Theorem 8nn 9483

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9378	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9482	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9325	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  1c1 8186   + caddc 8188  ℕcn 9313  7c7 9369  8c8 9370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378

This theorem is used by:  9nn  9484  8nn0  9597  37prm  13263  43prm  13264  83prm  13265  317prm  13268  1259lem4  13273  1259lem5  13274  ipndx  13581  ipid  13582  ipslid  13583  ipsstrd  13588  log2tlbndlog2  16237  bposlem8  16335  lgsval  16345  lgsfvalg  16346  lgsfcl2  16347  lgsval2lem  16351  lgsdir2lem1  16369  lgsdir2lem2  16370  lgsdir2lem3  16371  lgsdir2lem4  16372  lgsdir2lem5  16373  lgsdir2  16374  lgsne0  16379  2lgslem3a1  16438  2lgslem3b1  16439  2lgslem3c1  16440  2lgslem3d1  16441  2lgslem4  16444  2lgs  16445  2lgsoddprmlem2  16447  2lgsoddprm  16454  edgfid  16469  edgfndx  16470  edgfndxnn  16471