Theorem ipsstrd 13230

Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipsstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
ipsstrd.r	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
ipsstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
ipsstrd.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
ipsstrd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ipsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Proof of Theorem ipsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
2		ipsstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		ipsstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		ipsstrd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
5		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
6	5	rngstrg 13189	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ × ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8		ipsstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		ipsstrd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
10		ipsstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
11		5nn 9291	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
12		scandx 13205	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
13		5lt6 9306	. . . . 5 ⊢ 5 < 6
14		6nn 9292	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
15		vscandx 13211	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
16		6lt8 9318	. . . . 5 ⊢ 6 < 8
17		8nn 9294	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		ipndx 13223	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	strle3g 13162	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑌 ∧ · ∈ 𝑄 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
20	8, 9, 10, 19	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
21		3lt5 9303	. . . 4 ⊢ 3 < 5
22	21	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 < 5)
23	7, 20, 22	strleund 13157	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
24	1, 23	eqbrtrid 4118	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  {ctp 3668  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  1c1 8016   < clt 8197  3c3 9178  5c5 9180  6c6 9181  8c8 9183   Struct cstr 13049  ndxcnx 13050  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  ._rcmulr 13132  Scalarcsca 13134   ·_𝑠 cvsca 13135  ·_𝑖cip 13136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149

This theorem is referenced by:  ipsbased  13231  ipsaddgd  13232  ipsmulrd  13233  ipsscad  13234  ipsvscad  13235  ipsipd  13236  imasvalstrd  13324