Theorem 8nn 9001

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 8899	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9000	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 8846	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2230	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2128  (class class class)co 5825  1c1 7734   + caddc 7736  ℕcn 8834  7c7 8890  8c8 8891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1re 7827  ax-addrcl 7830

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-iota 5136  df-fv 5179  df-ov 5828  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-5 8896  df-6 8897  df-7 8898  df-8 8899

This theorem is referenced by:  9nn  9002  8nn0  9114  ipndx  12370  ipid  12371  ipslid  12372  ipsstrd  12373