Theorem lgsdir2lem1 15827

Description: Lemma for lgsdir2 15832. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9197	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9910	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9354	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9910	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8704	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9383	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10655	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 9272	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mullidi 8225	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 6039	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 8168	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8490	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8500	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9311	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2252	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8367	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2252	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 6038	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9913	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9289	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10665	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9353	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9910	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 8222	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 9269	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9288	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8325	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9377	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10655	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2260	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9349	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9910	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 9260	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9280	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8325	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9381	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10655	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 6039	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 9261	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8490	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8500	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 9266	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8367	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8511	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2252	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8367	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2252	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 6038	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9913	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10665	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9351	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9910	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 9265	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9286	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8325	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9379	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10655	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2260	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080   < clt 8257   ≤ cle 8258   − cmin 8393  -cneg 8394  ℕcn 9186  3c3 9238  5c5 9240  7c7 9242  8c8 9243  ℤcz 9522  ℚcq 9896   mod cmo 10628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-n0 9446  df-z 9523  df-q 9897  df-rp 9932  df-fl 10574  df-mod 10629

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  15830  lgsdir2lem5  15831