Theorem lgsdir2lem1 13723

Description: Lemma for lgsdir2 13728. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8889	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9592	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9045	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9592	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8400	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9074	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10305	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 425	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 8964	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mulid2i 7923	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 5864	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 7867	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8187	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8197	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9003	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2191	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8064	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2191	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 5863	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9595	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9238	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 8981	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10315	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 425	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9044	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9592	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 7920	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 8961	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 8980	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8022	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9068	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10305	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 425	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2199	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 270	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9040	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9592	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 8952	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 8972	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8022	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9072	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10305	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 425	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 5864	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 8953	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8187	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8197	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 8958	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8064	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8208	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2191	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8064	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2191	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 5863	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9595	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10315	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 425	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9042	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9592	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 8957	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 8978	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8022	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9070	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10305	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 425	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2199	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 270	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 270	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   ≤ cle 7955   − cmin 8090  -cneg 8091  ℕcn 8878  3c3 8930  5c5 8932  7c7 8934  8c8 8935  ℤcz 9212  ℚcq 9578   mod cmo 10278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  13726  lgsdir2lem5  13727