Theorem lgsdir2lem1 13980

Description: Lemma for lgsdir2 13985. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8901	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9604	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9057	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9604	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8412	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9086	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10317	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 8976	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mulid2i 7935	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 5876	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 7879	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8199	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8209	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9015	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2196	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8076	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2196	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 5875	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9607	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9250	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 8993	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10327	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9056	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9604	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 7932	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 8973	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 8992	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8034	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9080	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10317	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2204	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9052	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9604	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 8964	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 8984	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8034	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9084	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10317	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 5876	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 8965	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8199	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8209	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 8970	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8076	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8220	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2196	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8076	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2196	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 5875	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9607	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10327	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9054	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9604	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 8969	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 8990	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8034	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9082	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10317	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2204	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791   < clt 7966   ≤ cle 7967   − cmin 8102  -cneg 8103  ℕcn 8890  3c3 8942  5c5 8944  7c7 8946  8c8 8947  ℤcz 9224  ℚcq 9590   mod cmo 10290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-n0 9148  df-z 9225  df-q 9591  df-rp 9623  df-fl 10238  df-mod 10291

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  13983  lgsdir2lem5  13984