 4014	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (-1 + 1)
16		noel 3418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
17	16	pm2.21i 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18		neg1lt0 8986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 < 0
19		0z 9223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		fzn 9998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
21	19, 8, 20	mp2an 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
22	18, 21	mpbi 144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...-1) = ∅
23	17, 22	eleq2s 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1170	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26		1e0p1 9384	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
27		ssun1 3290	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28		1ex 7915	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
29	28	prid1 3689	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {1, 7}
30	27, 29	sselii 3144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 13724	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32		df-2 8937	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
33		df-3 8938	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
34		ssun2 3291	. . . . . . 7 ⊢ {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35		3ex 8954	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
36	35	prid1 3689	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ {3, 5}
37	34, 36	sselii 3144	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 13724	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39		df-4 8939	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40		df-5 8940	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
41		5nn 9042	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	41	elexi 2742	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ V
43	42	prid2 3690	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ {3, 5}
44	34, 43	sselii 3144	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 13724	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46		df-6 8941	. . . 4 ⊢ 6 = (5 + 1)
47		df-7 8942	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
48		7nn 9044	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	48	elexi 2742	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
50	49	prid2 3690	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ {1, 7}
51	27, 50	sselii 3144	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 13724	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53	52	simp3i 1003	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
54	7, 53	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  ∅c0 3414  {cpr 3584   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   − cmin 8090  -cneg 8091  ℕcn 8878  2c2 8929  3c3 8930  4c4 8931  5c5 8932  6c6 8933  7c7 8934  8c8 8935  ℤcz 9212  ...cfz 9965   mod cmo 10278   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fl 10226  df-mod 10279  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  lgsdir2  13728