Theorem lgsfvalg 16124

Description: Value of the function 𝐹 which defines the Legendre symbol at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

Assertion

Ref	Expression
lgsfvalg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsfvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑀 ∈ ℙ))
3		eqeq1 2245	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 = 2 ↔ 𝑀 = 2))
4		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 − 1) = (𝑀 − 1))
5	4	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
6	5	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)))
7	6	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1))
8		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → 𝑛 = 𝑀)
9	7, 8	oveq12d 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀))
10	9	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))
11	3, 10	ifbieq2d 3665	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) = if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)))
12		oveq1 6092	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑀 pCnt 𝑁))
13	11, 12	oveq12d 6103	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)))
14	2, 13	ifbieq1d 3663	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))
15		simp3 1030	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		0zd 9656	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 0 ∈ ℤ)
17		1zzd 9671	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 1 ∈ ℤ)
18		neg1z 9676	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → -1 ∈ ℤ)
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
21		8nn 9472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
23	20, 22	zmodcld 10782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 9766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
25		1zzd 9671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
26		zdceq 9720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
27	24, 25, 26	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
28		7nn 9471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℕ
29	28	nnzi 9665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℤ
30		zdceq 9720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
31	24, 29, 30	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
32		dcor 948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
33	27, 31, 32	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
34		elprg 3729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
35	23, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
36	35	dcbid 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
38	37	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
39	38	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
40	17, 19, 39	ifcldcd 3678	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ)
41		2nn 9466	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 2 ∈ ℕ)
43		simpll1 1067	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
44		dvdsdc 12565	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
45	42, 43, 44	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → DECID 2 ∥ 𝐴)
46	16, 40, 45	ifcldcd 3678	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
47		simpll1 1067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ¬ 𝑀 = 2)
49		prm2orodd 12904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → (𝑀 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
50	49	orcomd 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ∨ 𝑀 = 2))
51	50	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ∨ 𝑀 = 2))
52	48, 51	ecased 1390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
53	15	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝑀 ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 9620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝑀 ∈ ℕ0)
55		nn0oddm1d2 12676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
58		zexpcl 10991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
59	47, 57, 58	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
60	59	peano2zd 9771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
61	60, 53	zmodcld 10782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) ∈ ℕ0)
62	61	nn0zd 9766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) ∈ ℤ)
63		1zzd 9671	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 1 ∈ ℤ)
64	62, 63	zsubcld 9773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1) ∈ ℤ)
65		simpl3 1033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ)
66	65	nnzd 9767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
67		2z 9672	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
68		zdceq 9720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 2)
69	66, 67, 68	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → DECID 𝑀 = 2)
70	46, 64, 69	ifcldadc 3670	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)) ∈ ℤ)
71		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℙ)
72		simpl2 1032	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
73	71, 72	pccld 13079	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → (𝑀 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
74		zexpcl 10991	. . . 4 ⊢ ((if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
75	70, 73, 74	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
76		1zzd 9671	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
77		prmdc 12908	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → DECID 𝑀 ∈ ℙ)
78	15, 77	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID 𝑀 ∈ ℙ)
79	75, 76, 78	ifcldadc 3670	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
80	1, 14, 15, 79	fvmptd3 5799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ifcif 3638  {cpr 3710   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   − cmin 8497  -cneg 8498   / cdiv 9002  ℕcn 9304  2c2 9355  7c7 9360  8c8 9361  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644   mod cmo 10759  ↑cexp 10975   ∥ cdvds 12554  ℙcprime 12885   pCnt cpc 13063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-gcd 12731  df-prm 12886  df-pc 13064

This theorem is used by:  lgsval2lem  16129