Theorem 8nn 9311

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9208	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9310	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9155	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  1c1 8033   + caddc 8035  ℕcn 9143  7c7 9199  8c8 9200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208

This theorem is referenced by:  9nn  9312  8nn0  9425  ipndx  13257  ipid  13258  ipslid  13259  ipsstrd  13264  lgsval  15739  lgsfvalg  15740  lgsfcl2  15741  lgsval2lem  15745  lgsdir2lem1  15763  lgsdir2lem2  15764  lgsdir2lem3  15765  lgsdir2lem4  15766  lgsdir2lem5  15767  lgsdir2  15768  lgsne0  15773  2lgslem3a1  15832  2lgslem3b1  15833  2lgslem3c1  15834  2lgslem3d1  15835  2lgslem4  15838  2lgs  15839  2lgsoddprmlem2  15841  2lgsoddprm  15848  edgfid  15863  edgfndx  15864  edgfndxnn  15865