Theorem lgsfvalg 13975

Description: Value of the function 𝐹 which defines the Legendre symbol at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

Assertion

Ref	Expression
lgsfvalg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsfvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2		eleq1 2238	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑀 ∈ ℙ))
3		eqeq1 2182	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 = 2 ↔ 𝑀 = 2))
4		oveq1 5872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 − 1) = (𝑀 − 1))
5	4	oveq1d 5880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
6	5	oveq2d 5881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)))
7	6	oveq1d 5880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1))
8		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → 𝑛 = 𝑀)
9	7, 8	oveq12d 5883	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀))
10	9	oveq1d 5880	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))
11	3, 10	ifbieq2d 3556	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) = if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)))
12		oveq1 5872	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑀 pCnt 𝑁))
13	11, 12	oveq12d 5883	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)))
14	2, 13	ifbieq1d 3554	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))
15		simp3 999	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		0zd 9236	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 0 ∈ ℤ)
17		1zzd 9251	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 1 ∈ ℤ)
18		neg1z 9256	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → -1 ∈ ℤ)
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
21		8nn 9057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
23	20, 22	zmodcld 10313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 9344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
25		1zzd 9251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
26		zdceq 9299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
28		7nn 9056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℕ
29	28	nnzi 9245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℤ
30		zdceq 9299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
31	24, 29, 30	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
32		dcor 935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
33	27, 31, 32	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
34		elprg 3609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
35	23, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
36	35	dcbid 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
38	37	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
40	17, 19, 39	ifcldcd 3567	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ)
41		2nn 9051	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 2 ∈ ℕ)
43		simpll1 1036	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
44		dvdsdc 11771	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
45	42, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → DECID 2 ∥ 𝐴)
46	16, 40, 45	ifcldcd 3567	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
47		simpll1 1036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ¬ 𝑀 = 2)
49		prm2orodd 12091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → (𝑀 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
50	49	orcomd 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ∨ 𝑀 = 2))
51	50	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ∨ 𝑀 = 2))
52	48, 51	ecased 1349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
53	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝑀 ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 9200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝑀 ∈ ℕ0)
55		nn0oddm1d2 11879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
58		zexpcl 10503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
59	47, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
60	59	peano2zd 9349	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
61	60, 53	zmodcld 10313	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) ∈ ℕ0)
62	61	nn0zd 9344	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) ∈ ℤ)
63		1zzd 9251	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 1 ∈ ℤ)
64	62, 63	zsubcld 9351	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1) ∈ ℤ)
65		simpl3 1002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ)
66	65	nnzd 9345	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
67		2z 9252	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
68		zdceq 9299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 2)
69	66, 67, 68	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → DECID 𝑀 = 2)
70	46, 64, 69	ifcldadc 3561	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)) ∈ ℤ)
71		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℙ)
72		simpl2 1001	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
73	71, 72	pccld 12265	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → (𝑀 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
74		zexpcl 10503	. . . 4 ⊢ ((if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
75	70, 73, 74	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
76		1zzd 9251	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
77		prmdc 12095	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → DECID 𝑀 ∈ ℙ)
78	15, 77	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID 𝑀 ∈ ℙ)
79	75, 76, 78	ifcldadc 3561	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
80	1, 14, 15, 79	fvmptd3 5601	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ifcif 3532  {cpr 3590   class class class wbr 3998   ↦ cmpt 4059  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   − cmin 8102  -cneg 8103   / cdiv 8601  ℕcn 8890  2c2 8941  7c7 8946  8c8 8947  ℕ₀cn0 9147  ℤcz 9224   mod cmo 10290  ↑cexp 10487   ∥ cdvds 11760  ℙcprime 12072   pCnt cpc 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761  df-gcd 11909  df-prm 12073  df-pc 12250

This theorem is referenced by:  lgsval2lem  13980