Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsstrd GIF version

Theorem ipsstrd 11784
 Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
ipsstrd.p (𝜑+𝑊)
ipsstrd.r (𝜑×𝑋)
ipsstrd.s (𝜑𝑆𝑌)
ipsstrd.x (𝜑·𝑄)
ipsstrd.i (𝜑𝐼𝑍)
Assertion
Ref Expression
ipsstrd (𝜑𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Proof of Theorem ipsstrd
StepHypRef Expression
1 ipspart.a . 2 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
2 ipsstrd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
3 ipsstrd.p . . . 4 (𝜑+𝑊)
4 ipsstrd.r . . . 4 (𝜑×𝑋)
5 eqid 2095 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
65rngstrg 11758 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊×𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
72, 3, 4, 6syl3anc 1181 . . 3 (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8 ipsstrd.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
9 ipsstrd.x . . . 4 (𝜑·𝑄)
10 ipsstrd.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑍)
11 5nn 8678 . . . . 5 5 ∈ ℕ
12 scandx 11770 . . . . 5 (Scalar‘ndx) = 5
13 5lt6 8693 . . . . 5 5 < 6
14 6nn 8679 . . . . 5 6 ∈ ℕ
15 vscandx 11773 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
16 6lt8 8705 . . . . 5 6 < 8
17 8nn 8681 . . . . 5 8 ∈ ℕ
18 ipndx 11781 . . . . 5 (·𝑖‘ndx) = 8
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18strle3g 11735 . . . 4 ((𝑆𝑌·𝑄𝐼𝑍) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
208, 9, 10, 19syl3anc 1181 . . 3 (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
21 3lt5 8690 . . . 4 3 < 5
2221a1i 9 . . 3 (𝜑 → 3 < 5)
237, 20, 22strleund 11731 . 2 (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
241, 23syl5eqbr 3900 1 (𝜑𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   ∪ cun 3011  {ctp 3468  ⟨cop 3469   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  1c1 7448   < clt 7619  3c3 8572  5c5 8574  6c6 8575  8c8 8577   Struct cstr 11639  ndxcnx 11640  Basecbs 11643  +gcplusg 11705  .rcmulr 11706  Scalarcsca 11708   ·𝑠 cvsca 11709  ·𝑖cip 11710 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-tp 3474  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583  df-7 8584  df-8 8585  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11645  df-ndx 11646  df-slot 11647  df-base 11649  df-plusg 11718  df-mulr 11719  df-sca 11721  df-vsca 11722  df-ip 11723 This theorem is referenced by:  ipsbased  11785  ipsaddgd  11786  ipsmulrd  11787  ipsscad  11788  ipsvscad  11789  ipsipd  11790
 Copyright terms: Public domain W3C validator