Theorem lgsdir2lem1 15269

Description: Lemma for lgsdir2 15274. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9001	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9707	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9158	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9707	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8508	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9187	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10441	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 9076	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mullidi 8029	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 5933	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 7972	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8294	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8304	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9115	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2217	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8171	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2217	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 5932	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9710	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9352	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9093	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10451	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9157	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9707	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 8026	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 9073	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9092	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8129	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9181	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10441	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2225	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9153	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9707	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 9064	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9084	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8129	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9185	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10441	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 5933	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 9065	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8294	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8304	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 9070	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8171	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8315	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2217	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8171	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2217	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 5932	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9710	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10451	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9155	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9707	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 9069	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9090	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8129	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9183	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10441	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2225	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197  -cneg 8198  ℕcn 8990  3c3 9042  5c5 9044  7c7 9046  8c8 9047  ℤcz 9326  ℚcq 9693   mod cmo 10414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-mod 10415

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  15272  lgsdir2lem5  15273