Theorem prm23ge5 12267

Description: A prime is either 2 or 3 or greater than or equal to 5. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23ge5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Proof of Theorem prm23ge5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 9086	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9277	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 5 ∈ ℤ)
4		prmz 12114	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 5 ≤ 𝑃)
7		eluz2 9537	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
8	3, 5, 6, 7	syl3anbrc 1181	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))
9	8	3mix3d 1174	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 5 ≤ 𝑃) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
10		prm23lt5 12266	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
11	10	orcd 733	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
12		df-3or 979	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) ↔ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
13	11, 12	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
14		zlelttric 9301	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (5 ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 < 5))
15	2, 4, 14	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (5 ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 < 5))
16	9, 13, 15	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218   < clt 7995   ≤ cle 7996  2c2 8973  3c3 8974  5c5 8976  ℤcz 9256  ℤ_≥cuz 9531  ℙcprime 12110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-er 6538  df-en 6744  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-prm 12111

This theorem is referenced by: (None)