Theorem lgsdir2lem1 13529

Description: Lemma for lgsdir2 13534. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8864	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9567	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9020	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9567	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8375	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9049	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10280	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 424	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 8939	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mulid2i 7898	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 5852	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 7842	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8162	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8172	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 8978	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2186	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8039	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2186	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 5851	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9570	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9213	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 8956	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10290	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 424	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9019	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9567	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 7895	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 8936	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 8955	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 7997	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9043	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10280	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 424	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2194	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 270	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9015	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9567	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 8927	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 8947	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 7997	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9047	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10280	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 424	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 5852	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 8928	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8162	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8172	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 8933	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8039	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8183	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2186	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8039	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2186	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 5851	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9570	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10290	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 424	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9017	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9567	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 8932	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 8953	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 7997	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9045	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10280	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 424	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2194	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 270	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 270	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841  0cc0 7749  1c1 7750   + caddc 7752   · cmul 7754   < clt 7929   ≤ cle 7930   − cmin 8065  -cneg 8066  ℕcn 8853  3c3 8905  5c5 8907  7c7 8909  8c8 8910  ℤcz 9187  ℚcq 9553   mod cmo 10253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-6 8916  df-7 8917  df-8 8918  df-n0 9111  df-z 9188  df-q 9554  df-rp 9586  df-fl 10201  df-mod 10254

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  13532  lgsdir2lem5  13533