Theorem lgsfvalg 15557

Description: Value of the function 𝐹 which defines the Legendre symbol at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

Assertion

Ref	Expression
lgsfvalg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsfvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2		eleq1 2269	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑀 ∈ ℙ))
3		eqeq1 2213	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 = 2 ↔ 𝑀 = 2))
4		oveq1 5964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 − 1) = (𝑀 − 1))
5	4	oveq1d 5972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
6	5	oveq2d 5973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)))
7	6	oveq1d 5972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1))
8		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → 𝑛 = 𝑀)
9	7, 8	oveq12d 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀))
10	9	oveq1d 5972	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))
11	3, 10	ifbieq2d 3600	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) = if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)))
12		oveq1 5964	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑀 pCnt 𝑁))
13	11, 12	oveq12d 5975	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)))
14	2, 13	ifbieq1d 3598	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))
15		simp3 1002	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		0zd 9404	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 0 ∈ ℤ)
17		1zzd 9419	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 1 ∈ ℤ)
18		neg1z 9424	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → -1 ∈ ℤ)
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
21		8nn 9224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
23	20, 22	zmodcld 10512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 9513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
25		1zzd 9419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
26		zdceq 9468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
28		7nn 9223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℕ
29	28	nnzi 9413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℤ
30		zdceq 9468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
31	24, 29, 30	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
32		dcor 938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
33	27, 31, 32	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
34		elprg 3658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
35	23, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
36	35	dcbid 840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
38	37	3ad2ant1 1021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
40	17, 19, 39	ifcldcd 3613	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ)
41		2nn 9218	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 2 ∈ ℕ)
43		simpll1 1039	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
44		dvdsdc 12184	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
45	42, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → DECID 2 ∥ 𝐴)
46	16, 40, 45	ifcldcd 3613	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ 𝑀 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
47		simpll1 1039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ¬ 𝑀 = 2)
49		prm2orodd 12523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → (𝑀 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
50	49	orcomd 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ∨ 𝑀 = 2))
51	50	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ∨ 𝑀 = 2))
52	48, 51	ecased 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
53	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝑀 ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 9368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 𝑀 ∈ ℕ0)
55		nn0oddm1d2 12295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
58		zexpcl 10721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
59	47, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
60	59	peano2zd 9518	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
61	60, 53	zmodcld 10512	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) ∈ ℕ0)
62	61	nn0zd 9513	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) ∈ ℤ)
63		1zzd 9419	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → 1 ∈ ℤ)
64	62, 63	zsubcld 9520	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑀 = 2) → ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1) ∈ ℤ)
65		simpl3 1005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ)
66	65	nnzd 9514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
67		2z 9420	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
68		zdceq 9468	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 2)
69	66, 67, 68	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → DECID 𝑀 = 2)
70	46, 64, 69	ifcldadc 3605	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)) ∈ ℤ)
71		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℙ)
72		simpl2 1004	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
73	71, 72	pccld 12698	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → (𝑀 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
74		zexpcl 10721	. . . 4 ⊢ ((if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
75	70, 73, 74	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℙ) → (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
76		1zzd 9419	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
77		prmdc 12527	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → DECID 𝑀 ∈ ℙ)
78	15, 77	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID 𝑀 ∈ ℙ)
79	75, 76, 78	ifcldadc 3605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
80	1, 14, 15, 79	fvmptd3 5686	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ifcif 3575  {cpr 3639   class class class wbr 4051   ↦ cmpt 4113  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  0cc0 7945  1c1 7946   + caddc 7948   − cmin 8263  -cneg 8264   / cdiv 8765  ℕcn 9056  2c2 9107  7c7 9112  8c8 9113  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392   mod cmo 10489  ↑cexp 10705   ∥ cdvds 12173  ℙcprime 12504   pCnt cpc 12682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-2o 6516  df-er 6633  df-en 6841  df-fin 6843  df-sup 7101  df-inf 7102  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-fl 10435  df-mod 10490  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-dvds 12174  df-gcd 12350  df-prm 12505  df-pc 12683

This theorem is referenced by:  lgsval2lem  15562