Theorem 8nn 9160

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9057	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9159	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9004	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5923  1c1 7882   + caddc 7884  ℕcn 8992  7c7 9048  8c8 9049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1re 7975  ax-addrcl 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5926  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057

This theorem is referenced by:  9nn  9161  8nn0  9274  ipndx  12856  ipid  12857  ipslid  12858  ipsstrd  12863  lgsval  15255  lgsfvalg  15256  lgsfcl2  15257  lgsval2lem  15261  lgsdir2lem1  15279  lgsdir2lem2  15280  lgsdir2lem3  15281  lgsdir2lem4  15282  lgsdir2lem5  15283  lgsdir2  15284  lgsne0  15289  2lgslem3a1  15348  2lgslem3b1  15349  2lgslem3c1  15350  2lgslem3d1  15351  2lgslem4  15354  2lgs  15355  2lgsoddprmlem2  15357  2lgsoddprm  15364