Theorem lgsdir2lem1 14468

Description: Lemma for lgsdir2 14473. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8932	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnq 9635	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		8nn 9088	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
5		nnq 9635	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℚ
7		0le1 8440	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8		1lt8 9117	. . . 4 ⊢ 1 < 8
9		modqid 10351	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
10	3, 6, 7, 8, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
11		8cn 9007	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	mullidi 7962	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
13	12	oveq2i 5888	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
14		ax-1cn 7906	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 8227	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
16	11, 14	negsubi 8237	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
17		8m1e7 9046	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
18	16, 17	eqtri 2198	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
19	11, 15, 18	addcomli 8104	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
20	13, 19	eqtri 2198	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
21	20	oveq1i 5887	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
22		qnegcl 9638	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
23	3, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℚ
24		1z 9281	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		8pos 9024	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
26		modqcyc 10361	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	23, 24, 6, 25, 26	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7nn 9087	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
29		nnq 9635	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℚ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℚ
31		0re 7959	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		7re 9004	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
33		7pos 9023	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
34	31, 32, 33	ltleii 8062	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
35		7lt8 9111	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
36		modqid 10351	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
37	30, 6, 34, 35, 36	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
38	21, 27, 37	3eqtr3i 2206	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
39	10, 38	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
40		3nn 9083	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
41		nnq 9635	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℚ
43		3re 8995	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		3pos 9015	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
45	31, 43, 44	ltleii 8062	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
46		3lt8 9115	. . . 4 ⊢ 3 < 8
47		modqid 10351	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
48	42, 6, 45, 46, 47	mp4an 427	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
49	12	oveq2i 5888	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
50		3cn 8996	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	50	negcli 8227	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
52	11, 50	negsubi 8237	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
53		5cn 9001	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
54		5p3e8 9068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
55	53, 50, 54	addcomli 8104	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
56	11, 50, 53, 55	subaddrii 8248	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
57	52, 56	eqtri 2198	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
58	11, 51, 57	addcomli 8104	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
59	49, 58	eqtri 2198	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
60	59	oveq1i 5887	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
61		qnegcl 9638	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℚ → -3 ∈ ℚ)
62	42, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℚ
63		modqcyc 10361	. . . . 5 ⊢ (((-3 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8)) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
64	62, 24, 6, 25, 63	mp4an 427	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
65		5nn 9085	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
66		nnq 9635	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℚ
68		5re 9000	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
69		5pos 9021	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
70	31, 68, 69	ltleii 8062	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
71		5lt8 9113	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
72		modqid 10351	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
73	67, 6, 70, 71, 72	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
74	60, 64, 73	3eqtr3i 2206	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
75	48, 74	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
76	39, 75	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   < clt 7994   ≤ cle 7995   − cmin 8130  -cneg 8131  ℕcn 8921  3c3 8973  5c5 8975  7c7 8977  8c8 8978  ℤcz 9255  ℚcq 9621   mod cmo 10324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  14471  lgsdir2lem5  14472