Theorem 8nn 9353

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9250	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9352	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9197	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  1c1 8076   + caddc 8078  ℕcn 9185  7c7 9241  8c8 9242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250

This theorem is referenced by:  9nn  9354  8nn0  9467  ipndx  13315  ipid  13316  ipslid  13317  ipsstrd  13322  lgsval  15806  lgsfvalg  15807  lgsfcl2  15808  lgsval2lem  15812  lgsdir2lem1  15830  lgsdir2lem2  15831  lgsdir2lem3  15832  lgsdir2lem4  15833  lgsdir2lem5  15834  lgsdir2  15835  lgsne0  15840  2lgslem3a1  15899  2lgslem3b1  15900  2lgslem3c1  15901  2lgslem3d1  15902  2lgslem4  15905  2lgs  15906  2lgsoddprmlem2  15908  2lgsoddprm  15915  edgfid  15930  edgfndx  15931  edgfndxnn  15932