Theorem 8nn 9310

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9207	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9309	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9154	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  1c1 8032   + caddc 8034  ℕcn 9142  7c7 9198  8c8 9199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207

This theorem is referenced by:  9nn  9311  8nn0  9424  ipndx  13251  ipid  13252  ipslid  13253  ipsstrd  13258  lgsval  15732  lgsfvalg  15733  lgsfcl2  15734  lgsval2lem  15738  lgsdir2lem1  15756  lgsdir2lem2  15757  lgsdir2lem3  15758  lgsdir2lem4  15759  lgsdir2lem5  15760  lgsdir2  15761  lgsne0  15766  2lgslem3a1  15825  2lgslem3b1  15826  2lgslem3c1  15827  2lgslem3d1  15828  2lgslem4  15831  2lgs  15832  2lgsoddprmlem2  15834  2lgsoddprm  15841  edgfid  15856  edgfndx  15857  edgfndxnn  15858