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Theorem lgsval 16106

Description: Value of the Legendre symbol at an arbitrary integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsval	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝑛,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9654	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℤ)
2		0zd 9639	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℤ)
3		zsqcl 11030	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4	3	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5		zdceq 9703	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴↑2) = 1)
6	4, 1, 5	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → DECID (𝐴↑2) = 1)
7	1, 2, 6	ifcldcd 3678	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ∈ ℤ)
8		neg1z 9659	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → -1 ∈ ℤ)
10		1zzd 9654	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℤ)
11		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		0zd 9639	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℤ)
13		zdclt 9705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 0)
14	11, 12, 13	syl2an2r 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → DECID 𝑁 < 0)
15		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
16		zdclt 9705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 0)
17	15, 12, 16	syl2an2r 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → DECID 𝐴 < 0)
18		dcan2 947	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑁 < 0 → (DECID 𝐴 < 0 → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
19	14, 17, 18	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
20	9, 10, 19	ifcldcd 3678	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℤ)
21		nnuz 9941	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
22		lgsval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
23		eleq1w 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
24		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 = 2 ↔ 𝑘 = 2))
25		oveq1 6086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 − 1) = (𝑘 − 1))
26	25	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 − 1) / 2) = ((𝑘 − 1) / 2))
27	26	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)))
28	27	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1))
29		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
30	28, 29	oveq12d 6097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘))
31	30	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))
32	24, 31	ifbieq2d 3665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) = if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1)))
33		oveq1 6086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑘 pCnt 𝑁))
34	32, 33	oveq12d 6097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
35	23, 34	ifbieq1d 3663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
36		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
37		0zd 9639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → 0 ∈ ℤ)
38		1zzd 9654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → 1 ∈ ℤ)
39	38	znegcld 9753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → -1 ∈ ℤ)
40		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
41		8nn 9455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 ∈ ℕ
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
43	40, 42	zmodcld 10765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ₀)
44	43	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
45		1zzd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
46		zdceq 9703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
47	44, 45, 46	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
48		7nn 9454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	48	nnzi 9648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℤ
50		zdceq 9703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
51	44, 49, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
52		dcor 948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
53	47, 51, 52	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
54		elprg 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ₀ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
55	43, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
56	55	dcbid 850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
57	53, 56	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
58	57	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
59	38, 39, 58	ifcldcd 3678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ)
60		2nn 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → 2 ∈ ℕ)
62		simp-5l 549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
63		dvdsdc 12548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
64	61, 62, 63	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → DECID 2 ∥ 𝐴)
65	37, 59, 64	ifcldcd 3678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
66		simp-5l 549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → ¬ 𝑘 = 2)
68		prm2orodd 12887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑘))
69	68	orcomd 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑘 ∨ 𝑘 = 2))
70	69	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑘 ∨ 𝑘 = 2))
71	67, 70	ecased 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑘)
72		prmnn 12871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ)
73	72	nnnn0d 9603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
74		nn0oddm1d2 12659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (¬ 2 ∥ 𝑘 ↔ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑘 ↔ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
76	75	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑘 ↔ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ₀))
77	71, 76	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
78		zexpcl 10974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
79	66, 77, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
80	79	peano2zd 9754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
81	36	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → 𝑘 ∈ ℕ)
82	80, 81	zmodcld 10765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → (((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) ∈ ℕ₀)
83	82	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → (((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) ∈ ℤ)
84		1zzd 9654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → 1 ∈ ℤ)
85	83, 84	zsubcld 9756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 = 2) → ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
86		nnz 9646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
87	86	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
88		2z 9655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
89		zdceq 9703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 = 2)
90	87, 88, 89	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → DECID 𝑘 = 2)
91	65, 85, 90	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
92		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
93		simp-4r 548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
94		neqne 2428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
95	94	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
96		pczcl 13060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
97	92, 93, 95, 96	syl12anc 1276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
98		zexpcl 10974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀) → (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
99	91, 97, 98	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
100		1zzd 9654	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
101		prmdc 12891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
102	101	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
103	99, 100, 102	ifcldadc 3670	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
104	22, 35, 36, 103	fvmptd3 5796	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (if(𝑘 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑘) − 1))↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
105	104, 103	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
106		zmulcl 9681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
107	106	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
108	21, 10, 105, 107	seqf 10884	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℤ)
109		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
110	94	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
111		nnabscl 11849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
112	109, 110, 111	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
113	108, 112	ffvelcdmd 5838	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
114	20, 113	zmulcld 9757	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) ∈ ℤ)
115		0zd 9639	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
116		zdceq 9703	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
117	11, 115, 116	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
118	7, 114, 117	ifcldadc 3670	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) ∈ ℤ)
119		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → 𝑚 = 𝑁)
120	119	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑚 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
121		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → 𝑎 = 𝐴)
122	121	oveq1d 6094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
123	122	eqeq1d 2247	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((𝑎↑2) = 1 ↔ (𝐴↑2) = 1))
124	123	ifbid 3662	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if((𝑎↑2) = 1, 1, 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
125	119	breq1d 4138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑚 < 0 ↔ 𝑁 < 0))
126	121	breq1d 4138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑎 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
127	125, 126	anbi12d 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((𝑚 < 0 ∧ 𝑎 < 0) ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
128	127	ifbid 3662	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if((𝑚 < 0 ∧ 𝑎 < 0), -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
129	121	breq2d 4140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 𝐴))
130	121	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑎 mod 8) = (𝐴 mod 8))
131	130	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
132	131	ifbid 3662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
133	129, 132	ifbieq2d 3665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
134	121	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)))
135	134	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1))
136	135	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛))
137	136	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
138	133, 137	ifeq12d 3660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) = if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)))
139	119	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑛 pCnt 𝑚) = (𝑛 pCnt 𝑁))
140	138, 139	oveq12d 6097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)) = (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
141	140	ifeq1d 3658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
142	141	mpteq2dv 4220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
143	142, 22	eqtr4di 2289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)) = 𝐹)
144	143	seqeq3d 10875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1))) = seq1( · , 𝐹))
145	119	fveq2d 5697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (abs‘𝑚) = (abs‘𝑁))
146	144, 145	fveq12d 5700	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)))‘(abs‘𝑚)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))
147	128, 146	oveq12d 6097	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → (if((𝑚 < 0 ∧ 𝑎 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)))‘(abs‘𝑚))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
148	120, 124, 147	ifbieq12d 3667	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑚 = 𝑁) → if(𝑚 = 0, if((𝑎↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑚 < 0 ∧ 𝑎 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)))‘(abs‘𝑚)))) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
149		df-lgs 16100	. . 3 ⊢ /_L = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚 = 0, if((𝑎↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑚 < 0 ∧ 𝑎 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝑎, 0, if((𝑎 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝑎↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑚)), 1)))‘(abs‘𝑚)))))
150	148, 149	ovmpoga 6212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
151	118, 150	mpd3an3 1379	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 720 DECID wdc 846 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ≠ wne 2420 ifcif 3638 {cpr 3709 class class class wbr 4128 ↦ cmpt 4190 ‘cfv 5375 (class class class)co 6079 0cc0 8173 1c1 8174 + caddc 8176 · cmul 8178 < clt 8354 − cmin 8491 -cneg 8492 / cdiv 8996 ℕcn 9287 2c2 9338 7c7 9343 8c8 9344 ℕ₀cn0 9546 ℤcz 9627 mod cmo 10742 seqcseq 10867 ↑cexp 10958 abscabs 11746 ∥ cdvds 12537 ℙcprime 12868 pCnt cpc 13046 /_L clgs 16099

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291 ax-arch 8292 ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-xor 1425 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-isom 5384 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-frec 6656 df-1o 6681 df-2o 6682 df-er 6801 df-en 7017 df-fin 7019 df-sup 7318 df-inf 7319 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-5 9349 df-6 9350 df-7 9351 df-8 9352 df-n0 9547 df-z 9628 df-uz 9905 df-q 10003 df-rp 10038 df-fz 10395 df-fzo 10533 df-fl 10688 df-mod 10743 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-cj 11590 df-re 11591 df-im 11592 df-rsqrt 11747 df-abs 11748 df-dvds 12538 df-gcd 12714 df-prm 12869 df-pc 13047 df-lgs 16100

This theorem is referenced by: lgscllem 16109 lgsval2lem 16112 lgs0 16115 lgsval4 16122

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