Theorem lgsdir2lem1 15144

Description: Lemma for lgsdir2 15149. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8993	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9698	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9149	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9698	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8500	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9178	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10420	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 9068	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mullidi 8022	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 5929	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 7965	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8287	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8297	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9107	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2214	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8164	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 5928	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9701	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9343	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9085	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10430	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9148	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9698	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 8019	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 9065	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9084	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8122	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9172	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10420	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2222	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9144	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9698	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 9056	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9076	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8122	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9176	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10420	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 5929	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 9057	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8287	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8297	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 9062	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8164	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8308	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2214	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8164	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 5928	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9701	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10430	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9146	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9698	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 9061	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9082	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8122	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9174	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10420	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2222	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190  -cneg 8191  ℕcn 8982  3c3 9034  5c5 9036  7c7 9038  8c8 9039  ℤcz 9317  ℚcq 9684   mod cmo 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-mod 10394

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  15147  lgsdir2lem5  15148