Theorem 8nn 9104

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9002	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9103	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 8949	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2262	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5891  1c1 7830   + caddc 7832  ℕcn 8937  7c7 8993  8c8 8994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-iota 5193  df-fv 5239  df-ov 5894  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-7 9001  df-8 9002

This theorem is referenced by:  9nn  9105  8nn0  9217  ipndx  12646  ipid  12647  ipslid  12648  ipsstrd  12653  lgsval  14789  lgsfvalg  14790  lgsfcl2  14791  lgsval2lem  14795  lgsdir2lem1  14813  lgsdir2lem2  14814  lgsdir2lem3  14815  lgsdir2lem4  14816  lgsdir2lem5  14817  lgsdir2  14818  lgsne0  14823  2lgsoddprmlem2  14838