Theorem 8nn 9224

Description: 8 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
8nn	⊢ 8 ∈ ℕ

Proof of Theorem 8nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-8 9121	. 2 ⊢ 8 = (7 + 1)
2		7nn 9223	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3		peano2nn 9068	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (7 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (7 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2279	1 ⊢ 8 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5957  1c1 7946   + caddc 7948  ℕcn 9056  7c7 9112  8c8 9113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121

This theorem is referenced by:  9nn  9225  8nn0  9338  ipndx  13076  ipid  13077  ipslid  13078  ipsstrd  13083  lgsval  15556  lgsfvalg  15557  lgsfcl2  15558  lgsval2lem  15562  lgsdir2lem1  15580  lgsdir2lem2  15581  lgsdir2lem3  15582  lgsdir2lem4  15583  lgsdir2lem5  15584  lgsdir2  15585  lgsne0  15590  2lgslem3a1  15649  2lgslem3b1  15650  2lgslem3c1  15651  2lgslem3d1  15652  2lgslem4  15655  2lgs  15656  2lgsoddprmlem2  15658  2lgsoddprm  15665  edgfid  15680  edgfndx  15681  edgfndxnn  15682