Theorem 8nn 9175

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9072	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9174	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9019	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  1c1 7897   + caddc 7899  ℕcn 9007  7c7 9063  8c8 9064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072

This theorem is referenced by:  9nn  9176  8nn0  9289  ipndx  12871  ipid  12872  ipslid  12873  ipsstrd  12878  lgsval  15329  lgsfvalg  15330  lgsfcl2  15331  lgsval2lem  15335  lgsdir2lem1  15353  lgsdir2lem2  15354  lgsdir2lem3  15355  lgsdir2lem4  15356  lgsdir2lem5  15357  lgsdir2  15358  lgsne0  15363  2lgslem3a1  15422  2lgslem3b1  15423  2lgslem3c1  15424  2lgslem3d1  15425  2lgslem4  15428  2lgs  15429  2lgsoddprmlem2  15431  2lgsoddprm  15438