Theorem lgsfvalg 14884

Description: Value of the function 𝐹 which defines the Legendre symbol at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

Assertion

Ref	Expression
lgsfvalg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsfvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2		eleq1 2252	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑀 ∈ ℙ))
3		eqeq1 2196	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 = 2 ↔ 𝑀 = 2))
4		oveq1 5904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 − 1) = (𝑀 − 1))
5	4	oveq1d 5912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
6	5	oveq2d 5913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)))
7	6	oveq1d 5912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1))
8		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → 𝑛 = 𝑀)
9	7, 8	oveq12d 5915	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀))
10	9	oveq1d 5912	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))
11	3, 10	ifbieq2d 3573	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) = if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)))
12		oveq1 5904	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑀 pCnt 𝑁))
13	11, 12	oveq12d 5915	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)))
14	2, 13	ifbieq1d 3571	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))
15		simp3 1001	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		0zd 9296	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 0 ∈ ℤ)
17		1zzd 9311	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 1 ∈ ℤ)
18		neg1z 9316	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → -1 ∈ ℤ)
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
21		8nn 9117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
23	20, 22	zmodcld 10378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 9404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
25		1zzd 9311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
26		zdceq 9359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
28		7nn 9116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℕ
29	28	nnzi 9305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℤ
30		zdceq 9359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
31	24, 29, 30	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
32		dcor 937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
33	27, 31, 32	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
34		elprg 3627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
35	23, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
36	35	dcbid 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
38	37	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
40	17, 19, 39	ifcldcd 3585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ)
41		2nn 9111	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 2 ∈ ℕ)
43		simpll1 1038	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
44		dvdsdc 11840	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
45	42, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → DECID 2 ∥ 𝐴)
46	16, 40, 45	ifcldcd 3585	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
47		simpll1 1038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ¬ 𝑀 = 2)
49		prm2orodd 12161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → (𝑀 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
50	49	orcomd 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ∨ 𝑀 = 2))
51	50	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ∨ 𝑀 = 2))
52	48, 51	ecased 1360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
53	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝑀 ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 9260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝑀 ∈ ℕ0)
55		nn0oddm1d2 11949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
58		zexpcl 10569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
59	47, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
60	59	peano2zd 9409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
61	60, 53	zmodcld 10378	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) ∈ ℕ0)
62	61	nn0zd 9404	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) ∈ ℤ)
63		1zzd 9311	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 1 ∈ ℤ)
64	62, 63	zsubcld 9411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1) ∈ ℤ)
65		simpl3 1004	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ)
66	65	nnzd 9405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
67		2z 9312	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
68		zdceq 9359	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 2)
69	66, 67, 68	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → DECID 𝑀 = 2)
70	46, 64, 69	ifcldadc 3578	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)) ∈ ℤ)
71		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℙ)
72		simpl2 1003	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
73	71, 72	pccld 12335	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → (𝑀 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
74		zexpcl 10569	. . . 4 ⊢ ((if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
75	70, 73, 74	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
76		1zzd 9311	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
77		prmdc 12165	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → DECID 𝑀 ∈ ℙ)
78	15, 77	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID 𝑀 ∈ ℙ)
79	75, 76, 78	ifcldadc 3578	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
80	1, 14, 15, 79	fvmptd3 5630	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ifcif 3549  {cpr 3608   class class class wbr 4018   ↦ cmpt 4079  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  0cc0 7842  1c1 7843   + caddc 7845   − cmin 8159  -cneg 8160   / cdiv 8660  ℕcn 8950  2c2 9001  7c7 9006  8c8 9007  ℕ₀cn0 9207  ℤcz 9284   mod cmo 10355  ↑cexp 10553   ∥ cdvds 11829  ℙcprime 12142   pCnt cpc 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-1o 6442  df-2o 6443  df-er 6560  df-en 6768  df-fin 6770  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-dvds 11830  df-gcd 11979  df-prm 12143  df-pc 12320

This theorem is referenced by:  lgsval2lem  14889