Theorem ipsstrd 13058

Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipsstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
ipsstrd.r	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
ipsstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
ipsstrd.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
ipsstrd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ipsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Proof of Theorem ipsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
2		ipsstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		ipsstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		ipsstrd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
5		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
6	5	rngstrg 13017	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ × ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8		ipsstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		ipsstrd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
10		ipsstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
11		5nn 9214	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
12		scandx 13033	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
13		5lt6 9229	. . . . 5 ⊢ 5 < 6
14		6nn 9215	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
15		vscandx 13039	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
16		6lt8 9241	. . . . 5 ⊢ 6 < 8
17		8nn 9217	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		ipndx 13051	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	strle3g 12990	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑌 ∧ · ∈ 𝑄 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
20	8, 9, 10, 19	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
21		3lt5 9226	. . . 4 ⊢ 3 < 5
22	21	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 < 5)
23	7, 20, 22	strleund 12985	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
24	1, 23	eqbrtrid 4083	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∪ cun 3166  {ctp 3637  ⟨cop 3638   class class class wbr 4048  ‘cfv 5277  1c1 7939   < clt 8120  3c3 9101  5c5 9103  6c6 9104  8c8 9106   Struct cstr 12878  ndxcnx 12879  Basecbs 12882  +_gcplusg 12959  ._rcmulr 12960  Scalarcsca 12962   ·_𝑠 cvsca 12963  ·_𝑖cip 12964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-tp 3643  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-fz 10144  df-struct 12884  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-sca 12975  df-vsca 12976  df-ip 12977

This theorem is referenced by:  ipsbased  13059  ipsaddgd  13060  ipsmulrd  13061  ipsscad  13062  ipsvscad  13063  ipsipd  13064  imasvalstrd  13152