Theorem prm23ge5 12672

Description: A prime is either 2 or 3 or greater than or equal to 5. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23ge5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Proof of Theorem prm23ge5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 9231	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9423	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 5 ∈ ℤ)
4		prmz 12518	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 5 ≤ 𝑃)
7		eluz2 9684	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
8	3, 5, 6, 7	syl3anbrc 1184	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))
9	8	3mix3d 1177	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
10		prm23lt5 12671	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
11	10	orcd 735	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
12		df-3or 982	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) ↔ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
13	11, 12	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
14		zlelttric 9447	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (5 ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 < 5))
15	2, 4, 14	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (5 ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 < 5))
16	9, 13, 15	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4054  ‘cfv 5285   < clt 8137   ≤ cle 8138  2c2 9117  3c3 9118  5c5 9120  ℤcz 9402  ℤ_≥cuz 9678  ℙcprime 12514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-1o 6520  df-2o 6521  df-er 6638  df-en 6846  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-fz 10161  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-dvds 12184  df-prm 12515

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  15616  gausslemma2dlem4  15626