Theorem lgsdir2lem3 14892

Description: Lemma for lgsdir2 14895. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		8nn 9116	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		zmodfz 10377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5		8m1e7 9074	. . . 4 ⊢ (8 − 1) = 7
6	5	oveq2i 5907	. . 3 ⊢ (0...(8 − 1)) = (0...7)
7	4, 6	eleqtrdi 2282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8		neg1z 9315	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		z0even 11948	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 0
10		1pneg1e0 9060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
11		ax-1cn 7934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		neg1cn 9054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
13	11, 12	addcomi 8131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = (-1 + 1)
14	10, 13	eqtr3i 2212	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (-1 + 1)
15	9, 14	breqtri 4043	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (-1 + 1)
16		noel 3441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
17	16	pm2.21i 647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18		neg1lt0 9057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 < 0
19		0z 9294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		fzn 10072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
21	19, 8, 20	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
22	18, 21	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...-1) = ∅
23	17, 22	eleq2s 2284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1177	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26		1e0p1 9455	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
27		ssun1 3313	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28		1ex 7982	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
29	28	prid1 3713	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {1, 7}
30	27, 29	sselii 3167	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 14891	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32		df-2 9008	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
33		df-3 9009	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
34		ssun2 3314	. . . . . . 7 ⊢ {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35		3ex 9025	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
36	35	prid1 3713	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ {3, 5}
37	34, 36	sselii 3167	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 14891	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39		df-4 9010	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40		df-5 9011	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
41		5nn 9113	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	41	elexi 2764	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ V
43	42	prid2 3714	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ {3, 5}
44	34, 43	sselii 3167	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 14891	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46		df-6 9012	. . . 4 ⊢ 6 = (5 + 1)
47		df-7 9013	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
48		7nn 9115	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	48	elexi 2764	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
50	49	prid2 3714	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ {1, 7}
51	27, 50	sselii 3167	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 14891	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53	52	simp3i 1010	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
54	7, 53	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ∪ cun 3142  ∅c0 3437  {cpr 3608   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   < clt 8022   − cmin 8158  -cneg 8159  ℕcn 8949  2c2 9000  3c3 9001  4c4 9002  5c5 9003  6c6 9004  7c7 9005  8c8 9006  ℤcz 9283  ...cfz 10038   mod cmo 10353   ∥ cdvds 11826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fl 10301  df-mod 10354  df-dvds 11827

This theorem is referenced by:  lgsdir2  14895  2lgsoddprmlem3  14920