Theorem lgsdir2lem1 15728

Description: Lemma for lgsdir2 15733. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9137	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9845	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9294	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9845	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8644	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9323	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10588	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 9212	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mullidi 8165	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 6021	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 8108	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8430	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8440	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9251	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2250	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8307	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2250	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 6020	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9848	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9488	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9229	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10598	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9293	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9845	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 8162	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 9209	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9228	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8265	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9317	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10588	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2258	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9289	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9845	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 9200	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9220	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8265	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9321	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10588	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 6021	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 9201	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8430	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8440	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 9206	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8307	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8451	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2250	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8307	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2250	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 6020	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9848	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10598	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9291	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9845	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 9205	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9226	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8265	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9319	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10588	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2258	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020   < clt 8197   ≤ cle 8198   − cmin 8333  -cneg 8334  ℕcn 9126  3c3 9178  5c5 9180  7c7 9182  8c8 9183  ℤcz 9462  ℚcq 9831   mod cmo 10561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-n0 9386  df-z 9463  df-q 9832  df-rp 9867  df-fl 10507  df-mod 10562

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  15731  lgsdir2lem5  15732