lgsval - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lgsval		GIF version

Theorem lgsval 13505

Description: Value of the Legendre symbol at an arbitrary integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsval	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝑛,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9214	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℤ)
2		0zd 9199	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℤ)
3		zsqcl 10521	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4	3	ad2antrr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5		zdceq 9262	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴↑2) = 1)
6	4, 1, 5	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → DECID (𝐴↑2) = 1)
7	1, 2, 6	ifcldcd 3554	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ∈ ℤ)
8		neg1z 9219	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → -1 ∈ ℤ)
10		1zzd 9214	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℤ)
11		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		0zd 9199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℤ)
13		zdclt 9264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 0)
14	11, 12, 13	syl2an2r 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → DECID 𝑁 < 0)
15		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
16		zdclt 9264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 0)
17	15, 12, 16	syl2an2r 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → DECID 𝐴 < 0)
18		dcan2 924	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑁 < 0 → (DECID 𝐴 < 0 → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
19	14, 17, 18	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
20	9, 10, 19	ifcldcd 3554	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℤ)
21		nnuz 9497	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
22		lgsval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
23		eleq1w 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
24		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 = 2 ↔ 𝑘 = 2))
25		oveq1 5848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 − 1) = (𝑘 − 1))
26	25	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 − 1) / 2) = ((𝑘 − 1) / 2))
27	26	oveq2d 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)))
28	27	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1))
29		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
30	28, 29	oveq12d 5859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘))
31	30	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))
32	24, 31	ifbieq2d 3543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) = if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1)))
33		oveq1 5848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑘 pCnt 𝑁))
34	32, 33	oveq12d 5859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
35	23, 34	ifbieq1d 3541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
36		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
37		0zd 9199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → 0 ∈ ℤ)
38		1zzd 9214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → 1 ∈ ℤ)
39	38	znegcld 9311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → -1 ∈ ℤ)
40		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
41		8nn 9020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 ∈ ℕ
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
43	40, 42	zmodcld 10276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ₀)
44	43	nn0zd 9307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
45		1zzd 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
46		zdceq 9262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
47	44, 45, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
48		7nn 9019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	48	nnzi 9208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℤ
50		zdceq 9262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
51	44, 49, 50	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
52		dcor 925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
53	47, 51, 52	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
54		elprg 3595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ₀ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
55	43, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
56	55	dcbid 828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
57	53, 56	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
58	57	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
59	38, 39, 58	ifcldcd 3554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ)
60		2nn 9014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → 2 ∈ ℕ)
62		simp-5l 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
63		dvdsdc 11734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
64	61, 62, 63	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → DECID 2 ∥ 𝐴)
65	37, 59, 64	ifcldcd 3554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
66		simp-5l 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
67		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → ¬ 𝑘 = 2)
68		prm2orodd 12054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑘))
69	68	orcomd 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑘 ∨ 𝑘 = 2))
70	69	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑘 ∨ 𝑘 = 2))
71	67, 70	ecased 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑘)
72		prmnn 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ)
73	72	nnnn0d 9163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
74		nn0oddm1d2 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (¬ 2 ∥ 𝑘 ↔ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑘 ↔ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
76	75	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑘 ↔ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
77	71, 76	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
78		zexpcl 10466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
79	66, 77, 78	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
80	79	peano2zd 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
81	36	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → 𝑘 ∈ ℕ)
82	80, 81	zmodcld 10276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → (((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) ∈ ℕ₀)
83	82	nn0zd 9307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → (((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) ∈ ℤ)
84		1zzd 9214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → 1 ∈ ℤ)
85	83, 84	zsubcld 9314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
86		nnz 9206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
87	86	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
88		2z 9215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
89		zdceq 9262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 = 2)
90	87, 88, 89	sylancl 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → DECID 𝑘 = 2)
91	65, 85, 90	ifcldadc 3548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
92		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
93		simp-4r 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
94		neqne 2343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
95	94	ad3antlr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
96		pczcl 12226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
97	92, 93, 95, 96	syl12anc 1226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
98		zexpcl 10466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀) → (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
99	91, 97, 98	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
100		1zzd 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
101		prmdc 12058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
102	101	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
103	99, 100, 102	ifcldadc 3548	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
104	22, 35, 36, 103	fvmptd3 5578	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
105	104, 103	eqeltrd 2242	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
106		zmulcl 9240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
107	106	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
108	21, 10, 105, 107	seqf 10392	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℤ)
109		simplr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
110	94	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
111		nnabscl 11038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
112	109, 110, 111	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
113	108, 112	ffvelrnd 5620	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
114	20, 113	zmulcld 9315	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) ∈ ℤ)
115		0zd 9199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
116		zdceq 9262	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
117	11, 115, 116	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
118	7, 114, 117	ifcldadc 3548	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) ∈ ℤ)
119		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → 𝑚 = 𝑁)
120	119	eqeq1d 2174	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑚 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
121		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → 𝑎 = 𝐴)
122	121	oveq1d 5856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
123	122	eqeq1d 2174	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((𝑎↑2) = 1 ↔ (𝐴↑2) = 1))
124	123	ifbid 3540	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if((𝑎↑2) = 1, 1, 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
125	119	breq1d 3991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑚 < 0 ↔ 𝑁 < 0))
126	121	breq1d 3991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑎 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
127	125, 126	anbi12d 465	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((𝑚 < 0 ∧ 𝑎 < 0) ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
128	127	ifbid 3540	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if((𝑚 < 0 ∧ 𝑎 < 0), -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
129	121	breq2d 3993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 𝐴))
130	121	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑎 mod 8) = (𝐴 mod 8))
131	130	eleq1d 2234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
132	131	ifbid 3540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
133	129, 132	ifbieq2d 3543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
134	121	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)))
135	134	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1))
136	135	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛))
137	136	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
138	133, 137	ifeq12d 3538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) = if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)))
139	119	oveq2d 5857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑛 pCnt 𝑚) = (𝑛 pCnt 𝑁))
140	138, 139	oveq12d 5859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)) = (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
141	140	ifeq1d 3536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
142	141	mpteq2dv 4072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
143	142, 22	eqtr4di 2216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)) = 𝐹)
144	143	seqeq3d 10384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1))) = seq1( · , 𝐹))
145	119	fveq2d 5489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (abs‘𝑚) = (abs‘𝑁))
146	144, 145	fveq12d 5492	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)))‘(abs‘𝑚)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))
147	128, 146	oveq12d 5859	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (if((𝑚 < 0 ∧ 𝑎 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)))‘(abs‘𝑚))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
148	120, 124, 147	ifbieq12d 3545	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if(𝑚 = 0, if((𝑎↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑚 < 0 ∧ 𝑎 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)))‘(abs‘𝑚)))) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
149		df-lgs 13499	. . 3 ⊢ /_L = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚 = 0, if((𝑎↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑚 < 0 ∧ 𝑎 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)))‘(abs‘𝑚)))))
150	148, 149	ovmpoga 5967	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
151	118, 150	mpd3an3 1328	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∨ wo 698 DECID wdc 824 = wceq 1343 ∈ wcel 2136 ≠ wne 2335 ifcif 3519 {cpr 3576 class class class wbr 3981 ↦ cmpt 4042 ‘cfv 5187 (class class class)co 5841 0cc0 7749 1c1 7750 + caddc 7752 · cmul 7754 < clt 7929 − cmin 8065 -cneg 8066 / cdiv 8564 ℕcn 8853 2c2 8904 7c7 8909 8c8 8910 ℕ₀cn0 9110 ℤcz 9187 mod cmo 10253 seqcseq 10376 ↑cexp 10450 abscabs 10935 ∥ cdvds 11723 ℙcprime 12035 pCnt cpc 12212 /_L clgs 13498

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4096 ax-sep 4099 ax-nul 4107 ax-pow 4152 ax-pr 4186 ax-un 4410 ax-setind 4513 ax-iinf 4564 ax-cnex 7840 ax-resscn 7841 ax-1cn 7842 ax-1re 7843 ax-icn 7844 ax-addcl 7845 ax-addrcl 7846 ax-mulcl 7847 ax-mulrcl 7848 ax-addcom 7849 ax-mulcom 7850 ax-addass 7851 ax-mulass 7852 ax-distr 7853 ax-i2m1 7854 ax-0lt1 7855 ax-1rid 7856 ax-0id 7857 ax-rnegex 7858 ax-precex 7859 ax-cnre 7860 ax-pre-ltirr 7861 ax-pre-ltwlin 7862 ax-pre-lttrn 7863 ax-pre-apti 7864 ax-pre-ltadd 7865 ax-pre-mulgt0 7866 ax-pre-mulext 7867 ax-arch 7868 ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-xor 1366 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2296 df-ne 2336 df-nel 2431 df-ral 2448 df-rex 2449 df-reu 2450 df-rmo 2451 df-rab 2452 df-v 2727 df-sbc 2951 df-csb 3045 df-dif 3117 df-un 3119 df-in 3121 df-ss 3128 df-nul 3409 df-if 3520 df-pw 3560 df-sn 3581 df-pr 3582 df-op 3584 df-uni 3789 df-int 3824 df-iun 3867 df-br 3982 df-opab 4043 df-mpt 4044 df-tr 4080 df-id 4270 df-po 4273 df-iso 4274 df-iord 4343 df-on 4345 df-ilim 4346 df-suc 4348 df-iom 4567 df-xp 4609 df-rel 4610 df-cnv 4611 df-co 4612 df-dm 4613 df-rn 4614 df-res 4615 df-ima 4616 df-iota 5152 df-fun 5189 df-fn 5190 df-f 5191 df-f1 5192 df-fo 5193 df-f1o 5194 df-fv 5195 df-isom 5196 df-riota 5797 df-ov 5844 df-oprab 5845 df-mpo 5846 df-1st 6105 df-2nd 6106 df-recs 6269 df-frec 6355 df-1o 6380 df-2o 6381 df-er 6497 df-en 6703 df-fin 6705 df-sup 6945 df-inf 6946 df-pnf 7931 df-mnf 7932 df-xr 7933 df-ltxr 7934 df-le 7935 df-sub 8067 df-neg 8068 df-reap 8469 df-ap 8476 df-div 8565 df-inn 8854 df-2 8912 df-3 8913 df-4 8914 df-5 8915 df-6 8916 df-7 8917 df-8 8918 df-n0 9111 df-z 9188 df-uz 9463 df-q 9554 df-rp 9586 df-fz 9941 df-fzo 10074 df-fl 10201 df-mod 10254 df-seqfrec 10377 df-exp 10451 df-cj 10780 df-re 10781 df-im 10782 df-rsqrt 10936 df-abs 10937 df-dvds 11724 df-gcd 11872 df-prm 12036 df-pc 12213 df-lgs 13499

This theorem is referenced by: lgscllem 13508 lgsval2lem 13511 lgs0 13514 lgsval4 13521

W3C validator