Theorem lgsdir2lem1 14096

Description: Lemma for lgsdir2 14101. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8919	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9622	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9075	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9622	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8428	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9104	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10335	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 8994	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mulid2i 7951	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 5880	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 7895	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8215	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8225	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9033	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2198	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8092	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2198	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 5879	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9625	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9268	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9011	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10345	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9074	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9622	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 7948	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 8991	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9010	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8050	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9098	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10335	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2206	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9070	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9622	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 8982	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9002	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8050	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9102	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10335	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 5880	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 8983	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8215	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8225	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 8988	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8092	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8236	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2198	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8092	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2198	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 5879	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9625	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10345	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9072	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9622	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 8987	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9008	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8050	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9100	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10335	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2206	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982   ≤ cle 7983   − cmin 8118  -cneg 8119  ℕcn 8908  3c3 8960  5c5 8962  7c7 8964  8c8 8965  ℤcz 9242  ℚcq 9608   mod cmo 10308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-n0 9166  df-z 9243  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-mod 10309

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  14099  lgsdir2lem5  14100