Theorem lgsdir2lem1 15672

Description: Lemma for lgsdir2 15677. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9089	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9796	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9246	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9796	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8596	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9275	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10538	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 9164	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mullidi 8117	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 5985	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 8060	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8382	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8392	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9203	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2230	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8259	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2230	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 5984	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9799	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9440	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9181	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10548	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9245	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9796	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 8114	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 9161	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9180	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8217	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9269	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10538	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2238	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9241	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9796	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 9152	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9172	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8217	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9273	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10538	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 5985	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 9153	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8382	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8392	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 9158	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8259	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8403	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2230	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8259	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2230	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 5984	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9799	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10548	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9243	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9796	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 9157	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9178	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8217	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9271	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10538	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2238	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970   · cmul 7972   < clt 8149   ≤ cle 8150   − cmin 8285  -cneg 8286  ℕcn 9078  3c3 9130  5c5 9132  7c7 9134  8c8 9135  ℤcz 9414  ℚcq 9782   mod cmo 10511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-n0 9338  df-z 9415  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457  df-mod 10512

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  15675  lgsdir2lem5  15676