Theorem 8nn 9274

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9171	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9273	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9118	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  1c1 7996   + caddc 7998  ℕcn 9106  7c7 9162  8c8 9163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171

This theorem is referenced by:  9nn  9275  8nn0  9388  ipndx  13197  ipid  13198  ipslid  13199  ipsstrd  13204  lgsval  15677  lgsfvalg  15678  lgsfcl2  15679  lgsval2lem  15683  lgsdir2lem1  15701  lgsdir2lem2  15702  lgsdir2lem3  15703  lgsdir2lem4  15704  lgsdir2lem5  15705  lgsdir2  15706  lgsne0  15711  2lgslem3a1  15770  2lgslem3b1  15771  2lgslem3c1  15772  2lgslem3d1  15773  2lgslem4  15776  2lgs  15777  2lgsoddprmlem2  15779  2lgsoddprm  15786  edgfid  15801  edgfndx  15802  edgfndxnn  15803