Theorem ipsstrd 12880

Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipsstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
ipsstrd.r	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
ipsstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
ipsstrd.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
ipsstrd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ipsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Proof of Theorem ipsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
2		ipsstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		ipsstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		ipsstrd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
5		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
6	5	rngstrg 12839	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ × ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8		ipsstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		ipsstrd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
10		ipsstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
11		5nn 9174	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
12		scandx 12855	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
13		5lt6 9189	. . . . 5 ⊢ 5 < 6
14		6nn 9175	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
15		vscandx 12861	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
16		6lt8 9201	. . . . 5 ⊢ 6 < 8
17		8nn 9177	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		ipndx 12873	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	strle3g 12813	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑌 ∧ · ∈ 𝑄 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
20	8, 9, 10, 19	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
21		3lt5 9186	. . . 4 ⊢ 3 < 5
22	21	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 < 5)
23	7, 20, 22	strleund 12808	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
24	1, 23	eqbrtrid 4069	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  {ctp 3625  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  1c1 7899   < clt 8080  3c3 9061  5c5 9063  6c6 9064  8c8 9066   Struct cstr 12701  ndxcnx 12702  Basecbs 12705  +_gcplusg 12782  ._rcmulr 12783  Scalarcsca 12785   ·_𝑠 cvsca 12786  ·_𝑖cip 12787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-ip 12800

This theorem is referenced by:  ipsbased  12881  ipsaddgd  12882  ipsmulrd  12883  ipsscad  12884  ipsvscad  12885  ipsipd  12886  imasvalstrd  12974