Theorem 8nn 9203

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9100	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9202	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9047	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2277	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  1c1 7925   + caddc 7927  ℕcn 9035  7c7 9091  8c8 9092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100

This theorem is referenced by:  9nn  9204  8nn0  9317  ipndx  12943  ipid  12944  ipslid  12945  ipsstrd  12950  lgsval  15423  lgsfvalg  15424  lgsfcl2  15425  lgsval2lem  15429  lgsdir2lem1  15447  lgsdir2lem2  15448  lgsdir2lem3  15449  lgsdir2lem4  15450  lgsdir2lem5  15451  lgsdir2  15452  lgsne0  15457  2lgslem3a1  15516  2lgslem3b1  15517  2lgslem3c1  15518  2lgslem3d1  15519  2lgslem4  15522  2lgs  15523  2lgsoddprmlem2  15525  2lgsoddprm  15532  edgfid  15547  edgfndx  15548  edgfndxnn  15549