Theorem lgsdir2 13728

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))

Proof of Theorem lgsdir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 7913	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
2		1cnd 7936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
3		neg1cn 8983	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
4	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
6		8nn 9045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℕ)
8	5, 7	zmodcld 10301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 mod 8) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 mod 8) ∈ ℤ)
10		1zzd 9239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
11		zdceq 9287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 1)
12	9, 10, 11	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 1)
13		7nn 9044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℕ
14	13	nnzi 9233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℤ
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 7 ∈ ℤ)
16		zdceq 9287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 7)
17	9, 15, 16	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 7)
18		dcor 930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐵 mod 8) = 1 → (DECID (𝐵 mod 8) = 7 → DECID ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
19	12, 17, 18	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7))
20		elprg 3603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
21	8, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
22	21	dcbid 833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (DECID (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
23	19, 22	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})
24	2, 4, 23	ifcldcd 3561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
25	24	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
26		2nn 9039	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
28		simplr 525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
29		dvdsdc 11760	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐵)
30	27, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → DECID 2 ∥ 𝐵)
31	1, 25, 30	ifcldcd 3561	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℂ)
32	31	mul02d 8311	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → (0 · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = 0)
33		iftrue 3531	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝐴 → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
34	33	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
35	34	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (0 · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))))
36		2z 9240	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
37		dvdsmultr1 11793	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
38	36, 37	mp3an1 1319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
39	38	imp 123	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
40	39	iftrued 3533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
41	32, 35, 40	3eqtr4d 2213	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
42		0cnd 7913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℂ)
43		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
44	43, 7	zmodcld 10301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
45	44	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
46		zdceq 9287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
47	45, 10, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
48		zdceq 9287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
49	45, 15, 48	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
50		dcor 930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
51	47, 49, 50	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
52		elprg 3603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
53	44, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
54	53	dcbid 833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
55	51, 54	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
56	2, 4, 55	ifcldcd 3561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
57	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
58		dvdsdc 11760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
59	57, 43, 58	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
60	42, 56, 59	ifcldcd 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℂ)
61	60	mul01d 8312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · 0) = 0)
62	61	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · 0) = 0)
63		iftrue 3531	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝐵 → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
64	63	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
65	64	oveq2d 5869	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · 0))
66		dvdsmultr2 11795	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
67	36, 66	mp3an1 1319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
68	67	imp 123	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
69	68	iftrued 3533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
70	62, 65, 69	3eqtr4d 2213	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
71	41, 70	jaodan 792	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
72		ioran 747	. . . 4 ⊢ (¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) ↔ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵))
73	24	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
74	73	mulid2d 7938	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (1 · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
75		iftrue 3531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
76	75	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
77	76	oveq1d 5868	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = (1 · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
78		lgsdir2lem4 13726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
79	78	adantlr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
80	79	ifbid 3547	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
81	74, 77, 80	3eqtr4d 2213	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
82	56	mulid1d 7937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · 1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
83	82	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · 1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
84		iftrue 3531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
85	84	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
86	85	oveq2d 5869	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · 1))
87		zcn 9217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
88		zcn 9217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
89		mulcom 7903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
90	87, 88, 89	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
91	90	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
92	91	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((𝐵 · 𝐴) mod 8))
93	92	eleq1d 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7}))
94		lgsdir2lem4 13726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
95	94	ancom1s 564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
96	95	adantlr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
97	93, 96	bitrd 187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
98	97	ifbid 3547	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
99	83, 86, 98	3eqtr4d 2213	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
100	81, 99	jaodan 792	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
101		ioran 747	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
102		neg1mulneg1e1 9090	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 · -1) = 1
103		iffalse 3534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = -1)
104		iffalse 3534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = -1)
105	103, 104	oveqan12d 5872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = (-1 · -1))
106	105	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = (-1 · -1))
107		lgsdir2lem3 13725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
108	107	ad2ant2r 506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
109		elun 3268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐴 mod 8) ∈ {3, 5}))
110	108, 109	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐴 mod 8) ∈ {3, 5}))
111	110	orcanai 923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝐴 mod 8) ∈ {3, 5})
112		lgsdir2lem3 13725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → (𝐵 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
113	112	ad2ant2l 505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐵 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
114		elun 3268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}))
115	113, 114	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}))
116	115	orcanai 923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})
117	111, 116	anim12dan 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}))
118		lgsdir2lem5 13727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})
119	118	adantlr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})
120	117, 119	syldan 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})
121	120	iftrued 3533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
122	102, 106, 121	3eqtr4a 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
123	101, 122	sylan2b 285	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
124		dcor 930	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} → (DECID (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
125	55, 23, 124	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
126	125	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
127		exmiddc 831	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) ∨ ¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
128	126, 127	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) ∨ ¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
129	100, 123, 128	mpjaodan 793	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
130		iffalse 3534	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐴 → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
131		iffalse 3534	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐵 → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
132	130, 131	oveqan12d 5872	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
133	132	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
134		2prm 12081	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
135		euclemma 12100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
136	134, 135	mp3an1 1319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
137	136	notbid 662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
138	137	biimpar 295	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
139	72, 138	sylan2br 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
140		iffalse 3534	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
141	139, 140	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
142	129, 133, 141	3eqtr4d 2213	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
143	72, 142	sylan2b 285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
144	57, 5, 29	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐵)
145		dcor 930	. . . . 5 ⊢ (DECID 2 ∥ 𝐴 → (DECID 2 ∥ 𝐵 → DECID (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
146	59, 144, 145	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵))
147		exmiddc 831	. . . 4 ⊢ (DECID (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) ∨ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
148	146, 147	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) ∨ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
149	71, 143, 148	mpjaodan 793	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
150		lgs2 13712	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 2) = if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
151		lgs2 13712	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 /L 2) = if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
152	150, 151	oveqan12d 5872	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)) = (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))))
153		zmulcl 9265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
154		lgs2 13712	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
155	153, 154	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
156	149, 152, 155	3eqtr4rd 2214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  ifcif 3526  {cpr 3584   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779  -cneg 8091  ℕcn 8878  2c2 8929  3c3 8930  5c5 8932  7c7 8934  8c8 8935  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212   mod cmo 10278   ∥ cdvds 11749  ℙcprime 12061   /_L clgs 13692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-phi 12165  df-pc 12239  df-lgs 13693

This theorem is referenced by:  lgsdirprm  13729