Theorem 8nn 9086

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 8984	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9085	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 8931	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2250	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5875  1c1 7812   + caddc 7814  ℕcn 8919  7c7 8975  8c8 8976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984

This theorem is referenced by:  9nn  9087  8nn0  9199  ipndx  12627  ipid  12628  ipslid  12629  ipsstrd  12634  lgsval  14408  lgsfvalg  14409  lgsfcl2  14410  lgsval2lem  14414  lgsdir2lem1  14432  lgsdir2lem2  14433  lgsdir2lem3  14434  lgsdir2lem4  14435  lgsdir2lem5  14436  lgsdir2  14437  lgsne0  14442  2lgsoddprmlem2  14457