Theorem lgsdir2 16369

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))

Proof of Theorem lgsdir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 8326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
2		1cnd 8349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
3		neg1cn 9419	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
4	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
6		8nn 9484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℕ)
8	5, 7	zmodcld 10804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 mod 8) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 mod 8) ∈ ℤ)
10		1zzd 9683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
11		zdceq 9732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 1)
12	9, 10, 11	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 1)
13		7nn 9483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℕ
14	13	nnzi 9677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℤ
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 7 ∈ ℤ)
16		zdceq 9732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 7)
17	9, 15, 16	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 7)
18		dcor 948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐵 mod 8) = 1 → (DECID (𝐵 mod 8) = 7 → DECID ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
19	12, 17, 18	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7))
20		elprg 3729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
21	8, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
22	21	dcbid 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (DECID (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
23	19, 22	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})
24	2, 4, 23	ifcldcd 3678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
26		2nn 9478	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
28		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
29		dvdsdc 12591	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐵)
30	27, 28, 29	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → DECID 2 ∥ 𝐵)
31	1, 25, 30	ifcldcd 3678	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℂ)
32	31	mul02d 8727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → (0 · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = 0)
33		iftrue 3645	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝐴 → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
34	33	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
35	34	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (0 · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))))
36		2z 9684	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
37		dvdsmultr1 12624	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
38	36, 37	mp3an1 1365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
39	38	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
40	39	iftrued 3647	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
41	32, 35, 40	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
42		0cnd 8326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℂ)
43		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
44	43, 7	zmodcld 10804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
45	44	nn0zd 9778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
46		zdceq 9732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
47	45, 10, 46	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
48		zdceq 9732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
49	45, 15, 48	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
50		dcor 948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
51	47, 49, 50	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
52		elprg 3729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
53	44, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
54	53	dcbid 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
55	51, 54	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
56	2, 4, 55	ifcldcd 3678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
57	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
58		dvdsdc 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
59	57, 43, 58	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
60	42, 56, 59	ifcldcd 3678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℂ)
61	60	mul01d 8728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · 0) = 0)
62	61	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · 0) = 0)
63		iftrue 3645	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝐵 → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
64	63	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
65	64	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · 0))
66		dvdsmultr2 12626	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
67	36, 66	mp3an1 1365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
68	67	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
69	68	iftrued 3647	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
70	62, 65, 69	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
71	41, 70	jaodan 809	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
72		ioran 764	. . . 4 ⊢ (¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) ↔ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵))
73	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
74	73	mullidd 8351	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (1 · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
75		iftrue 3645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
76	75	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
77	76	oveq1d 6103	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = (1 · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
78		lgsdir2lem4 16367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
79	78	adantlr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
80	79	ifbid 3662	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
81	74, 77, 80	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
82	56	mulridd 8350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · 1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
83	82	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · 1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
84		iftrue 3645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
85	84	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
86	85	oveq2d 6104	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · 1))
87		zcn 9661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
88		zcn 9661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
89		mulcom 8315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
90	87, 88, 89	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
91	90	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
92	91	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((𝐵 · 𝐴) mod 8))
93	92	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7}))
94		lgsdir2lem4 16367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
95	94	ancom1s 575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
96	95	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
97	93, 96	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
98	97	ifbid 3662	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
99	83, 86, 98	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
100	81, 99	jaodan 809	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
101		ioran 764	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
102		neg1mulneg1e1 9529	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 · -1) = 1
103		iffalse 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = -1)
104		iffalse 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = -1)
105	103, 104	oveqan12d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = ( -1 · -1))
106	105	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = ( -1 · -1))
107		lgsdir2lem3 16366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
108	107	ad2ant2r 513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
109		elun 3370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐴 mod 8) ∈ {3, 5}))
110	108, 109	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐴 mod 8) ∈ {3, 5}))
111	110	orcanai 940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝐴 mod 8) ∈ {3, 5})
112		lgsdir2lem3 16366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → (𝐵 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
113	112	ad2ant2l 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐵 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
114		elun 3370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}))
115	113, 114	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}))
116	115	orcanai 940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})
117	111, 116	anim12dan 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}))
118		lgsdir2lem5 16368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})
119	118	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})
120	117, 119	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})
121	120	iftrued 3647	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
122	102, 106, 121	3eqtr4a 2297	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
123	101, 122	sylan2b 287	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
124		dcor 948	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} → (DECID (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
125	55, 23, 124	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
126	125	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
127		exmiddc 848	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) ∨ ¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
128	126, 127	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) ∨ ¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
129	100, 123, 128	mpjaodan 810	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
130		iffalse 3648	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐴 → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
131		iffalse 3648	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐵 → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
132	130, 131	oveqan12d 6107	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
133	132	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
134		2prm 12931	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
135		euclemma 12951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
136	134, 135	mp3an1 1365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
137	136	notbid 677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
138	137	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
139	72, 138	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
140		iffalse 3648	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
141	139, 140	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
142	129, 133, 141	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
143	72, 142	sylan2b 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
144	57, 5, 29	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐵)
145		dcor 948	. . . . 5 ⊢ (DECID 2 ∥ 𝐴 → (DECID 2 ∥ 𝐵 → DECID (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
146	59, 144, 145	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵))
147		exmiddc 848	. . . 4 ⊢ (DECID (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) ∨ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
148	146, 147	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) ∨ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
149	71, 143, 148	mpjaodan 810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
150		lgs2 16353	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 2) = if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
151		lgs2 16353	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 /L 2) = if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
152	150, 151	oveqan12d 6107	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)) = (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))))
153		zmulcl 9710	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
154		lgs2 16353	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
155	153, 154	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
156	149, 152, 155	3eqtr4rd 2282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  ifcif 3638  {cpr 3710   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186  1c1 8187   · cmul 8191   -cneg 8506  ℕcn 9314  2c2 9365  3c3 9366  5c5 9368  7c7 9370  8c8 9371  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656   mod cmo 10781   ∥ cdvds 12580  ℙcprime 12911   /_L clgs 16333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-proddc 12344  df-dvds 12581  df-gcd 12757  df-prm 12912  df-phi 13019  df-pc 13094  df-lgs 16334

This theorem is used by:  lgsdirprm  16370