Theorem 8nn 9024

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 8922	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9023	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 8869	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2239	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  1c1 7754   + caddc 7756  ℕcn 8857  7c7 8913  8c8 8914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922

This theorem is referenced by:  9nn  9025  8nn0  9137  ipndx  12533  ipid  12534  ipslid  12535  ipsstrd  12536  lgsval  13545  lgsfvalg  13546  lgsfcl2  13547  lgsval2lem  13551  lgsdir2lem1  13569  lgsdir2lem2  13570  lgsdir2lem3  13571  lgsdir2lem4  13572  lgsdir2lem5  13573  lgsdir2  13574  lgsne0  13579