Theorem 8nn 9152

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9049	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9151	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 8996	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2266	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  1c1 7875   + caddc 7877  ℕcn 8984  7c7 9040  8c8 9041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049

This theorem is referenced by:  9nn  9153  8nn0  9266  ipndx  12789  ipid  12790  ipslid  12791  ipsstrd  12796  lgsval  15161  lgsfvalg  15162  lgsfcl2  15163  lgsval2lem  15167  lgsdir2lem1  15185  lgsdir2lem2  15186  lgsdir2lem3  15187  lgsdir2lem4  15188  lgsdir2lem5  15189  lgsdir2  15190  lgsne0  15195  2lgslem3a1  15254  2lgslem3b1  15255  2lgslem3c1  15256  2lgslem3d1  15257  2lgslem4  15260  2lgs  15261  2lgsoddprmlem2  15263  2lgsoddprm  15270