Theorem ipsstrd 13123

Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipsstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
ipsstrd.r	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
ipsstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
ipsstrd.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
ipsstrd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ipsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Proof of Theorem ipsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
2		ipsstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		ipsstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		ipsstrd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
5		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
6	5	rngstrg 13082	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ × ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8		ipsstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		ipsstrd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑄)
10		ipsstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
11		5nn 9236	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
12		scandx 13098	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
13		5lt6 9251	. . . . 5 ⊢ 5 < 6
14		6nn 9237	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
15		vscandx 13104	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
16		6lt8 9263	. . . . 5 ⊢ 6 < 8
17		8nn 9239	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		ipndx 13116	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	strle3g 13055	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑌 ∧ · ∈ 𝑄 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
20	8, 9, 10, 19	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
21		3lt5 9248	. . . 4 ⊢ 3 < 5
22	21	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 < 5)
23	7, 20, 22	strleund 13050	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
24	1, 23	eqbrtrid 4094	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ∪ cun 3172  {ctp 3645  ⟨cop 3646   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290  1c1 7961   < clt 8142  3c3 9123  5c5 9125  6c6 9126  8c8 9128   Struct cstr 12943  ndxcnx 12944  Basecbs 12947  +_gcplusg 13024  ._rcmulr 13025  Scalarcsca 13027   ·_𝑠 cvsca 13028  ·_𝑖cip 13029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042

This theorem is referenced by:  ipsbased  13124  ipsaddgd  13125  ipsmulrd  13126  ipsscad  13127  ipsvscad  13128  ipsipd  13129  imasvalstrd  13217