Theorem 8nn 9186

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9083	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9185	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9030	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2277	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5934  1c1 7908   + caddc 7910  ℕcn 9018  7c7 9074  8c8 9075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-iota 5229  df-fv 5276  df-ov 5937  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083

This theorem is referenced by:  9nn  9187  8nn0  9300  ipndx  12919  ipid  12920  ipslid  12921  ipsstrd  12926  lgsval  15399  lgsfvalg  15400  lgsfcl2  15401  lgsval2lem  15405  lgsdir2lem1  15423  lgsdir2lem2  15424  lgsdir2lem3  15425  lgsdir2lem4  15426  lgsdir2lem5  15427  lgsdir2  15428  lgsne0  15433  2lgslem3a1  15492  2lgslem3b1  15493  2lgslem3c1  15494  2lgslem3d1  15495  2lgslem4  15498  2lgs  15499  2lgsoddprmlem2  15501  2lgsoddprm  15508