ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsstrd GIF version

Theorem ipsstrd 12114
Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
ipsstrd.p (𝜑+𝑊)
ipsstrd.r (𝜑×𝑋)
ipsstrd.s (𝜑𝑆𝑌)
ipsstrd.x (𝜑·𝑄)
ipsstrd.i (𝜑𝐼𝑍)
Assertion
Ref Expression
ipsstrd (𝜑𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Proof of Theorem ipsstrd
StepHypRef Expression
1 ipspart.a . 2 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
2 ipsstrd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
3 ipsstrd.p . . . 4 (𝜑+𝑊)
4 ipsstrd.r . . . 4 (𝜑×𝑋)
5 eqid 2139 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
65rngstrg 12088 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊×𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
72, 3, 4, 6syl3anc 1216 . . 3 (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8 ipsstrd.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
9 ipsstrd.x . . . 4 (𝜑·𝑄)
10 ipsstrd.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑍)
11 5nn 8896 . . . . 5 5 ∈ ℕ
12 scandx 12100 . . . . 5 (Scalar‘ndx) = 5
13 5lt6 8911 . . . . 5 5 < 6
14 6nn 8897 . . . . 5 6 ∈ ℕ
15 vscandx 12103 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
16 6lt8 8923 . . . . 5 6 < 8
17 8nn 8899 . . . . 5 8 ∈ ℕ
18 ipndx 12111 . . . . 5 (·𝑖‘ndx) = 8
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18strle3g 12065 . . . 4 ((𝑆𝑌·𝑄𝐼𝑍) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
208, 9, 10, 19syl3anc 1216 . . 3 (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
21 3lt5 8908 . . . 4 3 < 5
2221a1i 9 . . 3 (𝜑 → 3 < 5)
237, 20, 22strleund 12061 . 2 (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
241, 23eqbrtrid 3963 1 (𝜑𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  cun 3069  {ctp 3529  cop 3530   class class class wbr 3929  cfv 5123  1c1 7633   < clt 7812  3c3 8784  5c5 8786  6c6 8787  8c8 8789   Struct cstr 11969  ndxcnx 11970  Basecbs 11973  +gcplusg 12035  .rcmulr 12036  Scalarcsca 12038   ·𝑠 cvsca 12039  ·𝑖cip 12040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-7 8796  df-8 8797  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-struct 11975  df-ndx 11976  df-slot 11977  df-base 11979  df-plusg 12048  df-mulr 12049  df-sca 12051  df-vsca 12052  df-ip 12053
This theorem is referenced by:  ipsbased  12115  ipsaddgd  12116  ipsmulrd  12117  ipsscad  12118  ipsvscad  12119  ipsipd  12120
  Copyright terms: Public domain W3C validator