Theorem lgsdir2lem1 16030

Description: Lemma for lgsdir2 16035. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9268	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9986	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9425	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9986	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8773	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9454	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10738	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 9343	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mullidi 8293	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 6069	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 8236	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8558	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8568	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9382	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2255	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8435	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2255	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 6068	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9989	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9623	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9360	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10748	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9424	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9986	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 8290	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 9340	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9359	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8392	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9448	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10738	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2263	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9420	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9986	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 9331	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9351	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8392	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9452	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10738	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 6069	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 9332	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8558	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8568	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 9337	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8435	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8579	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2255	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8435	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2255	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 6068	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9989	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10748	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9422	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9986	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 9336	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9357	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8392	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9450	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10738	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2263	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8461  -cneg 8462  ℕcn 9257  3c3 9309  5c5 9311  7c7 9313  8c8 9314  ℤcz 9597  ℚcq 9972   mod cmo 10711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-n0 9517  df-z 9598  df-q 9973  df-rp 10008  df-fl 10657  df-mod 10712

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  16033  lgsdir2lem5  16034