ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsstrd GIF version

Theorem ipsstrd 12690
Description: A constructed inner product space is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
ipsstrd.p (𝜑+𝑊)
ipsstrd.r (𝜑×𝑋)
ipsstrd.s (𝜑𝑆𝑌)
ipsstrd.x (𝜑·𝑄)
ipsstrd.i (𝜑𝐼𝑍)
Assertion
Ref Expression
ipsstrd (𝜑𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)

Proof of Theorem ipsstrd
StepHypRef Expression
1 ipspart.a . 2 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
2 ipsstrd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
3 ipsstrd.p . . . 4 (𝜑+𝑊)
4 ipsstrd.r . . . 4 (𝜑×𝑋)
5 eqid 2189 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
65rngstrg 12649 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊×𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
72, 3, 4, 6syl3anc 1249 . . 3 (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8 ipsstrd.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
9 ipsstrd.x . . . 4 (𝜑·𝑄)
10 ipsstrd.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑍)
11 5nn 9114 . . . . 5 5 ∈ ℕ
12 scandx 12665 . . . . 5 (Scalar‘ndx) = 5
13 5lt6 9129 . . . . 5 5 < 6
14 6nn 9115 . . . . 5 6 ∈ ℕ
15 vscandx 12671 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
16 6lt8 9141 . . . . 5 6 < 8
17 8nn 9117 . . . . 5 8 ∈ ℕ
18 ipndx 12683 . . . . 5 (·𝑖‘ndx) = 8
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18strle3g 12623 . . . 4 ((𝑆𝑌·𝑄𝐼𝑍) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
208, 9, 10, 19syl3anc 1249 . . 3 (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩)
21 3lt5 9126 . . . 4 3 < 5
2221a1i 9 . . 3 (𝜑 → 3 < 5)
237, 20, 22strleund 12618 . 2 (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
241, 23eqbrtrid 4053 1 (𝜑𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2160  cun 3142  {ctp 3609  cop 3610   class class class wbr 4018  cfv 5235  1c1 7843   < clt 8023  3c3 9002  5c5 9004  6c6 9005  8c8 9007   Struct cstr 12511  ndxcnx 12512  Basecbs 12515  +gcplusg 12592  .rcmulr 12593  Scalarcsca 12595   ·𝑠 cvsca 12596  ·𝑖cip 12597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-struct 12517  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-sca 12608  df-vsca 12609  df-ip 12610
This theorem is referenced by:  ipsbased  12691  ipsaddgd  12692  ipsmulrd  12693  ipsscad  12694  ipsvscad  12695  ipsipd  12696
  Copyright terms: Public domain W3C validator