Theorem 8nn 9422

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9319	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9421	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9266	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2307	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  1c1 8144   + caddc 8146  ℕcn 9254  7c7 9310  8c8 9311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319

This theorem is referenced by:  9nn  9423  8nn0  9536  ipndx  13466  ipid  13467  ipslid  13468  ipsstrd  13473  lgsval  16003  lgsfvalg  16004  lgsfcl2  16005  lgsval2lem  16009  lgsdir2lem1  16027  lgsdir2lem2  16028  lgsdir2lem3  16029  lgsdir2lem4  16030  lgsdir2lem5  16031  lgsdir2  16032  lgsne0  16037  2lgslem3a1  16096  2lgslem3b1  16097  2lgslem3c1  16098  2lgslem3d1  16099  2lgslem4  16102  2lgs  16103  2lgsoddprmlem2  16105  2lgsoddprm  16112  edgfid  16127  edgfndx  16128  edgfndxnn  16129