ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 GIF version

Theorem lgsdir2lem1 13980
Description: Lemma for lgsdir2 13985. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1nn 8901 . . . . 5 1 ∈ ℕ
2 nnq 9604 . . . . 5 (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 1 ∈ ℚ
4 8nn 9057 . . . . 5 8 ∈ ℕ
5 nnq 9604 . . . . 5 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 8 ∈ ℚ
7 0le1 8412 . . . 4 0 ≤ 1
8 1lt8 9086 . . . 4 1 < 8
9 modqid 10317 . . . 4 (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
103, 6, 7, 8, 9mp4an 427 . . 3 (1 mod 8) = 1
11 8cn 8976 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
1211mulid2i 7935 . . . . . . 7 (1 · 8) = 8
1312oveq2i 5876 . . . . . 6 (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14 ax-1cn 7879 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1514negcli 8199 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
1611, 14negsubi 8209 . . . . . . . 8 (8 + -1) = (8 − 1)
17 8m1e7 9015 . . . . . . . 8 (8 − 1) = 7
1816, 17eqtri 2196 . . . . . . 7 (8 + -1) = 7
1911, 15, 18addcomli 8076 . . . . . 6 (-1 + 8) = 7
2013, 19eqtri 2196 . . . . 5 (-1 + (1 · 8)) = 7
2120oveq1i 5875 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22 qnegcl 9607 . . . . . 6 (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
233, 22ax-mp 5 . . . . 5 -1 ∈ ℚ
24 1z 9250 . . . . 5 1 ∈ ℤ
25 8pos 8993 . . . . 5 0 < 8
26 modqcyc 10327 . . . . 5 (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
2723, 24, 6, 25, 26mp4an 427 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28 7nn 9056 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
29 nnq 9604 . . . . . 6 (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . 5 7 ∈ ℚ
31 0re 7932 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
32 7re 8973 . . . . . 6 7 ∈ ℝ
33 7pos 8992 . . . . . 6 0 < 7
3431, 32, 33ltleii 8034 . . . . 5 0 ≤ 7
35 7lt8 9080 . . . . 5 7 < 8
36 modqid 10317 . . . . 5 (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
3730, 6, 34, 35, 36mp4an 427 . . . 4 (7 mod 8) = 7
3821, 27, 373eqtr3i 2204 . . 3 (-1 mod 8) = 7
3910, 38pm3.2i 272 . 2 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40 3nn 9052 . . . . 5 3 ∈ ℕ
41 nnq 9604 . . . . 5 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
4240, 41ax-mp 5 . . . 4 3 ∈ ℚ
43 3re 8964 . . . . 5 3 ∈ ℝ
44 3pos 8984 . . . . 5 0 < 3
4531, 43, 44ltleii 8034 . . . 4 0 ≤ 3
46 3lt8 9084 . . . 4 3 < 8
47 modqid 10317 . . . 4 (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
4842, 6, 45, 46, 47mp4an 427 . . 3 (3 mod 8) = 3
4912oveq2i 5876 . . . . . 6 (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50 3cn 8965 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
5150negcli 8199 . . . . . . 7 -3 ∈ ℂ
5211, 50negsubi 8209 . . . . . . . 8 (8 + -3) = (8 − 3)
53 5cn 8970 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
54 5p3e8 9037 . . . . . . . . . 10 (5 + 3) = 8
5553, 50, 54addcomli 8076 . . . . . . . . 9 (3 + 5) = 8
5611, 50, 53, 55subaddrii 8220 . . . . . . . 8 (8 − 3) = 5
5752, 56eqtri 2196 . . . . . . 7 (8 + -3) = 5
5811, 51, 57addcomli 8076 . . . . . 6 (-3 + 8) = 5
5949, 58eqtri 2196 . . . . 5 (-3 + (1 · 8)) = 5
6059oveq1i 5875 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61 qnegcl 9607 . . . . . 6 (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
6242, 61ax-mp 5 . . . . 5 -3 ∈ ℚ
63 modqcyc 10327 . . . . 5 (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
6462, 24, 6, 25, 63mp4an 427 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65 5nn 9054 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
66 nnq 9604 . . . . . 6 (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
6765, 66ax-mp 5 . . . . 5 5 ∈ ℚ
68 5re 8969 . . . . . 6 5 ∈ ℝ
69 5pos 8990 . . . . . 6 0 < 5
7031, 68, 69ltleii 8034 . . . . 5 0 ≤ 5
71 5lt8 9082 . . . . 5 5 < 8
72 modqid 10317 . . . . 5 (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
7367, 6, 70, 71, 72mp4an 427 . . . 4 (5 mod 8) = 5
7460, 64, 733eqtr3i 2204 . . 3 (-3 mod 8) = 5
7548, 74pm3.2i 272 . 2 ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
7639, 75pm3.2i 272 1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104   = wceq 1353  wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791   < clt 7966  cle 7967  cmin 8102  -cneg 8103  cn 8890  3c3 8942  5c5 8944  7c7 8946  8c8 8947  cz 9224  cq 9590   mod cmo 10290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-n0 9148  df-z 9225  df-q 9591  df-rp 9623  df-fl 10238  df-mod 10291
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  13983  lgsdir2lem5  13984
  Copyright terms: Public domain W3C validator