Theorem lgsdir2 15274

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))

Proof of Theorem lgsdir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 8019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
2		1cnd 8042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
3		neg1cn 9095	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
4	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
6		8nn 9158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℕ)
8	5, 7	zmodcld 10437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 mod 8) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 mod 8) ∈ ℤ)
10		1zzd 9353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
11		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 1)
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 1)
13		7nn 9157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℕ
14	13	nnzi 9347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℤ
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 7 ∈ ℤ)
16		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 7)
17	9, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) = 7)
18		dcor 937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐵 mod 8) = 1 → (DECID (𝐵 mod 8) = 7 → DECID ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
19	12, 17, 18	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7))
20		elprg 3642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
21	8, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
22	21	dcbid 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (DECID (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐵 mod 8) = 1 ∨ (𝐵 mod 8) = 7)))
23	19, 22	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})
24	2, 4, 23	ifcldcd 3597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
26		2nn 9152	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
28		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
29		dvdsdc 11963	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐵)
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → DECID 2 ∥ 𝐵)
31	1, 25, 30	ifcldcd 3597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℂ)
32	31	mul02d 8418	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → (0 · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = 0)
33		iftrue 3566	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝐴 → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
34	33	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
35	34	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (0 · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))))
36		2z 9354	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
37		dvdsmultr1 11996	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
38	36, 37	mp3an1 1335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
39	38	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
40	39	iftrued 3568	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
41	32, 35, 40	3eqtr4d 2239	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐴) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
42		0cnd 8019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℂ)
43		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
44	43, 7	zmodcld 10437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
45	44	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
46		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
47	45, 10, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
48		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
49	45, 15, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
50		dcor 937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
51	47, 49, 50	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
52		elprg 3642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
53	44, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
54	53	dcbid 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
55	51, 54	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
56	2, 4, 55	ifcldcd 3597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
57	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
58		dvdsdc 11963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
59	57, 43, 58	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
60	42, 56, 59	ifcldcd 3597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℂ)
61	60	mul01d 8419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · 0) = 0)
62	61	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · 0) = 0)
63		iftrue 3566	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝐵 → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
64	63	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
65	64	oveq2d 5938	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · 0))
66		dvdsmultr2 11998	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
67	36, 66	mp3an1 1335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
68	67	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
69	68	iftrued 3568	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
70	62, 65, 69	3eqtr4d 2239	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
71	41, 70	jaodan 798	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
72		ioran 753	. . . 4 ⊢ (¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) ↔ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵))
73	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℂ)
74	73	mulid2d 8045	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (1 · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
75		iftrue 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
76	75	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
77	76	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = (1 · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
78		lgsdir2lem4 15272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
79	78	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
80	79	ifbid 3582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
81	74, 77, 80	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
82	56	mulridd 8043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · 1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
83	82	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · 1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
84		iftrue 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
85	84	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
86	85	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · 1))
87		zcn 9331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
88		zcn 9331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
89		mulcom 8008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
90	87, 88, 89	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
91	90	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
92	91	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((𝐵 · 𝐴) mod 8))
93	92	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7}))
94		lgsdir2lem4 15272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
95	94	ancom1s 569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
96	95	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐵 · 𝐴) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
97	93, 96	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
98	97	ifbid 3582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
99	83, 86, 98	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
100	81, 99	jaodan 798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
101		ioran 753	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
102		neg1mulneg1e1 9203	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 · -1) = 1
103		iffalse 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = -1)
104		iffalse 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = -1)
105	103, 104	oveqan12d 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = (-1 · -1))
106	105	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = (-1 · -1))
107		lgsdir2lem3 15271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
108	107	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
109		elun 3304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐴 mod 8) ∈ {3, 5}))
110	108, 109	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐴 mod 8) ∈ {3, 5}))
111	110	orcanai 929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝐴 mod 8) ∈ {3, 5})
112		lgsdir2lem3 15271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → (𝐵 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
113	112	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐵 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
114		elun 3304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}))
115	113, 114	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}))
116	115	orcanai 929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})
117	111, 116	anim12dan 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5}))
118		lgsdir2lem5 15273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})
119	118	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ((𝐴 mod 8) ∈ {3, 5} ∧ (𝐵 mod 8) ∈ {3, 5})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})
120	117, 119	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7})
121	120	iftrued 3568	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
122	102, 106, 121	3eqtr4a 2255	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ (¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ ¬ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
123	101, 122	sylan2b 287	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
124		dcor 937	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} → (DECID (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
125	55, 23, 124	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
126	125	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
127		exmiddc 837	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) ∨ ¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
128	126, 127	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}) ∨ ¬ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
129	100, 123, 128	mpjaodan 799	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
130		iffalse 3569	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐴 → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
131		iffalse 3569	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐵 → if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
132	130, 131	oveqan12d 5941	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
133	132	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = (if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) · if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
134		2prm 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
135		euclemma 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
136	134, 135	mp3an1 1335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
137	136	notbid 668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
138	137	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
139	72, 138	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵))
140		iffalse 3569	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ (𝐴 · 𝐵) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
141	139, 140	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
142	129, 133, 141	3eqtr4d 2239	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
143	72, 142	sylan2b 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
144	57, 5, 29	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐵)
145		dcor 937	. . . . 5 ⊢ (DECID 2 ∥ 𝐴 → (DECID 2 ∥ 𝐵 → DECID (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
146	59, 144, 145	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵))
147		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) ∨ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
148	146, 147	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵) ∨ ¬ (2 ∥ 𝐴 ∨ 2 ∥ 𝐵)))
149	71, 143, 148	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
150		lgs2 15258	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 2) = if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
151		lgs2 15258	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 /L 2) = if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
152	150, 151	oveqan12d 5941	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)) = (if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) · if(2 ∥ 𝐵, 0, if((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))))
153		zmulcl 9379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
154		lgs2 15258	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
155	153, 154	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = if(2 ∥ (𝐴 · 𝐵), 0, if(((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
156	149, 152, 155	3eqtr4rd 2240	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  ifcif 3561  {cpr 3623   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   · cmul 7884  -cneg 8198  ℕcn 8990  2c2 9041  3c3 9042  5c5 9044  7c7 9046  8c8 9047  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326   mod cmo 10414   ∥ cdvds 11952  ℙcprime 12275   /_L clgs 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-phi 12379  df-pc 12454  df-lgs 15239

This theorem is referenced by:  lgsdirprm  15275