Theorem lgsdir2lem1 15888

Description: Lemma for lgsdir2 15893. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9244	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9961	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9401	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9961	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8751	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9430	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10707	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 9319	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mullidi 8273	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 6060	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 8216	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8537	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8547	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9358	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2253	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8414	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2253	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 6059	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9964	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9599	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9336	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10717	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9400	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9961	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 8270	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 9316	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9335	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8372	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9424	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10707	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2261	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9396	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9961	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 9307	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9327	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8372	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9428	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10707	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 6060	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 9308	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8537	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8547	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 9313	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8414	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8558	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2253	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8414	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2253	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 6059	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9964	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10717	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9398	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9961	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 9312	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9333	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8372	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9426	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10707	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2261	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  0cc0 8123  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128   < clt 8304   ≤ cle 8305   − cmin 8440  -cneg 8441  ℕcn 9233  3c3 9285  5c5 9287  7c7 9289  8c8 9290  ℤcz 9573  ℚcq 9947   mod cmo 10680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-n0 9493  df-z 9574  df-q 9948  df-rp 9983  df-fl 10626  df-mod 10681

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  15891  lgsdir2lem5  15892