ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 GIF version

Theorem lgsdir2lem1 14432
Description: Lemma for lgsdir2 14437. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1nn 8930 . . . . 5 1 ∈ ℕ
2 nnq 9633 . . . . 5 (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 1 ∈ ℚ
4 8nn 9086 . . . . 5 8 ∈ ℕ
5 nnq 9633 . . . . 5 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 8 ∈ ℚ
7 0le1 8438 . . . 4 0 ≤ 1
8 1lt8 9115 . . . 4 1 < 8
9 modqid 10349 . . . 4 (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
103, 6, 7, 8, 9mp4an 427 . . 3 (1 mod 8) = 1
11 8cn 9005 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
1211mullidi 7960 . . . . . . 7 (1 · 8) = 8
1312oveq2i 5886 . . . . . 6 (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14 ax-1cn 7904 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1514negcli 8225 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
1611, 14negsubi 8235 . . . . . . . 8 (8 + -1) = (8 − 1)
17 8m1e7 9044 . . . . . . . 8 (8 − 1) = 7
1816, 17eqtri 2198 . . . . . . 7 (8 + -1) = 7
1911, 15, 18addcomli 8102 . . . . . 6 (-1 + 8) = 7
2013, 19eqtri 2198 . . . . 5 (-1 + (1 · 8)) = 7
2120oveq1i 5885 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22 qnegcl 9636 . . . . . 6 (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
233, 22ax-mp 5 . . . . 5 -1 ∈ ℚ
24 1z 9279 . . . . 5 1 ∈ ℤ
25 8pos 9022 . . . . 5 0 < 8
26 modqcyc 10359 . . . . 5 (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
2723, 24, 6, 25, 26mp4an 427 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28 7nn 9085 . . . . . 6 7 ∈ ℕ
29 nnq 9633 . . . . . 6 (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . 5 7 ∈ ℚ
31 0re 7957 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
32 7re 9002 . . . . . 6 7 ∈ ℝ
33 7pos 9021 . . . . . 6 0 < 7
3431, 32, 33ltleii 8060 . . . . 5 0 ≤ 7
35 7lt8 9109 . . . . 5 7 < 8
36 modqid 10349 . . . . 5 (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
3730, 6, 34, 35, 36mp4an 427 . . . 4 (7 mod 8) = 7
3821, 27, 373eqtr3i 2206 . . 3 (-1 mod 8) = 7
3910, 38pm3.2i 272 . 2 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40 3nn 9081 . . . . 5 3 ∈ ℕ
41 nnq 9633 . . . . 5 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
4240, 41ax-mp 5 . . . 4 3 ∈ ℚ
43 3re 8993 . . . . 5 3 ∈ ℝ
44 3pos 9013 . . . . 5 0 < 3
4531, 43, 44ltleii 8060 . . . 4 0 ≤ 3
46 3lt8 9113 . . . 4 3 < 8
47 modqid 10349 . . . 4 (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
4842, 6, 45, 46, 47mp4an 427 . . 3 (3 mod 8) = 3
4912oveq2i 5886 . . . . . 6 (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50 3cn 8994 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
5150negcli 8225 . . . . . . 7 -3 ∈ ℂ
5211, 50negsubi 8235 . . . . . . . 8 (8 + -3) = (8 − 3)
53 5cn 8999 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
54 5p3e8 9066 . . . . . . . . . 10 (5 + 3) = 8
5553, 50, 54addcomli 8102 . . . . . . . . 9 (3 + 5) = 8
5611, 50, 53, 55subaddrii 8246 . . . . . . . 8 (8 − 3) = 5
5752, 56eqtri 2198 . . . . . . 7 (8 + -3) = 5
5811, 51, 57addcomli 8102 . . . . . 6 (-3 + 8) = 5
5949, 58eqtri 2198 . . . . 5 (-3 + (1 · 8)) = 5
6059oveq1i 5885 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61 qnegcl 9636 . . . . . 6 (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
6242, 61ax-mp 5 . . . . 5 -3 ∈ ℚ
63 modqcyc 10359 . . . . 5 (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
6462, 24, 6, 25, 63mp4an 427 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65 5nn 9083 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
66 nnq 9633 . . . . . 6 (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
6765, 66ax-mp 5 . . . . 5 5 ∈ ℚ
68 5re 8998 . . . . . 6 5 ∈ ℝ
69 5pos 9019 . . . . . 6 0 < 5
7031, 68, 69ltleii 8060 . . . . 5 0 ≤ 5
71 5lt8 9111 . . . . 5 5 < 8
72 modqid 10349 . . . . 5 (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
7367, 6, 70, 71, 72mp4an 427 . . . 4 (5 mod 8) = 5
7460, 64, 733eqtr3i 2206 . . 3 (-3 mod 8) = 5
7548, 74pm3.2i 272 . 2 ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
7639, 75pm3.2i 272 1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   · cmul 7816   < clt 7992  cle 7993  cmin 8128  -cneg 8129  cn 8919  3c3 8971  5c5 8973  7c7 8975  8c8 8976  cz 9253  cq 9619   mod cmo 10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-n0 9177  df-z 9254  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270  df-mod 10323
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  14435  lgsdir2lem5  14436
  Copyright terms: Public domain W3C validator