Theorem 8nn 9301

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9198	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9300	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9145	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  1c1 8023   + caddc 8025  ℕcn 9133  7c7 9189  8c8 9190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198

This theorem is referenced by:  9nn  9302  8nn0  9415  ipndx  13242  ipid  13243  ipslid  13244  ipsstrd  13249  lgsval  15723  lgsfvalg  15724  lgsfcl2  15725  lgsval2lem  15729  lgsdir2lem1  15747  lgsdir2lem2  15748  lgsdir2lem3  15749  lgsdir2lem4  15750  lgsdir2lem5  15751  lgsdir2  15752  lgsne0  15757  2lgslem3a1  15816  2lgslem3b1  15817  2lgslem3c1  15818  2lgslem3d1  15819  2lgslem4  15822  2lgs  15823  2lgsoddprmlem2  15825  2lgsoddprm  15832  edgfid  15847  edgfndx  15848  edgfndxnn  15849