Theorem 7nn 8680

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 8584	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 8679	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 8532	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2167	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 1445  (class class class)co 5690  1c1 7448   + caddc 7450  ℕcn 8520  6c6 8575  7c7 8576

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1re 7536  ax-addrcl 7539

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-iota 5014  df-fv 5057  df-ov 5693  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583  df-7 8584

This theorem is referenced by:  8nn  8681  7nn0  8793