Theorem lgsfvalg 13506

Description: Value of the function 𝐹 which defines the Legendre symbol at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

Assertion

Ref	Expression
lgsfvalg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsfvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2		eleq1 2228	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑀 ∈ ℙ))
3		eqeq1 2172	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 = 2 ↔ 𝑀 = 2))
4		oveq1 5848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 − 1) = (𝑀 − 1))
5	4	oveq1d 5856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
6	5	oveq2d 5857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)))
7	6	oveq1d 5856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1))
8		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → 𝑛 = 𝑀)
9	7, 8	oveq12d 5859	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀))
10	9	oveq1d 5856	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))
11	3, 10	ifbieq2d 3543	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) = if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)))
12		oveq1 5848	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑀 pCnt 𝑁))
13	11, 12	oveq12d 5859	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)))
14	2, 13	ifbieq1d 3541	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))
15		simp3 989	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		0zd 9199	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 0 ∈ ℤ)
17		1zzd 9214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 1 ∈ ℤ)
18		neg1z 9219	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → -1 ∈ ℤ)
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
21		8nn 9020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
23	20, 22	zmodcld 10276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 9307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
25		1zzd 9214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
26		zdceq 9262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
27	24, 25, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
28		7nn 9019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℕ
29	28	nnzi 9208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℤ
30		zdceq 9262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
31	24, 29, 30	sylancl 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
32		dcor 925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
33	27, 31, 32	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
34		elprg 3595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
35	23, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
36	35	dcbid 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
37	33, 36	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
38	37	3ad2ant1 1008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
39	38	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
40	17, 19, 39	ifcldcd 3554	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ)
41		2nn 9014	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 2 ∈ ℕ)
43		simpll1 1026	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
44		dvdsdc 11734	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
45	42, 43, 44	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → DECID 2 ∥ 𝐴)
46	16, 40, 45	ifcldcd 3554	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
47		simpll1 1026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
48		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ¬ 𝑀 = 2)
49		prm2orodd 12054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → (𝑀 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
50	49	orcomd 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ∨ 𝑀 = 2))
51	50	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ∨ 𝑀 = 2))
52	48, 51	ecased 1339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
53	15	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝑀 ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 9163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝑀 ∈ ℕ0)
55		nn0oddm1d2 11842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
57	52, 56	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
58		zexpcl 10466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
59	47, 57, 58	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
60	59	peano2zd 9312	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
61	60, 53	zmodcld 10276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) ∈ ℕ0)
62	61	nn0zd 9307	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) ∈ ℤ)
63		1zzd 9214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 1 ∈ ℤ)
64	62, 63	zsubcld 9314	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1) ∈ ℤ)
65		simpl3 992	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ)
66	65	nnzd 9308	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
67		2z 9215	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
68		zdceq 9262	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 2)
69	66, 67, 68	sylancl 410	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → DECID 𝑀 = 2)
70	46, 64, 69	ifcldadc 3548	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)) ∈ ℤ)
71		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℙ)
72		simpl2 991	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
73	71, 72	pccld 12228	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → (𝑀 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
74		zexpcl 10466	. . . 4 ⊢ ((if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
75	70, 73, 74	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
76		1zzd 9214	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
77		prmdc 12058	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → DECID 𝑀 ∈ ℙ)
78	15, 77	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID 𝑀 ∈ ℙ)
79	75, 76, 78	ifcldadc 3548	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
80	1, 14, 15, 79	fvmptd3 5578	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ifcif 3519  {cpr 3576   class class class wbr 3981   ↦ cmpt 4042  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841  0cc0 7749  1c1 7750   + caddc 7752   − cmin 8065  -cneg 8066   / cdiv 8564  ℕcn 8853  2c2 8904  7c7 8909  8c8 8910  ℕ₀cn0 9110  ℤcz 9187   mod cmo 10253  ↑cexp 10450   ∥ cdvds 11723  ℙcprime 12035   pCnt cpc 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-er 6497  df-en 6703  df-fin 6705  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-6 8916  df-7 8917  df-8 8918  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-prm 12036  df-pc 12213

This theorem is referenced by:  lgsval2lem  13511