Theorem lgsdir2lem1 16159

Description: Lemma for lgsdir2 16164. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9316	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 10035	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9474	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 10035	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8809	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9503	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10788	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 431	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 9391	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mullidi 8329	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 6096	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 8272	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8594	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8604	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9430	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2259	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8471	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 6095	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 10038	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9672	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9408	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10798	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 431	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9473	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 10035	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 8326	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 9388	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9407	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8428	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9497	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10788	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 431	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2267	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9469	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 10035	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 9379	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9399	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8428	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9501	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10788	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 431	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 6096	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 9380	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8594	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8604	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 9385	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8471	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8615	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2259	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8471	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 6095	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 10038	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10798	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 431	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9471	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 10035	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 9384	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9405	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8428	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9499	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10788	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 431	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2267	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8497  -cneg 8498  ℕcn 9305  3c3 9357  5c5 9359  7c7 9361  8c8 9362  ℤcz 9646  ℚcq 10021   mod cmo 10761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-n0 9566  df-z 9647  df-q 10022  df-rp 10057  df-fl 10707  df-mod 10762

This theorem is used by:  lgsdir2lem4  16162  lgsdir2lem5  16163