Theorem 8nn 9158

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9055	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9157	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9002	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  1c1 7880   + caddc 7882  ℕcn 8990  7c7 9046  8c8 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055

This theorem is referenced by:  9nn  9159  8nn0  9272  ipndx  12846  ipid  12847  ipslid  12848  ipsstrd  12853  lgsval  15245  lgsfvalg  15246  lgsfcl2  15247  lgsval2lem  15251  lgsdir2lem1  15269  lgsdir2lem2  15270  lgsdir2lem3  15271  lgsdir2lem4  15272  lgsdir2lem5  15273  lgsdir2  15274  lgsne0  15279  2lgslem3a1  15338  2lgslem3b1  15339  2lgslem3c1  15340  2lgslem3d1  15341  2lgslem4  15344  2lgs  15345  2lgsoddprmlem2  15347  2lgsoddprm  15354