Theorem 8nn 9289

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9186	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9288	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9133	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  1c1 8011   + caddc 8013  ℕcn 9121  7c7 9177  8c8 9178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186

This theorem is referenced by:  9nn  9290  8nn0  9403  ipndx  13217  ipid  13218  ipslid  13219  ipsstrd  13224  lgsval  15698  lgsfvalg  15699  lgsfcl2  15700  lgsval2lem  15704  lgsdir2lem1  15722  lgsdir2lem2  15723  lgsdir2lem3  15724  lgsdir2lem4  15725  lgsdir2lem5  15726  lgsdir2  15727  lgsne0  15732  2lgslem3a1  15791  2lgslem3b1  15792  2lgslem3c1  15793  2lgslem3d1  15794  2lgslem4  15797  2lgs  15798  2lgsoddprmlem2  15800  2lgsoddprm  15807  edgfid  15822  edgfndx  15823  edgfndxnn  15824