Theorem 8nn 9177

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9074	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9176	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9021	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  1c1 7899   + caddc 7901  ℕcn 9009  7c7 9065  8c8 9066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074

This theorem is referenced by:  9nn  9178  8nn0  9291  ipndx  12873  ipid  12874  ipslid  12875  ipsstrd  12880  lgsval  15353  lgsfvalg  15354  lgsfcl2  15355  lgsval2lem  15359  lgsdir2lem1  15377  lgsdir2lem2  15378  lgsdir2lem3  15379  lgsdir2lem4  15380  lgsdir2lem5  15381  lgsdir2  15382  lgsne0  15387  2lgslem3a1  15446  2lgslem3b1  15447  2lgslem3c1  15448  2lgslem3d1  15449  2lgslem4  15452  2lgs  15453  2lgsoddprmlem2  15455  2lgsoddprm  15462