Theorem prm23ge5 13072

Description: A prime is either 2 or 3 or greater than or equal to 5. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23ge5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Proof of Theorem prm23ge5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 9480	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9676	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 5 ∈ ℤ)
4		prmz 12914	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 5 ≤ 𝑃)
7		eluz2 9943	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
8	3, 5, 6, 7	syl3anbrc 1212	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))
9	8	3mix3d 1205	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
10		prm23lt5 13071	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
11	10	orcd 745	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
12		df-3or 1010	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) ↔ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
13	11, 12	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
14		zlelttric 9700	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (5 ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 < 5))
15	2, 4, 14	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (5 ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 < 5))
16	9, 13, 15	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380   < clt 8366   ≤ cle 8367  2c2 9364  3c3 9365  5c5 9367  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ℙcprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  gausslemma2dlem0f  16378  gausslemma2dlem4  16388