Theorem lgsdir2lem1 14907

Description: Lemma for lgsdir2 14912. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8961	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9665	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9117	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9665	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8469	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9146	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10382	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 9036	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mullidi 7991	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 5908	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 7935	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8256	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8266	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9075	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2210	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8133	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2210	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 5907	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9668	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9310	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9053	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10392	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9116	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9665	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 7988	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 9033	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9052	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8091	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9140	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10382	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2218	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9112	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9665	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 9024	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9044	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8091	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9144	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10382	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 5908	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 9025	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8256	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8266	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 9030	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8133	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8277	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2210	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8133	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2210	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 5907	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9668	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10392	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9114	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9665	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 9029	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9050	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8091	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9142	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10382	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2218	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  0cc0 7842  1c1 7843   + caddc 7845   · cmul 7847   < clt 8023   ≤ cle 8024   − cmin 8159  -cneg 8160  ℕcn 8950  3c3 9002  5c5 9004  7c7 9006  8c8 9007  ℤcz 9284  ℚcq 9651   mod cmo 10355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-n0 9208  df-z 9285  df-q 9652  df-rp 9686  df-fl 10303  df-mod 10356

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  14910  lgsdir2lem5  14911